2.2 Kinematika
Zdroj: Fyzika v kostce, Vladimír Lank, Miroslav Vondra, Fragmentt, Praha 2008, ISBN 978-80-253-0228-6
Kinematika je část mechaniky, která se zabývá klasifikací a popisem různých druhů pohybu,
ale nezabývá se jeho příčinami. Naproti tomu dynamika zkoumá pohyb z hlediska působení
sil.
Kinematika se tedy zaměřuje na sledování polohy, rychlosti apod. Nesleduje však
dynamické veličiny, jako např. hybnost a energii, kterými se zabývá dynamika.
Důležitým kinematickým
pojmem je hmotný bod.
Jedná se o idealizaci, kdy
libovolné těleso při
popisu jeho pohybu
nahrazujeme bodem s
danou hmotností. Tento
bod obvykle umísťujeme
do těžiště tělesa. Poloha
tělesa je údaj, vyjadřující
umístění tělesa vzhledem
ke vztažné soustavě. Jednou z možností, jak zadat
polohu tělesa je polohový vektor neboli průvodič.
Trajektorie je množina bodů, kterou hmotný bod
prochází (přímka, kružnice, cykloida, …). Dráha (s)
je délka trajektorie hmotného bodu.
Dělení pohybů:
dle tvaru trajektorie:
přímočarý (vektor rychlosti v splývá s trajektorií)
křivočarý (v mění směr, je tečnou k trajektorii)
dle okamžité rychlosti:
rovnoměrný (vektor rychlosti v=konst.)
nerovnoměrný (vkonst.)
Pohyby a jejich zrychlení:
POHYB
Tečné zrychlení
Normálové zrychlení Celkové zrychlení
Rovnoměrný přímočarý
a
t
= 0
a
n
= 0
a = 0
Rovnoměrný křivočarý
a
t
= 0
a
n
0
a
0
Nerovnoměrný přímočarý
a
t
0
a
n
= 0
a
0
Nerovnoměrný křivočarý
a
t
0
a
n
0
a
0
Průměrná rychlost:
v = s / t
[v]=m*s
–1
Okamžité zrychlení (akcelerace):
a = v / t
[a]=m*s
–2
Rovnoměrný přímočarý pohyb je pohyb po přímce se stálou rychlostí. Pokud
přímočarý pohyb není rovnoměrný, bývá také označován jako nerovnoměrný přímočarý
pohyb (jde tedy o pohyb s proměnnou rychlostí). Pro rovnoměrný přímočarý pohyb platí
následující rovnost:
Rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu je z definice
konstantní, tedy rovna počáteční rychlosti tělesa:
Dynamika
Podle prvního Newtonova zákona v rovnoměrném přímočarém
pohybu setrvává těleso (hmotný bod), na které je celkové silové
působení nulové, tedy buď žádné síly nepůsobí, nebo jejich
výsledná hodnota je nulová (výslednice je nulový vektor).
Př.: Cyklista ujel prvních 26 km za 1 hod a dalších 42 km za 3 hod. jaká byla jeho průměrná rychlost? (17 km/h)
(26+42) / (1+3)=17 km/h
Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb je pohyb po přímce se stálým zrychlením.
Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb je zvláštním případem nerovnoměrného
přímočarého pohybu, kdy zrychlení je konstantní ve velikosti i směru. Trajektorií je
přímka nebo část přímky. Velikost rychlosti se mění přímo úměrně s časem. Směr
rychlosti se nemění.
Má-li zrychlení stejnou orientaci (hodnotu znaménka)
jako směr pohybu tělesa, pak se rychlost tělesa zvyšuje
a jedná se o zrychlený pohyb. Má-li zrychlení opačnou
orientaci (hodnotu znaménka) než směr pohybu tělesa,
pak se rychlost tělesa snižuje a jedná se o pohyb
zpomalený.
