Los espacios más regulares parecen los más simétricos Conferencia de Hilbert en el Ier icm, Paris, 1900



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Algunos comentarios sobre algunos espacios homogéneos naturalmente reductivos y su relación con las álgebras de Clifford.


  • Los espacios más regulares parecen los más simétricos

  • Conferencia de Hilbert en el Ier ICM, Paris, 1900

  • Los fundamentos algebraicos de las álgebras de Lie

  • Clasificación de las raíces



  • Clasificación de los espacios simétricos por Cartan (Helgason)

  • Caracterización de los espacios simétricos (R = 0)

  • Importancia del estudio de los grupos de Lie como ejemplos de variedades de Riemann

  • Buenos textos: Warner y Gray (no publicado) entre otros



  • Teorema de la variedad homogénea

  • Caracterización de las variedades homogéneas

  • Ejemplos: esferas, proyectivos, grasmanianas, etc. (simétricos), banderas,

  • La clasificación de Berger V1 y V2, Ann. Scuola Norm. Sup. (1961)



  • Los ejemplos de Aloff-Wallach, BAMS,, ((1975)

  • El ejemplo de Wilking V3, PAMS, (1999)

  • Los artículos de Chavel sobre V1 y V2, BAMS, Comm. Math. Helv., ((1967)

  • Existencia de campos de Jacobi anisotrópicos enV1 y V2



  • El artículo de González-Dávila, (J. Diff. Geom..)

  • Un resultado de Naveira y González-Dávila sobre campos de Jacobi anisotrópicos en V3, (Preprint)

  • La clasificación de Gray de los espacios 3-simétricos, J. Diff. Geom., (1972)

  • Otros resultados de Jiménez, Kowalsky, Dusek, Kaplan, etc.



  • Artículo de Gray en Math. Ann.(1976). Importancia de R – R* y del hecho que (J’)2 sea paralelo

  • Desviación covariante de los espacios homogéneos respecto de los simétricos

  • El rango oscilador constante de un espacio homogéneo

  • Resultado sobre V1 (Naveira-Tarrío, Monatsch. Math. 2008) y V3 (Macías-Naveira-Tarrío, C. R. Acad. Sc. Paris 2009). Problema abierto sobre V2.



  • Resultado sobre el ejemplo de Kaplan, (Arias-Naveira)

  • Resultado sobre la bandera F6, (Arias, preprint)

  • Conjetura sobre los espacios 3-simétricos (con Arias)

  • Resultado bien conocido: Todo espacio simétrico-hermítico verifica la Iª Condición de curvatura

  • Resultado nuevo: Todo espacio homogéneo con una estructura casi-compleja invariante y con una métrica biinvariante verifica la IIª Condición de curvatura



  • Los artículos de Nagy sobre NK-Variedades, (Ann Global Ann. Appl., 2002, Asian J. math.

  • Importancia de la conexión canónica

  • Importancia de los resultados de Gray sobre descomposición de las NK-variedades, Math. Ann. (1976)

  • Descomposición de las NK-variedades: Kaehler + Estricta

  • Descomposición de las NK-variedades estrictas:

  • 6-dim. NK-estrictas

  • NK-Homogeneous de tipo I, II, III y IV

  • Twistor spaces sobre variedades Kaehler cuaterniónicas con curvatura escalar positiva

  • Importancia de la descomposición para la determinación del rango.



  • El artículo de Calabi-Vesentini para los espacios simétricos herméticos infinitos (Ann. of Math., (1960))

  • El artículo de Borel para los espacios simétricos herméticos excepcionales (Ann. of Math., (1960))

  • La teoría de Hodge para las NK-variedades, (Vertbinski, arXiv)

  • Problema: Extensión a los espacios 3-simétricos de los resultados de Calabi, Vesentini y Hodge, utilizando para ello la teoría de Hodge, la teoría de las raíces y la curvatura de la conexión canónica.



  • Propiedades generales de las álgebras de Clifford.

  • El problema de Dirac.

  • Las spin-variedades. Importancia para la Geometría Diferencial y para la Física Teórica.

  • Cálculo espinorial sobre spin-variedades riemannianas.

  • Abundante bibliografía:Entre otros, Deheuvels, Baum, Friedrich, Lawson, Gallier, …



  • Operador de Dirac: DX = sk sk 

  • Ecuación twistor: X +(1/n) X  D = 0

  • Killing espinor: X = BX  

  • Nuevo interés del estudio de las NK-variedades, (Grunewald y otros).

  • Spinores de Killing NK-var. en M6.

  • Importancia del rango constante



  • Estructuras contacto. Variedades de Sasaki.

  • Var. Einstein-Sasakianas 

  • Existen espinores de Killing, pero más de uno.

  • Diversos ejemplos en M5 y M7.

  • V1, V2 (Berger) no son Sasakianas, todo indica que deben admitir spinores.

  • Familia de variedades con Spinores en los ejemplos de Allof-Wallach.

  • Parece que V3 está dentro de esta familia



  • Clasificaciones de Friedrich y otros para M7 con 2 ó 3 espinores de Killing.

  • Con un espinor: Problema abierto.

  • Condición suficiente M7 admita un espinor de Killing: Utilizando el vector-cross product, (Gray, 1969, TAMS)



  • Importancia de los artículoos de Agricola y Kostant

  • Utilización de la conexión canónica

  • Operadores de Dirac y Killing para esta conexión

  • Posible interes por contrastar resultados de las conexiones de Levi-Civita y de la canónica





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