Mavzu: Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasini taqribiy yechish. Reja: 1

 
9.1.2. Eylerning ketma-ket yaqinlashish usuli 
Berilgan (9.1) tenglama uchun Koshi masalasini yechishdagi Eyler usulini mukammal-lashtirish 
mumkin. Ya’ni 
x
i+1 
= x
i
+ (i+1)*h 
y
i+1
(0) 
= y
i
+ h f (x
i
,y
i
) i=0, 2,….n-1
(9.6) 
taqribiy yechimga asosan yechim qiymatlarini aniqligini oshirish uchun quyidagi formulani 
tuzamiz. 
)]
,
(
)
,
(
[
2
)
1
(
1
1
)
(
1







k
i
i
i
i
i
k
i
y
x
f
y
x
f
h
y
y
(9.7) 
У 
y
i +1
y
i
x
i +1
x
i
b
Х 
a=х
0
y
0

---

k=1, 2, 3,….n, i=1, 2, 3,….n-1 
bu formula bo‘yicha hisoblashni i+1 yechim qiymatiga k -yaqinlashish 
)
(
1
к
i
у

va k+1 -
yaqinlashish 
)
1
(
1


k
i
y
lar ustma-ust tushguncha davom ettiramiz. Natijada yechimning taqribiy 
qiymati 
y
i+1
=
)
1
(
1


k
i
y
bo‘ladi. Yuqoridagi usul bilan yechimning 
y
i+2
qiymatini hisoblaymiz va x.k, h qadamni 
yetarlicha kichik tanlanishi yechimga tez yaqinlashtiradi.. 
9.1-masala. Quyidagi. 
 
birinchi tartibli differentsial tenglamaning
x
0
=1.8
y
0
=2.6 
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi [1.8, 2.8] oraliqda yechimini h=0.1 qadami bilan, 
e=0.001 aniqlikda: 
1.
 
Eyler usuli; 
2.
 
Eylerning ketma-ket yaqinlashish usuli; 
3.
 
Runge – Kutta usuli bilan hisoblang. 
Yechish. 
1
. Berilgan differentsial tenglamani Eyler usulida yechamiz.

Buning uchun [1.8, 2.8] oraliqni 
10
1
.
0
8
.
1
8
.
2





h
a
b
n
ya’ni, n=10 ta bo‘lakka ajratamiz. Bo‘linish nuqtalarini: 
x
i
=x
i-1
+h, 
i=1,2,...,10 
formulaga asosan topamiz. 
x
1
=x
0
+h=1.8+0.1=1.9 
 
 
 
 
 
x
2
=x
1
+h=1.9+0.1=2.0 
shuningdek
x
3
=2.1, x
4
=2.2, x
5
=2.3, x
6
=2.4, x
7
=2.5, x
8
=2.6, x
9
=2.7, x
10
=2.8 
Berilgan tenglamaning o‘ng tomonidagi 
F(x;y)=x+cos(y/
5
)
funktsiyaga asosan, Eyler qoidasi bilan quyidagi 
y
i+1
=y
i
+ h f(x
i
;y
i
), 
 
i=1,2,...,10 
formulaga asosan berilgan differentsial tenglama yechimining qiymatlarini quyidagicha topamiz. 
y
1
=y
0
+hf (x
0, 
y
0
)=y
0
+h (x
0
+cos(y
0
/
5
))= 
 
 
 
=2.6+ 0.1(1.8+cos(26/
5
))=2.6+0.1(18+0.3968)=2.81968 
y
2
=y
1
+h f (x
1
,y
1
)=y
1
+h(x
1
+cos(y
1
/
5
))= 
 
 
 
=2.819+ 0.1(1.9+cos(9.819/
5
))=2.819+0.1(1.9+0.3968)=3.03948
SHuningdek, quyidagilarni topamiz: 
y
3
=3.261, y
4
=3.4831, y
5
=3.7045, y
6
=3.926 
y
7
=4.1478, y
8
=4.3701, y
9
=4.5931, y
10
=4.8173 
Bu usul yordamida hisoblash quyidagicha dastur asosida berilgan. 
 
 
)
5
cos(
y
x
y




---

2
. Tenglama yechimini Eylerning ketma-ket yaqinlashish usulida hisoblaymiz
. (9.6) 
formulada i=0 bo‘lganda 
y
1
(0)
=y
0
+hf (x
0
;y
0
)=y
0
+k (x
0
+cos(y
0
/
5
))= 
=2.6+ 0.1(9.8+cos(9.6/
5
))=2.6+0.1(9.8+0.3968)=2.81968 
bo‘ladi. Bu Eyler usulidagi tenglama yechimining birinchi qiymati bo‘ladi. 
 
