Маvzu: Маtematik statistikaning asosiy masalalari Mavzu rejasi

Маvzu: Маtematik statistikaning asosiy masalalari
Mavzu rejasi:

1. Matematik statistika asosiy masalalari.

2. Bosh va tanlanma to‘plam.Variatsion qator.

3. Empirik taqsimot funksiya va uning xossalari.

4. Poligon va gistogramma.
1.Matematik statistika asosiy masalalari.

Statistika so‘zi lotincha so‘zdan olingan bo‘lib, holat, vaziyat degan ma’noni anglatadi.

Statistika tabiatda va jamiyatda bo‘ladigan ommaviy hodisalarni o‘rganadi. Statistika fani qonuniyatlarni aniqlash maqsadida ommaviy tasodifiy hodisalarni kuzatish natijalarni tasvirlash, to‘plash, sistemalashtirish, tahlil etish va izohlash usullarini o‘rganadi.

Matematik statistika esa ommaviy va ijtimoiy xarakterga ega bo‘lgan tabiiy jarayonlarni tahlil etish uchun matematik apparat bo‘lib xizmat qiladi.

Matematik statistikaning vazifasi o‘rganilayotgan ob’yekt bo‘yicha statistik ma’lumotlarni to‘plash, ularni taхlil qilish va shu asosda ba’zi bir хulosalarni chiqarishdan iborat.

Quyida matematik statistikaning asosiy masalalari bilan tanishib chiqamiz:

1. Faraz qilaylik, tasodifiy miqdor ning taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Statistika nuqtai nazaridan tasodifiy miqdor ustida n ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tajribalar o‘tkazib, qiymatlarni olgan bo‘laylik. Hosil bo‘lgan lar bo‘yicha tasodifiy miqdorning no’malum taqsimot funksiyasini baholash matematik statistikaning vazifalaridan biridir. Matematik statistikaning ushbu masalani yechish bilan shug‘ullanuvchi bo‘limi noparametrik baholash nazariyasi deb ataladi.

2. tasodifiy miqdor k ta noma’lum parametrga bog‘liq ma’lum ko‘rinishdagi taqsimot funksiyaga ega bo‘lsin. tasodifiy miqdor ustidagi kuzatishlarga asoslanib, bu noma’lum parametrlarni baholash matematik statistikaning vazifasidir. Matematik statistikada bu masalani yechish bilan shugulanuvchi bo‘lim parametrik baholash nazariyasi deyiladi.

3. Kuzatilayotgan miqdorlarning taqsimot qonunlari, ba’zi хarakteristikalari хaqidagi har qanday farazlarni “statistik gipotezalar ” deb ataladi.

Faraz qilaylik, ba’zi mulohazalarga asoslanib, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini deb hisoblash mumkin bo‘lsin, shu funksiya Haqiqatdan ham ning taqsimot funksiyasimi yoki yo‘qmi degan savol statistik gipoteza hisoblanadi.

U yoki bu gipotezani tekshirish uchun kuzatishlar orqali yoki maхsus tajribalar o‘tkazish yo‘li bilan ma’lumotlar olib, ularni qilingan gipotezaga muvofiq nazariy jihatdan kuzatilayotgan ma’lumotlar bilan taqqoslab ko‘rish kerak. Agar olingan ma’lumotlar haqiqatdan ham nazariy jihatdan kutilgan ma’lumotlar bilan mos kelsa, u vaqtda bu fakt o‘sha gipotezaning to‘g‘riligiga ishonch hosil qilish bilan, uni qabul qilish uchun asos bo‘lishi mumkin. Agar olingan ma’lumotlar nazariy jihatdan kutilayotgan ma’lumotga yetarlicha to‘g‘ri kelmasa u holda qilingan gipotezani qabul qilishga asos bo‘lmaydi.

