Ma’ruza: Tub modulli yuqori darajali taqqoslamalar. Reja

Ma’ruza: Tub modulli yuqori darajali taqqoslamalar.

Reja.

1. 
   n – darajali bir noma’lumli taqqoslama. Teng kuchli taqqoslamalar.
   
2. 
   Taqqoslamaning darajasini pasaytirish.
   
3. 
   Tub modulli yuqori darajali taqqoslamaning yechimi.
   

Ta’rif: ko’phad va m>1 bo’lib, koeffisiyent m ga qoldiqsiz bo’linmasa, u holda ushbu

(1)

taqqoslama n – darajali bir noma’lumli taqqoslama deyiladi.

(1) taqqoslamani to’g’ri somli taqqoslamaga aylantiruvchi sinf shu taqqoslamaning yechimi deyiladi.

Yechimlari to’plami ustma-ust tushgan taqqoslamalar odatda teng kuchli taqqoslamalar deyiladi.

Agar (1) taqqoslamaning ikkala qismiga ixtiyoriy ko’phad qo’shilsa, u holda hosil bo’lgan taqqoslama (1) taqqoslamaga teng kuchli taqqoslama bo’ladi. Agar (1) taqqoslamaning ikkala qismi m modul bulan o’zaro tub bo’lgan k songa ko’paytirilsa, u holda hosil bo’lgan taqqoslama (1) taqqoslamaga teng kuchli bo’ladi. Agar (1) taqqoslamaning ikkala qismi va moduli k natural songa ko’paytirilsa, u holda hosil bo’lgan taqqoslama berilgan taqqoslamaga teng kuchli bo’ladi.

Faraz qilaylik, bizga koeffisiyentlari butun sonlar halqasidan olingan bir noma’lumli n – darajali taqqoslama berilgan bo’lib, uning moduli tub sondan iborat bo’lsin, ya’ni

p – tub son va koeffisiyent p ga qoldiqsiz bo’linmasin.

Avvalo barcha koeffisiyentlarni p modulga ko’ra absolyut qiymat bo’yicha eng kichik qoldiqlar bilan almashtirib olamiz. Masalan,

taqqoslamani

(2)

ko’rinishida yozish mumkin. bo’lganidan

(3)

taqqoslama doimo yagona yechimga ega bo’ladi. (3) taqqoslamani y ga nisbatan yechib, bu topilgan yichimni (2) taqqoslamaning har ikkala qismiga ko’paytirsak, bosh koeffisiyent 1 ga keladi.

1 – teorema. Darajasi n (n > p ) ga teng bo’lgan, p modulli taqqoslama darajasi p – 1 dan katta bo’lmagan taqqoslamaga teng kuchli bo’ladi.

Isboti: Qoldiqli bo’lish haqidagi teoremaga asosan, va lar uchun quyidagi tengliklarni yoza olamiz:

.

Biz bu yerda qoldiqni 0 dan p – 2 gacha olmasdan 1 dan p – 1 gacha oldik, chunki p – 1 modul bo’yicha chegirmalarning to’la sistemasi sifatida 0, 1, 2, …, p – 2 yoki 1, 2, 3, …, p – 1 sistemani olish mumkin. Bundan tashqari Ferma teoremasiga asosan,

taqqoslama o’rinli. Bu taqqoslamaning ikkala qismini ketma-ket

ga ko’paytiramiz. Unda quyidagi taqqoslamalar hosil bo’ladi:

……………………………..

Agar bu taqqoslamalarni hadlab ko’paytirsak va hosil bo’lgan taqqoslamaning ikkala qismini umumiy ko’paytuvchiga bo’lsak, u holda

(4)

taqqoslama hosil bo’ladi. va (2) taqqoslamaga asosan

ga ega bo’lamiz. Teorema isbotlandi.

2 – teorema. Tub modulli n – darajali taqqoslama yechimlari soni n tadan ortiq emas.

Isboti: Faraz qilaylik, (2) taqqoslama berilgan bo’lib, uning yechimi bo’lsin, ya’ni

(5)

taqqoslama o’rinli bo’lsin. U holda Bezu teoremasiga asosan

bo’ladi, bu yerda darajasi n – 1 dan katta bo’lmagan ko’phad, esa p ga qoldiqsiz bo’linadigan son. (5) ga asosan (2) taqqoslamani

(6)

ko’rinishida yoza olamiz. (2) va (6) dan taqqoslama hosil bo’ladi.

Agar taqqoslama biror kabi yechimga ega bo’lsa, x ning barcha butun qiymatlarida aynan bajariluvchi

taqqoslamaga ega bo’lamiz. Bu jarayonni davom ettirib, quyidagi ikkita tasdiqdan biri rostligiga ishonch hosil qilamiz:

1. 
   k qadamdan so’ng umuman yechimga ega bo’lmagan ( n – k) – darajali
   

(7)

taqqoslamaga ega bo’lamiz.

2. 
   ko’rinishidagi birinchi darajali taqqoslamaga ega bo’lamiz.
   

1 – holda (2) taqqoslamani

(8)

ko’rinishga, 2 – holda esa

(9)

ko’rinishga keltiramiz. Teorema isbotlandi.

3 – teorema. Agar n – darajali tub modulli taqqoslamaning yechimlari soni n tadan ortiq bo’lsa, u holda uning barcha koeffisiyentlari p ga bo’linadi.

Isboti. Faraz qilaylik, lar (2) taqqoslamaning yechimi bo’lsin. ko’phadni

ko’rinishida yozish mumkin. Bu yerda taqqoslama yechimlari, b, ….., l, m lar ko’phad tengligi ta’rifiga asosan topiladi. bo’lsa, bo’ladi va m soni p ga bo’linadi, chunki p ga bo’linadi. bo’lsin, u holda ga ega bo’lamiz. Bundan va m/p bo’lgani uchun bo’ladi. Lekin l ga bo’linmasligidan l/p kelib chiqadi. Shunday davom ettirib, qiymat beramiz.

taqqoslamadan .

lar , b, ….., l, m sonlarning algebraic yig’indisi bo’lganligi uchun ular ham p ga bo’linadi. Teorema isbotlandi.

Eslatma. Murakkab modulli taqqoslama uchun 2 – teorema o’rinli bo’lmaydi.