Endi y
1
(0)
=2.81968 dan foydalanib (9.7) formulaga asosan i=1 bo‘lganda 
y
1
(k)
= y
0
+
2
h
[f (x
0
, y
0
)+ f (x
1
,y
1
(k-1)
)] 
formulani k = 1,2,3,….. lar uchun ketma-ket 
y
1
(1)
, y
1
(2)
, y
1
(3)
, …, y
1
(k)
 
larni 

y
1
(k-1)
 – y
1
(k)
 

< 0.001 
 shartni qanoatlantirguncha hisoblaymiz. 
Demak, 
k=1, y
1
(1)
=y
0
+
2
h
[f (x
0
,y
0
)+f (x
1
,y
1
(0)
)]=2.6+0.05[2.1968+x
1
+cos (y
1
(0)
/
5
)] =

=2.6+0.05[2.1968+1.9+0.36486] =2.7102 
k=2, y
1
(2)
= 2.6+0.05[2.1968+x
1
+cos(y
1
(1)
/
5
)] =

=2.6+0.05[2.1968+1.9+ cos(9.7102/
5
)] =2.82239 
k=3, y
1
(3)
= 2.6+0.05[2.1968+1.9+cos(9.83339/
5
)] =

=2.6+0.05[2.1968+1.9+ 0.303709] =2.82002 
Endi xatolikni tekshiramiz. 
 

y
1
(2)
 – y
1
(3)
 

 =

2.8223 – 2.82202

=

0.0002

< 0.001 
Bundan 0.001 aniqlikdagi tenglama yechimining birinchi qiymati 
y
1
 = 2.82000 

 2.82 
bo‘ladi. 
 
Tenglama yechimi y
2
 qiymatini topish uchun yuqoridagi qoidani takrorlaymiz. 
i=1 uchun (9.6) formulaga asosan 
 
 
y
2
(0)
= y
1
 + hf (x
1
, y
1
) = 2.82 + 0.1(x
1
+cos (y
1
/
5
)) = 
 
 
 
=2.82+0.1(9.9+cos(9.82/
5
) = 3.04047 
i=1 uchun (9.7) formulaga asosan 
 
k=1, y
2
(1)
= y
1
+
2
h
[f (x
1
, y
1
)+ f (x
2
, y
2
(0)
)] =

=2.82+0.05[2.20471+2+cos(3.0404/
5
)] =3.0407
 
k=2, y
2
(2)
=y
1
+
2
h
[f (x
1
,y
1
)+f (x
2
,y
2
(2)
)]= y
1
+
2
h
[2.20471+2+ cos(u
2
(1)
/
5
)]=

=2.82+0.05[2.20471+2+cos(3.0407/
5
)] =3.04071
 
k=3, y
2
(3)
= y
1
+
2
h
[f (x
1
, y
1
)+ f (x
2
, y
2
(2)
)] =

=2.82+0.05[2.20471+2+cos (3.0407/
5
)] = 

=2.82+0.05[2.20471+2+cos (3.0407/
5
)] =3.0407
Endi xatolikni baholaymiz. 
 

y
1
(2)
– y
1
(3)

=

3.04071 – 3.04070

=

0.0001

< 0.001 
Bundan tenglama yechimining ikkinchi qiymati 
y
2
 = 3.0407 
bo‘ladi. 

---

Bu qoidani i=2,3,…,10 lar uchun ketma-ket davom ettirib tenglama yechimining qolgan 
qiymatlarini ham topamiz. 
y
3
=3.261, y
4
=3.483, y
5
=3.704, y
6
=3.926 
y
7
=4.147, y
8
=4.370, y
9
=4.593, y
10
=4.817 
 
3.Runge – Kutta usuli 
 
Birinchi tartibli (9.1) tenglamani (9.2) shartni qanoatlantiruvchi yechimning taqribiy 
qiymatini Runge – Kutta usuli bilan quyidagicha topamiz. Berilgan [x
0
,b] kesmani n ta teng 
bo‘lakka bo‘lib bo‘linish nuqtalari orasidagi qadam 
h
=(
b-x
0
)/
n
bo‘lganda,
x
i
=x
i -1
+ h
(
x=x
0 
; y=y
0
) 
)
(
1
i
Q
=
h f
(x
i
,y
i
) 
)
2
/
,
2
(
)
(
1
)
(
2
i
i
i
i
Q
y
h
x
hf
Q