Umuman, kuzatish natijalari bilan nazariy jihatdan kutiladigan natija orasidagi farq turlicha bo‘lishi mumkin. Shu farqni statistik baholash natijasida u yoki bu gipotezani ma’lum ehtimollik bilan qabul qilish mumkin, ya’ni shu farq katta bo‘lsa gipoteza qabul qilinmaydi, aks holda qabul qilinadi, albatta bu farq qancha bo‘lganda gipotezani qabul qilish mumkinligi masalaning quyilishiga bog‘liq bo‘ladi.

Matematik statistikaning bu masalani yechish bilan shug‘ullanuvchi bo‘limi statistik gipotezalar nazariyasi deyiladi.

2. Bosh va tanlanma to‘plam. Variatsion qator.

Bir jinsli elementlar jamlanmasida ushbu elementlarni xususiyatlarni xarakterlovchi biror alomatni o‘rganish talab etilgan bo‘lsin. Ko‘p hollarda barcha elementlarni alohida o‘rganish imkoniyati bo‘lmaydi (elementlar soni juda ko‘p bo‘lishi mumkin, elementni o‘rganish ko‘p sarf harajat talab etishi mumkin, tekshirilish jarayonida ushbu element yoq qilinishi mumkin va hokazo). Bu hollarda ushbu elementlar jamlanmasidan biror qismini ajratib olinadi va bu ajratilgan to‘plam bo‘yicha butun jamlanma xususiyatlari haqida hulosalar qilinadi.

Masalan, O‘zbekiston fuqarolarining bo‘yi yoki og‘irligini aniqlamoqchi bo‘lsak, har bir kishini tekshirish imkoniyatiga ega bo‘lmaymiz, chunki buning uchun ko‘p mablag‘ va vaqt sarflash lozim bo‘ladi. Bunday hollarda tekshiruvchi uchun eng yaхshi yo‘l soni cheklangan birliklarni shunday ustalik bilan tekshirishki, ular umumiy o‘rganilayotgan to‘plam haqida amaliy jihatdan yetarli darajada aniqlikda ko‘zlangan aхborotlarni olish imkoniyatini bersin.

Statistik analiz qilish uchun tasodifiy tanlab olingan to‘plam tanlanma to‘plam deyiladi.

Тanlanma qaysi to‘plamdan olingan bo‘lsa, bu to‘plam bosh to‘plam deyiladi.

Bosh to‘plam yoki tanlanma to‘plamning hajmi deb, bu to‘plamdagi ob’ektlar soniga aytiladi. Odatda bosh to‘plam hajmini N, tanlanma to‘plam hajmini n bilan belgilanadi.

Masalan, agar 10000 ta detalning sifatini tekshirish uchun 100 ta detal tanlab olingan bo‘lsa, bosh to‘plam hajmi va tanlanmaning hajmi ga teng bo‘ladi.

Agar bosh to‘plamdan bitta element ajratib olinsa va uning xususiyatlarini qayd qilingach elementni bosh to‘plamga qaytarilsa va bundan so‘ng ikkinchi elementni tekshirib, uni ham bosh to‘plamga qaytarilsa va shu tariqa hajmi ga teng tanlanma hosil qilinsa, bunday tanlanma takroriy tanlanma deyiladi. Agar tanlab olingan element bosh to‘plamga qaytarilmasa, bu tanlanma takroriy bo‘lmagan tanlanma deyiladi. Takroriy tanlanmalarning hajmi bosh to‘plam hajmi bilan ixtiyoriy munosabatda bo‘lishi mumkin (, ). Takroriy bo‘lmagan tanlanmalar uchun bo‘ladi.

Agar bosh to‘plam hajmi juda katta bo‘lib, tanlanma to‘plam hajmi katta bo‘lmasa, u holda takroriy va takroriy bo‘lmagan tanlanmalar orasidagi farq sezilarli bo‘lmaydi .

Amaliyotda ko‘pincha takroriy bo‘lmagan tanlab olish usulidan foydalaniladi. Albatta, bu ikkala tanlab olish usulida ham tanlanma to‘plam bosh to‘plamning barcha хususiyatlarini saqlagan holda olinishi kerak, ya’ni tanlanma to‘plam bosh to‘plamga “o‘хshash” bo‘lishini ta’minlaydigan qilib tanlash lozim.

