Mərkəzi Bank və İqtisadiyyat – N2, 2015
83
hesablamaq mümkündür. Opsiyon qiymətlərini birbaşa interpolyasiya və
ekstrapolyasiya etməkdənsə, Şimko (1993) opsiyon qiymətləri üzrə Blek-Şolsun
formulasından istifadə etməklə volatilliyi hesablamağı, interpolyasiyanı isə volatillik-
icra qiymətləri müstəvisində aparmağı təklif edir. Şimko (1993) interpolyasiya üçün
kvadratik funksiyadan istifadə edir və interpolyasiya olunmuş volatillikləri Blek-
Şolsun formulası əsasında opsiyon qiymətlərinin hesablanması üçün istifadə edir. Biz
də Datta və digərlər (2014) kimi volatillik-icra qiymətləri müstəvisində interpolyasiya
aparmaq üçün hamarlayan espilayn
28
metodundan istifadə edəcəyik. Volatilliklərin
hesablanmasından sonra Blek-Şols formulasından istifadə etməklə opsiyonların
qiymətlərini hesablayır və əldə olunan qiymətlər üzrə ikinci tərtibdən ədədi törəməni
tapırıq. Bu bizə baza aktivinin (neft fyuçersi) qiymətləri üzrə ehtimal sıxlıq
paylanmasını verir.
Bir çox hallarda, əldə olunan empirik ehtimal paylanmasının qollarının
ekstrapolyasiya olunması zərurəti də yaranır. Bu məqsədlə müxtəlif ehtimal
paylanmalarından, məsələn, normal və ya loqnormal, t-student, və s. istifadə oluna
bilər. Bu məqalədə, biz əldə olunan empirik paylanmanın qollarının ekstrim qiymətlər
paylanmasının qolları ilə oxşarlıq təşkil etdiyini fərz edirik. Ekstrim qiymətlər
paylanmasını seçməyimizin səbəbi onun qollarındakı qiymətlərə yaxınlaşdıqca
qollarının sürətli düşməməsi və “kök” qollarının
29
mövcud olmasıdır. Başqa sözlə,
ekstrim qiymətlər paylanması ekstrim qiymətlərin reallaşmasına daha çox ehtimal
verməyə imkan verir və bu səbəbdən, həmin paylanma bazarın təlatümlü dövrlərində
əlverişli seçim hesab oluna bilər.
Beləliklə, hesablanan empirik paylanmanın müşahidə olunmayan qollarına ekstrim
qiymətlər paylanmasının qollarını “calaq” edir və ehtimal sıxlıq paylanmasının
altındakı sahəni 1-ə tamamlamalıyıq. Lakin bəzi hallarda sahəni 1-ə tamamlamaq
üçün tələb olunan qalıq ehtimalın empirik paylanmanın iki qolları arasında
bölüşdürülməsi zərurəti ortaya çıxır. Biz həmin qalıq ehtimalı sıxlıq funksiyasının iki
tərəfdə aldığı qiymətlərə görə proporsional bölüşdürürük. Beləliklə, bir çox hallarda
hesablanan empirik paylanmaya iki müxtəlif ekstrim qiymətlər paylanmasının
qollarını “calaq” etmək zərurəti yaranır (Şəkil 3). Empirik paylanmanın hər bir
qoluna adekvat ekstrim qiymətlər paylanmasının tapılması üçün bizə iki parametrin
müəyyənləşdirilməsi lazımdır – ekstrim qiymətlər paylanmasının riyazi gözləməsi və
onun standard kənarlaşması.
28
İngilis dilində hamarlayan espilayn – “smoothing spline”
29
İngilis dilində kök qollu ehtimal – “fat tail distribution”
Mərkəzi Bank və İqtisadiyyat – N2, 2015
84
Şəkil 3. Empirik ehtimal paylanmasının qollarının ekstrapolyasiyası (05 Noyabr 2014)
Empirik ehtimal paylanmasının sol qolunun formalaşdırılması üçün tələb olunan iki
parametrin tapılması məsələsini aşağıdakı tənliklərdən istifadə etməklə həll edirik:
L
L
EVD
K
F
))
(
(
1
(11)
))
(
(
))
(
(
1
1
L
EMP
L
EVD
K
f
K
f
(12)
burada
)
(
EVD
F
kumulyativ ekstrim qiymətlər paylanmasını,
)
(
EVD
f
ekstrim qiymətlər
ehtimal sıxlıq funksiyasını, isə
)
(
EMP
f
empirik sıxlıq funksiyasını göstərir:
))
exp(
exp(
)
exp(
1
)
(
T
T
T
EVD
F
F
F
f
(13)
(11) tənliyi empirik paylanmanın sol qolu üzrə qalıq ehtimalın (
L
) ekstrim qiymətlər
paylanması üçün də eyni olması şərtini irəli sürür. Bu zaman qalıq ehtimal sahəsi hər
iki paylanmalar üçün də ilkin icra qiymətindən (
)
(
1
L
K
) sol tərəfə sahə kimi tərif
olunur.
(12) tənliyi isə ilkin icra qiymətində empirik və ekstrim qiymətlər sıxlıq
funksiyalarının eyni qiymət alması şərtini irəli sürür. Qeyd etmək lazımdır ki, ehtimal
paylanmasının sağ qolunun qiymətləndirilməsi zamanı da ekstrim qiymətlər
paylanmasının oxşar şərtləri təmin etməsi axtarılır.
Burada bir məqamı da qeyd etmək yerinə düşərdi. Praktikada empirik paylanmanın
qollarının approksimasiyasının aparılması üçün təklif olunan ekstrim qiymətlər
paylanmasının qollarının hansı qiymətlərə qədər uzadılması məsələsi də aktual
40
60
80
100
120
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
orjinal
40
60
80
100
120
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05