)
2
/
,
2
(
)
(
2
)
(
3
i
i
i
i
Q
y
h
x
hf
Q



(9.11) 
)
;
(
)
(
3
)
(
4
i
i
i
i
Q
y
h
x
hf
Q



6
/
)
2
2
(
)
(
4
)
(
3
)
(
2
)
(
1
i
i
i
i
i
Q
Q
Q
Q
y





y
i+1
= y
i
+
i
y

 
i=0, 1, 2, 3……n. 
Bu Runge – Kutta usuli Koshi masalasi yechimning qiymatini to‘rtinchi tartibli aniqlikda
hisoblaydi. 
9.2-masala
da
 
differentsial tenglama uchun Koshi masalasi yechimning qiymatlarini
Runge-Kutta usulida hisoblaymiz. Buning uchun tenglama yechimini topish uchun quyidagi 
hisoblash ketma-ketligini bajaramiz. 
i =0 bo‘lganda x
0
=1.3
u
0
=2.6 lar uchun yechimning birinchi qiymatini hisoblaymiz. 
Q
1
0
=h
f
(x,y)=0.1(x
0
+cos(y
0
/
5
)=0.1(1.8+cos(2.6/
5
)=0.2196 
Q
2
0
=
h
f
(x
0
+h/ 2, y
0
+ Q
1
0
/2)=0.201245 
Q
3
0
=
h
f
(x
0
+h/ 2, y
0
+ Q
2
0
/2)=0.2205 
Q
4
0
=
h
f
(x
0
+h, y
0
+ Q
3
0
)=0.2927 
y
1
=y
0
+( Q
1
0
+ 2Q
2
0
+ 2Q
3
0
+ Q
4
0
)/ 6=2.02596 
Demak, berilgan tenglamaning birinchi qiymati 
y
1
=2.02596 
bo‘ladi. Yuqoridagi qoidani i=1, x
1
=1.9, y
1
=2.02596 lar uchun qo‘llab 
y
2
=3.0408 
ni topamiz. SHuningdek, i=2,3,…,10 lar uchun tenglama yechimini qolgan qiymatlarini topamiz. 
y
3
=3.2619 
y
14
=3.4831 
y
5
=3.7045 
y
6
=3.9260 
y
7
=4.1478 
y
8
=4.370 
y
9
=4.5931 
y
10
=4.9172 
 
 
MUSTAQIL ISHLASH
 
 UCHUN TOPSHIRIQLAR 
Quyidagi birinchi tartibli differentsial tenglamalar uchun Koshi masalasini ko'rsatilgan kesmada 
h=0,1 bo‘lganda: 
1.
Eyler usulida. 
2.
Eylerning ketma-ket yaqinlashish usulida. 
3.
Runge-Kutta usulida. 
Taqribiy yechimini toping va dasturini tuzing. 

---

1 
2 
3 
4 
5 
y'=x/(x+y) 
y(0)=1, 
[0,1] 
y'-2y=3e
x
y(0,3)=1,415 
[0,1;0,5] 
y'=x+y
2
y(0)=0,
[0;0,3] 
y'=y
2
-x
2
y(1)=1,
[1;2] 
y'=x
2
+y
2
y(0)=0.27
[0;1] 
6 
7 
8 
9 
10 
y'+xy(9-y
2
)=0 
y(0)=0.5
[0;1] 
y'=x
2
-xy+y
2
y(0)=0.1
[0;1] 
y'=(2y-x)/y
y(1)=2
[1;2] 
y'=x
2
+xy+y
2
+1
y(0)=0 
[0;1] 
y'+y=x
3
y(1)=-1
[1;2] 
11 
12 
13 
14 
15 
y'=xy+e
y
y(0)=0
[0;0.1] 
y'=2xy+x
2
y(0)=0
[0;0.5] 
y'=x+
3
sin
y
y(0)=1, [0;1] 
y'=e
x
-y
2
y(0)=0 
[0;0.4] 
y'=2x+cosy 
y(0)=0
[0;0.1] 
16 
17 
18 
19 
20 
y'=x
3
+y
2
y(0)=0.5
[0;0.5] 
y'=xy
3
-y 
y(0)=1
[0;1] 
y'=y
2
e
x
-2y
y(0)=1
[0;1] 
y'=
х
у

2
1
y(1)=0, [1;2] 
y'=
x
e
x
1
2

y(1)=1, [1;2] 
21 
22 
23 
24 
25 
y'=e
x
cosy/x
y(1)=1 , 
[1;2] 
y'=e
x
siny/x 
y(1)=1
[1;2] 
y'cosx-ysinx=2x
y(0)=0
[0;1] 
y’=ytgx-
x
3
cos
1
y(0)=0 , [0;1] 
y'+ycosx=cosx
y(0)=0
[0;1] 
26 
27 
28 
29 
30 
y’=
y
x
tg
x
y

y(0)=0, [0;1] 
y'=(9+
x
y
2
1

)
2 
y(1)=1, [1;2] 
xy'-
1

x
y
-x=0 
y(1)=1/2, [1;2] 
y'=
x
y
(9+lny-lnx) 
y(1)=e , [1;2] 
y
3
xdx=(x
2
y+2)dy
y(0.348)=2
[0;1]