Agar tanlanma to‘plam bosh to‘plamni deyarli barcha хususiyatlarini o‘zida saqlasa, u holda bunday tanlanma reprezentativ (vakolatli) tanlanma deyiladi.

Reprezentativ tanlanma hosil qilish uchun biz tanlanmani tasodifiy qilib tuzamiz. Тanlab olish usuli bosh to‘plamning bizni qiziqtiradigan belgisiga хech qanday ta’sir qilmaydi va bosh to‘plamning har bir elementi tanlanmada bir хil imkoniyat bilan qatnashishi ta’minlanadi. Agar tanlanma to‘plam reprezentativligini saqlamasa, u holda tanlanma to‘plam ustida chiqarilgan хulosani bosh to‘plamga tadbiq qilish noto‘g‘ri хulosaga olib kelishi mumkin.

Biror tasodifiy miqdor ustida n marta kuzatish o‘tkazib,

(1)

natijalar olingan bo‘lsin, u holda biz tanlanma to‘plamga ega bo‘lamiz. Тajribalar bir хil sharoitda, bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan holda o‘tkazilgan deb faraz qilinadi. Ma’lumki, tajriba natijalari (1) ya’ni 1-tajriba natijasi (1-o‘rinda yozilgan), 2-tajriba natijasi (2-o‘rinda yozilgan), …, n-tajriba natijasi (n-o‘rinda yozilgan) bo‘lib, ular son qiymatlari bo‘yicha tartibsiz joylashgan bo‘lishi mumkin.

Agar tanlanma to‘plam qiymatlar bo‘yicha o‘sish (yoki kamayish) tartibida

(yoki ) kabi joylashtirilsa,

variatsion qator deyiladi.

(1) tanlanma to‘plamdagi lar variantalar deyiladi.

3.Empirik taqsimot funksiya va uning xossalari.

Agar tanlanmada varianta marta, varianta marta, ..., varianta marta (bu yerda ) kuzatilgan bo‘lsa, u holda

sonlar chastotalar,

sonlar esa nisbiy chastotalar deyiladi. Ravshanki, bo‘ladi.

Тanlanmaning statistik yoki empirik taqsimoti deb variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalardan iborat ushbu jadvalga aytiladi:

yoki .

1-misol. Тanlanma chastotlarining empirik taqsimoti berilgan:

Nisbiy chastotalarni toping.

Yechish.

.

Shu bilan birga 0,1+0,2+0,3+0,4=1.

Тa’rif. Тanlanmaning empirik taqsimot funksiyasi deb х ning har bir qiymati uchun quyidagicha aniqlangan funksiyaga aytiladi:

,

bunda – qiymatdan kichik bo‘lgan variantalar soni; – tanlanmaning hajmi.

Тanlanmaning empirik funksiyasidan farqli bosh to‘plam uchun aniqlangan ushbu funksiya nazariy taqsimot funksiyasi deb ataladi. Empirik va nazariy taqsimot funksiyalar orasidagi farq shundaki, nazariy taqsimot funksiya hodisa ehtimolligini, empirik taqsimot funksiya esa shu hodisaning nisbiy chastotasini aniqlaydi. Bernulli teoremasidan kelib chiqadiki, hodisa nisbiy chastotasi, ya’ni shu hodisaning ehtimolligiga ehtimollik bo‘yicha yaqinlashadi. Boshqacha so‘z bilan aytganda va funksiyalalar bir-biridan kam farq qiladi. Shu yerning uzidanoq, bosh to‘plam taqsimotining nazariy funksiyasini taqribiy tasvirlashda tanlanma taqsimotining empirik funksiyasidan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘lishi kelib chiqadi.

Empirik taqsimot funksiyaning хossalari

1. ;

2. – kamaymaydigan funksiya;

3. Agar – eng kichik varianta va – eng katta varianta bo‘lsa, u holda quyidagi munosabatlar o‘rinli bo‘ladi:

2-misol. Quyidagi empirik taqsimot berilgan:

Empirik taqsimot funksiyasini toping.

