Mərkəzi Bank və İqtisadiyyat – N2, 2015

Mərkəzi Bank və İqtisadiyyat – N2, 2015 

 

81 

 

burada diskret histoqramın yerinə qeyri-parametrik kernel yanaşmasından da istifadə 

etmək olar. Belə ki, kernel sıxlıq funksiyasının normal paylanma funksiyası olduğunu 

fərz  etsək,  bu  zaman  neft  qiymətləri  üzrə  histoqramdan  daha  hamar  və  kəsilməz 

funksiya hesablamaq mümkündür.  

Əgər  bütün  icra  qiymətlərini

}

,...,

{

1

n

K

K

 işarə  etsək,  bu  zaman  neft  qiymətləri  üzrə 

ehtimal paylanmasını aşağıdakı kimi hesablaya bilərik:  









n

i

T

i

T

h

F

K

nh

F

f

1

)

ker(

1

)

(

                                                             (6) 

burada 

)

ker(



normal paylanma funksiyasının kernelidir: 

)

2

exp(

2

1

)

ker(

)

ker(

2

u

u

h

F

K

T

i











                                       (7) 

h

parametri  diapazon  eni  adlanır  və  funksiyanın  hamarlılığını  tənzimləyir.  İkinci 

tərtibdən  normal  kernel  üçün  biz  Silvermanın  gözəyarı  qaydasından  istifadə  etməklə

5

/

1

06

.

1





n

h



olaraq  müəyyənləşdiririk  (



icra  qiymətləri  üzrə  standard  kənarlaşmanı 

ifadə edir).  

İkinci metodologiya parametrik yanaşma  olub baza aktivinin qiymətləri üzrə neytral 

riskli  ehtimal  paylanmasını  müəyyən  struktura  salır  və  onun  iki  müxtəlif  loqnormal 

paylanmadan  formalaşdığını  fərz  edir  (Bahra  (1997)).  Qeyd  etmək  lazımdır  ki,  bu 

yanaşmanın  üstünlüyü  qiymətlərin  formalaşması  prosesi  ilə  bağlı  öncədən  fərziyyə 

irəli  sürməməsi,  sadəcə  qiymətlərin  son  ehtimal  paylanması  fərziyyəsinə 

dayanmasıdır.  Belə  ki,  qiymətlərin  inkişaf  dinamikasını  xarakterizə  edən  müxtəlif 

stoxastik  proseslər  sonda  eyni  ehtimal  paylanmasına  gətirib  çıxara  bilər.  Bu 

baxımdan  qiymətlərlə  bağlı  ehtimal  paylanması  fərziyyəsinə  əsasən  qiymətləndirmə 

aparmaq daha ümumi  yanaşma kimi qəbul  edilə bilər. Yanaşmanın ikinci üstünlüyü 

ehtimal  paylamasının  hər  zaman  müsbət  qiymət  almasını  təmin  etməsidir.  Yuxarıda 

da  qeyd  olunduğu  kimi  opsiyonlar  üzrə  arbitraj  imkanlarının  mövcud  olması  faktı  - 

məsələn,  monotonluq  və  ya  konvekslik  şərtlərinin  pozulması  müşahidə  olunan 

opsiyon qiymətlərindən əldə olunan ehtimalların mənfi qiymət almasına gətirib çıxara 

bilər. Bizim istifadə etdiyimiz məlumat bazasında da bəzi hallarda bu şərtlər pozulur 

ki,  bu  də  bəzi  icra  qiymətləri  üzrə  ehtimalın  mənfi  qiymət  almasına  gətirib  çıxarır. 

Lakin ehtimal paylanması fəziyyəsinin öncədən irəli sürülməsi belə halların qarşısını 

alır.  

---

Mərkəzi Bank və İqtisadiyyat – N2, 2015 

 

82 

 

Neft  qiymətləri  üzrə  ehtimal  paylanmanın

)

(

T

F

f

iki müxtəlif loqnormal paylanmadan 

formalaşdığını düşünsək, bu zaman (2) tənliyini aşağıdakı kimi də yazmaq olar: 

T

K

T

T

T

dF

K

F

F

L

F

L

t

T

r

K

C

















)

))(

,

,

(

)

1

(

)

,

,

(

(

))

(

exp(

)

(

2

2

1

1













                    (8) 

burada

)

,

,

(

T

i

i

F

L





loqnormal  paylanma,

i



və

i



isə  müvafiq  olaraq  paylanmanın  riyazi 

gözləməsi və standard kənarlaşmasıdır: 

}

2

)

(ln

exp{

2

1

)

,

,

(

2

2

i

i

T

i

T

T

i

i

F

F

F

L



















                                            (9) 

Beləliklə,  (8)  tənliyi  ehtimal  paylanması  fərziyyəsi  əsasında  alma  opsiyonlarınının 

təxmin  edilən  qiymətlərini  göstərir.  Yuxarıdakı  tənlikdə  faiz  dərəcəsini  müşahidə 

etdiyimizdən  beş  parametrin  (

1



,

1



,

2



,

2



,



)  qiymətlərinin  müəyyənləşdirilməsi 

alma  opsiyonlarının  qiymətlərini  hesablamağa  imkan  verər.  Həmin  tənlikdəki 

parametrlərin  qiymətlərini  isə  optimallaşdırma  problemini  həll  etməklə  tapmaq 

mümkündür.  Belə  ki,  alma  opsiyonlarının  müşahidə  olunan  qiymətləri  və  modelin 

təxmin  etdiyi  qiymətlər  arasında  fərqin  kvadratları  cəminin  həmin  parametrlərə  görə 

minimallaşdırılmasını  həyata  keçirə  bilərik.  Bu  zaman  biz  neft  qiymətlərinin  riyazi 

gözləməsinin  fyuçersin  qiymətinə  bərabər  olması  şərtini  də  minimallaşdırma 

probleminə daxil edirik: 

2

2

1

2

1

1

2

,

,

,

,

]

)

1

(

[

]

ˆ

)

(

[

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

min

arg

T

n

i

i

i

F

e

e

c

K

C









































                (10) 

burada

)

(

i

K

C

 (8)  tənliyi  əsasında  alma  opsiyonlarının  təxmin  olunan  qiymətlərini,

i

cˆ

alma  opsiyonlarının  müşahidə  olunan  qiymətlərini,  məqsəd  funksiyasının  ikinci 

hissəsi  isə  fyuçersin  qiymətinin  iki  loqnormal  qarışıq  paylanmanın  gözlənilən 

ortasına  bərabər  olduğu  şərtini  əks  etdirir.  Qeyd  etmək  lazımdır  ki, 

0

,

2

1







və 

1

0







şərtləri də minimallaşdırma probleminə daxil edilir. 

Məqalədə  istifadə  olunan  üçüncü  yanaşma  yarı-parametrik  metodologiya  hesab 

olunur və Şimko (1993) və Datta və digərlərinin (2014) yanaşmasını istinad götürür. 

Aydındır  ki,  alma  opsiyonları  üzrə  qiymətlər  yalnız  diskret  dəyərlər  aldığından, 

həmçinin 

ehtimal  paylanmasının  kənar  qollarındakı  qiymətlər  müşahidə 

olunmadığından  opsiyon  qiymətlərinin  xüsusi  törəmələrini  götürmək  və  ehtimal 

paylanmasını  hesablamaq  çətindir.  Lakin  müşahidə  olunan  opsiyon  qiymətlərini 

interpolyasiya  və  ekstrapolyasiya  etmək  və  beləliklə,  ədədi  diskret  törəmə 

---