Rychlost rovnoměrně zrychleného/zpomaleného
přímočarého pohybu: v = v
0
+/- a * t
Dráha rovnoměrně zrych./zpomal. přímočarého pohybu:
s = s
0
+ v
0
* t +/- 1/2 * a * t
2
Volný pád
Je pohyb volně puštěného tělesa (v
0
=0ms
-1
) v blízkosti povrchu země ve vakuu. Jeto
rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou počáteční rychlostí a tíhovým zrychlením g,
které směřuje vždy svisle dolů:
v = g * t
s = 1/2 *g * t
2
g = 9,81 ms
-1
Př.: Těleso o hmotnosti 26 kg se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočarým pohybem (v
0
=0 m/s) a za první
sekundu urazí 1 m. Jakou dráhu urazí za druhou sekundu? (3 m)
1=1/2*a*1
a=2 m/s
s=1/2*2*2
2
=4 m 4-1=3 m
Př.: Automobil se rozjíždí s konstantním zrychlením 4 m/s
2
. Jak velkou rychlost (km/h) získá na dráze 50m? (72 km/h)
50=1/2*4*t
2
t=5s
v=4*5=20 m/s = 72 km/h
Dynamika
Síly působící při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu:
Podle 2. Newtonova pohybového zákona působí na těleso se stálým zrychlením stálá
síla o velikosti: kde m je hmotnost, a je zrychlení.
Protože normálové zrychlení je nulové, musí mít výsledná síla stejný směr (bez ohledu
na orientaci), jako rychlost pohybu, tedy působí v přímce pohybu. Má-li působící síla
stejnou orientaci jako je směr pohybu, pak těleso zrychluje, má-li síla orientaci opačnou
než pohybu, pak těleso zpomaluje.
Rovnoměrný pohyb po kružnici (rotační) je pohyb, při kterém je trajektorií kružnice a
velikost rychlosti se nemění. Jedná se o speciální případ obecného pohybu po kružnici.
Dráha při rovnoměrném pohybu po kružnici:
Obvodová dráha s je vzdálenost (délka oblouku kružnice), kterou urazí těleso během
pohybu po obvodu kružnice.
s = v * t , kde v je obvodová rychlost, t je čas
Úhlová dráha φ je úhel v radiánech, který urazí průvodič tělesa během pohybu.
φ = ω * t, kde ω je úhlová rychlost, t je čas
Mezi úhlovou dráhou a obvodovou dráhou je vztah: φ = s / r, kde r je poloměr kružnice.
Víme, že platí s = 2*
*r, tedy φ = 2*
*r/r rad, tj. 360°, což odpovídá 2
radiánů
Rychlost při rovnoměrném pohybu po kružnici:
Obvodová rychlost v je rychlost pohybu po obvodu
kružnice
v = konst.
v = s / t, kde s je obvodová dráha, t je čas
Úhlová rychlost ω je rychlost průvodiče tělesa
ω = konst.
ω = φ / t, kde φ je úhlová dráha, t je čas
Vztah mezi úhlovou rychlostí a obvodovou rychlostí: ω = v /
r, kde r je poloměr kružnice.
Zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici:
Při rovnoměrném pohybu po kružnici se nemění velikost rychlosti, ale neustále se mění
směr rychlosti. Tuto změnu v čase vyjadřuje dostředivé zrychlení a
d
, jehož směr je do
středu kružnice. Jiné zrychlení u rovnoměrného pohybu po kružnici není.
a
d
= v
2
/ r, nebo a
d
= ω
2
* r (nebo 4*
2
*r/T
2
, resp. 4*
2
*r*f
2
), kde v je obvodová rychlost,
ω je úhlová rychlost, r je poloměr kružnice
Perioda a frekvence
Perioda vyjadřuje dobu, za kterou těleso opíše kružnici právě jednou. Frekvence určuje
počet kružnic, které těleso urazí za jednotku času.
Perioda T = 2 * π / ω nebo T = 2 * π * r / v
Frekvence f = 1 / T nebo f = ω / 2 * π nebo f = v / 2 * π * r, kde ω je úhlová rychlost, v
je obvodová rychlost, r je poloměr kružnice
Rovnoměrný pohyb po kružnici má v praxi velké využití:
- kolo automobilu
- ventilátory
- hodinové ručičky
- měření rychlosti proudění vzduchu
- rotační generátory
Síly působící při rovnoměrném pohybu po kružnici
Dostředivé zrychlení je vyvoláno dostředivou silou, jejíž směr je do středu kružnice a
jejíž velikost se nemění. Z 2. Newtonova pohybového zákona je velikost dostředivé síly
F
d
= m * ω
2
* r
nebo
F
d
= m * v
2
/ r ,
kde m je hmotnost hmotného bodu, ω je úhlová rychlost, v je obvodová rychlost, r je
poloměr kružnice.
Dostředivá síla má svou reakci v odstředivé setrvačné síle, jejíž velikost je stejná jako
velikost dostředivé síly, ale působí směrem od středu kružnice.
Rovnoměrně zrychlený (zpomalený) pohyb po kružnici je pohyb, při kterém je
trajektorií kružnice a velikost rychlosti se mění přímo úměrně s časem. Jedná se o
případ pohybu po kružnici, kdy obvodové nebo úhlové zrychlení je stálé.