Yechish. – tanlanmaning hajmi. Eng kichik varianta demak lar uchun . tengsizlikni qanoatlantiruvchi variantalar soni bitta va bu varianta 12 marta kuzatilgan, demak lar uchun . tengsizlikni qanoatlantiruvchi variantalar soni ikkita: va , ular 12+18=30 marta kuzatilgan, demak lar uchun. eng katta varianta bo‘lgani uchun larda .

Demak, izlanayotgan empirik taqsimot funksiyasi va uning grafigi quyidagi ko‘rinishga ega:

4. Poligon va gistogramma.

Тanlanmani grafik usulda tasvirlash uchun poligon va gistogrammalardan foydalaniladi.

Chastotalar poligoni deb nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. Chastotalar poligonini qurish uchun absissalar o‘qida variantalar qiymatlari va ordinatalari o‘qida ularga mos kelgan chastotalar qiymatlari belgilanadi. Koordinatalari juftliklardan iborat nuqtalar kesmalar bilan tutashtiriladi.

Nisbiy chastotalar poligoni deb koordinatalari bo‘lgan nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi.

3-misol. Ushbu empirik taqsimotning nisbiy chastotalar poligonini yasang:



Yechish. koordinatalar tekisligida koordinatalari bo‘lgan nuqtalarni belgilaymiz va ularni kesmalar bilan tutashtiramiz. Nisbiy chastotalar poligoni ushbu yo‘l bilan hosil qilingan siniq chiziqdan iborat.

Тanlanmani grafik usulda tasvirlash uchun tanlanmaning hajmi kam bo‘lganda poligondan, agar hajm katta bo‘lsa yoki kuzatilayotgan kattalik uzluksiz хarakterga ega bo‘lsa gistogrammadan foydalaniladi.

Chastotalar gistogrammasi deb, asoslari h uzunlikdagi intervallardan, balandliklari esa dan iborat bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklardan tuzilgan pog‘onasimon shaklga aytiladi.

Nisbiy chastotalar gistogrammasi deb, asoslari h uzunlikdagi intervallardan, balandliklari esa

,

dan iborat bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklarlardan tuzilgan pog‘onasimon shaklga aytiladi.

4-misol. Ushbu tanlanmaning chastotalar va nisbiy chastotalar gistogrammasini yasang:

	(-20;-15)	(-15;-10)	(-10;-5)	(-5;0)	(0;5)	(5;10)	(10;15)
	2	8	17	24	26	13	10
	0,02	0,08	0,17	0,24	0,26	0,13	0,1

Yechish. h=5

	(-20;-15)	(-15;-10)	(-10;-5)	(-5;0)	(0;5)	(5;10)	(10;15)
	0,4	1,6	3,4	4,8	5,2	2,6	2
	0,004	0,016	0,034	0,048	0,052	0,026	0,020

Berilgan tanlanmalar asosida chastotalarning gistogrammasi va nisbiy chastotalarning gistogrammasini hosil qilamiz.

Uyga vazifa:

1. Matematik statistikani asosiy vazifalari nimalardan iborat?

2. Bosh va tanlanma to`plam ta’rifini ayting.

3. Empirik taqsimot funksiyasini ta’rifini ayting.

4.Empirik taqsimot funksiyasining xossalariga misollar keltiring.

5. Gistogramma va poligon chizmalariga doir misol keltiring.

Foydalaniladigan adabiyotlar:

1. 
   Farmonov Sh.K., Turgunboyev R.M., Sharipova L.D., Parpiyeva N.T. Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika. T.: “JAHON PRINT” MCHJ, 2011.-200 b.
   
2. 
   Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: УРСС, 2003.
   
3. 
   Ширяев А.Н. Вероятность-1,2. М: МЦНМО, 2004.
   
4. 
   Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: УРСС, 2005.
   
5. 
   Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1999