Matematik analiz Tekshirdi: Noriyeva Aziza

Aniq integral fan va texnikada, jumladan, bir jinsli boʻlmagan yulduzning massasi va ogʻirlik markazini hisoblashda koʻplab qoʻllanmalarga ega.

Astronomiyada yulduzlar ko’pincha zichlikda bir xil bo’lmaydi, bu ularning massasi va tortishish markazini aniqlashni qiyinlashtiradi. Biroq, aniq integraldan foydalanib, zichligi bir xil bo’lmagan yulduzlar uchun bu xususiyatlarni hisoblash mumkin.

Buning uchun astronomlar yulduzni kichik hajmlarga ajratadilar va har bir hajm elementining massasini hisoblash uchun massa zichligi funksiyasidan (r) foydalanadilar. Yulduzning umumiy massasini yulduzning butun hajmiga massa zichligi funktsiyasini integratsiyalash orqali hisoblash mumkin. Bu quyidagilarni beradi:

M = ∫∫∫ r(x,y,z) dV

• 
  bu erda dV kichik hajmli element bo’lib, uch karrali integral yulduzning butun hajmi bo’ylab integrallanadi.
  

Yulduzning umumiy massasi aniqlangandan so’ng, xuddi shunday jarayon yordamida tortishish markazini hisoblash mumkin. Bunda har bir hajm elementining pozitsiyasi integraldagi pozitsiya vektori (r) yordamida hisobga olinadi. Bu quyidagilarni beradi:

r_cg = (1/M) ∫∫∫ r(x,y,z) r dV

bu erda r_cg – og’irlik markazining pozitsiyasi va r – hajm elementining joylashuv vektori.

• 
  Masa va tortishish markazini hisoblashda aniq integrallardan foydalanish orqali astronomlar zichligi bir xil boʻlmagan yulduzlarning ichki tuzilishi va dinamikasini yaxshiroq tushunishlari mumkin.
  

Frullani integrali va uni hisoblash

Frullani integrali quyidagi formulaga ega:

∫₀^∞ f(x)/(x²+a²) dx

Bu integralni hisoblash uchun quyidagi usullarni amalga oshirish mumkin:

1. Agar f(x) ning darajasi koʻp boʻlsa, misol uchun f(x) = x³, x⁵, x⁷ kabi, unda integralni boʻlinish usuli yordamida hisoblash mumkin. Misol uchun:

• 
  ∫₀^∞ x³/(x²+a²) dx = ∫₀^∞ x/(1+(a/x)²) dx = ½ ln(1+(a/x)²)₀^∞ = ½ ln(1+∞) = ∞
  

2. Agar f(x) ning darajasi toʻgʻri son boʻlsa, misol uchun f(x) = cos(x), sin(x), e⁻ᵃˣ kabi, unda integralni trigonometrik yordamda hisoblash mumkin. Misol uchun:

• 
  ∫₀^∞ e⁻ᵃˣ/(x²+a²) dx = (1/a) ∫₀^∞ e⁻ᵃˣ (a/(x²+a²)) dx = (1/a) ∫₀^∞ e⁻ᵃˣ d(arctan(x/a)) = (π/2a) e⁻ᵃˣ