Dráha při rovnoměrně zrychleném pohybu po kružnici:
Obvodová dráha s je vzdálenost (délka oblouku kružnice), kterou urazí těleso během
pohybu po obvodu kružnice.
s = s
0
+ v
0
*t + 1/2 a * t
2
, kde a je obvodové zrychlení, t je čas
Úhlová dráha φ je úhel, který urazí průvodič tělesa během pohybu.
φ = 1 φ + ω
0
*t + 1/2 ε * t
2
, kde ε je úhlové zrychlení, t je čas
Mezi úhlovou dráhou a obvodovou dráhou je vztah: φ = s / r, kde r je poloměr kružnice.
Rychlost při rovnoměrně zrychleném pohybu po kružnici:
Obvodová rychlost v je rychlost pohybu po obvodu kružnice
v = v
0
+ a * t , kde a je obvodové zrychlení, t je čas
Úhlová rychlost ω je rychlost průvodiče tělesa
ω = ω
0
+ ε * t , kde ε je úhlové zrychlení, t je čas
Vztah mezi úhlovou rychlostí a obvodovou rychlostí: ω = v / r, kde r je poloměr kružnice.
Zrychlení při rovnoměrně zrychleném pohybu po kružnici:
Změnu velikosti obvodové rychlosti v čase vyjadřuje obvodové zrychlení a
a = konst.
a = v / t , kde v je obvodová rychlost, t je čas
Změnu úhlové rychlosti v čase vyjadřuje úhlové zrychlení ε
ε = konst.
ε = ω / t , kde ω je úhlová rychlost, t je čas
Vztah mezi obvodovým a úhlovým zrychlením: ε = a / r, kde r je poloměr kružnice
Změnu směru rychlosti v čase vyjadřuje dostředivé zrychlení a
d
, jehož směr je do středu
kružnice. Protože rychlost se mění, mění se i dostředivé zrychlení.
a
d
= v
2
/ r, nebo a
d
= ω
2
. r, kde v je obvodová rychlost, ω je úhlová rychlost, r je
poloměr kružnice
Perioda i frekvence se u rovnoměrně zrychleného pohybu po kružnici mění.
Síly působící při rovnoměrně zrychleném pohybu po kružnici:
Dostředivé zrychlení je vyvoláno dostředivou silou F
d
, jejíž směr je do středu kružnice a
jejíž velikost se mění podle změny rychlosti.
F
d
= m . ω
2
. r
nebo
F
d
= m . v
2
/ r ,
kde m je hmotnost, ω je úhlová rychlost, v je obvodová rychlost, r je poloměr kružnice.
Dostředivá síla má svou reakci v odstředivé setrvačné síle, jejíž velikost je stejná jako
velikost dostředivé síly, ale působí směrem od středu kružnice.
Stálé obvodové zrychlení je vyvoláno stálou silou F působící ve směru tečny ke kružnici
(ve směru stejném nebo opačném jako je směr obvodové rychlosti).
F = m . a , kde m je hmotnost, a je obvodové zrychlení
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dalšími v praxi běžnými pohyby jsou rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici, kde se
kromě dostředivého zrychlení musí uvažovat i tečné, a pohyb po elipse, kterým obíhají
planety kolem Slunce a družice přirozené i umělé kolem planet. Pohyby po elipse se řídí
Keplerovými zákony:
1.
Planety se pohybují kolem Sluce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž
společném ohnisku je Slunce.
2.
Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní.
3.
Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin
hlavních poloos jejich trajektorií.
3
2
3
1
3
2
3
1
2
2
2
1
r
r
a
a
T
T
Na obrázku vlevo je elipsa. Bod M je bod elipsy. Body F
1
a F
2
jsou ohniska, body A, B,
C a D jsou vrcholy elipsy. Úsečky AS a BS jsou hlavní poloosy a. Obrázek vpravo je
grafické znázornění druhého Keplerova zákona.
Ostatní zdroje:
http://radek.jandora.sweb.cz/f01.htm
http://www.priklady.eu/cs/Fyzika/Kinematika.alej
http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/4-kinematika
https://cs.wikipedia.org/wiki/Kinematika
https://cs.wikipedia.org/wiki/Přímočarý_pohyb#Rovnoměrný_přímočarý_pohyb
https://cs.wikipedia.org/wiki/Rovnoměrný_pohyb_po_kružnici
Dostları ilə paylaş: |