Microsoft Word Funksiya limit doc

Г л \

5

2 + — lim

x x—+x

lim 2 + 5 lim

x — +x x — +x

2 +

v x ;

2 x — x + 5

3. lim

hisoblang.

^x—-x 4 x — 1

\

2 1 5

2 1 5 2 1

lim^2x — ^x + ⁵ = lim i- ^{x 2 x 3}

lim

x——-x

4 x³ -1

x——-x

x——-x

^{4 -} 7-

lim

x—-x

v^{4 -}

v ^x ;

3x + 4

4. ^lim i—hisoblang.

л/2x² - 5

x——+x

lim

x——+x

3 + - v ^x;

3 + - x

3 + 4.0 3

3x + 4

lim

+^x л/ 2

lim

5 д/2 + 5.0 л/2

x

lim „ 2 —-

A + s


A-s


x₀ -5 x₀ + 5

2-rasm

3. 
   F
   A + s
   
   A-s
   
   N
   
   1-rasm
   unksiyaning nuqtadagi limiti.
   

X biror haqiqiy o’zgaruvchi bo’lib, c fiksirlangan haqiqiy son bo’lsin. x o’zgaruvchi c songa yaqinlashadi deyilganda x o’zgaruvchi c ga yaqin bo’lgan ixtiyoriy qiymatga erisha olishi tushiniladi. X ning c ga yaqinlashishini ifodalash uchun x ^ c simvol ishlatiladi.

Funksiyaning limiti tushunchasi quyidagichadir: Agar X c ga

yaqinlashganda f (x) ning qiymati A ga yaqinlashsa, A ga f (x) funksiya X ning c ga yaqinlashgandagi limiti deyiladi.

Misol. Quyidagi funksiyaning x ^ 3 dagi limitini hisoblaylik
9

X

x - 3

^{f (X)} =

f
x ² - 9 x - 3

^{f ( x)}
unksiya x = 3 dan boshqa barcha nuqtalard

a

aniqlangandir. Biz quyidagicha yozishimiz mumkin:

^{f (X)}

x + 3

x - 3

x ² - 9 (x + 3)(x - 3)

^{(X - 3)}

Agar biz 3 ga yaqin ixtiyoriy sonni tanlasak, f(x) funksiyaning qiymati 6 ga yaqinlashishining guvohi bo’lamiz.

Quyidagi jadvallarda funksiyaning argumentlari 3 ga yaqin joylashgandagi qiymatlari keltirilgan.

X	2	2.5	2.9	2.99	2.999
f(x)	5	5.5	5.9	5.99	5.999

yoki X	4	3.5	3.1	3.01	3.001	3.0001
f(x)	7	6.5	6.1	6.01	6.001	6.0001

Jadvallardan ko’rinib turibdiki, x 3 ga yaqinlashganda funksiyaning qiymati 6 ga yaqinlashadi. Biz x ni 3 ga etarli yaqin tanlasak, funksiyaning qiymati 6 ga shunchalik yaqin bo’ladi. Shuning uchun, 6 soni argumentning 3 ga intilgandagi limitidir.

Bu fikr matematik tilda quyidagicha yoziladi:

lim f (x) = 6

x—3

Endi funksiya limitining nuqtadagi ta’rifini keltiramiz.

Ta’rif. Agar ixtiyoriy s> 0 son uchun shunday S> 0 son topilsaki, x o’zgaruvchining |x- c| <8 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha

qiymatlarida |f(x) - A| A son f (x) funksiyaning c nuqtadagi limiti deyiladi va

lim f (x) = A

x—c

kabi belgilanadi.

Funksiya nuqtadagi limitining tushunchasini quyidagicha izohlash mumkin.

Ixtiyoriy s>0 son uchun, c nuqtaning shunday 8 atrofi topiladiki, x ф c shartni qanoatlantiruvchi shu atrofdagi barcha x lar uchun funksiya grafigining mos ordinatalari A -s< f (x) < A + s oraliqqa joylashadi (2-rasm).

Misol. ^{lim(3x -1)} = ¹ bo’lsa, |(3x -1) - 8 < 0.0015 shartni

x—3 ^{1 1}

qanoatlantiruvchi 8 ni toping.

Avvalo, |(3x -1) - 8 va |x - 3| lar orasidagi munosabatni topamiz.

(3x -1) - 8 = |3x -9| = 3x - 3 bo’lgani uchun, |(3x -1) - 8| < 0.0015 tengsizlikdan,

3|x - 3| < 0,0015 yoki |x - 3| < 0,0005, bundan esa, 8 = 0,0005 ni hosil qilamiz.
shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun \g(x)-l\ tengsizlik o’rinli bo’lsa, L songa g(x) funksiyaning a ga chap tomondan yaqinlashgandagi (chap tomonli) limiti deyiladi va lim g (x) = L

x—a

ko’rinishda belgilanadi.


Misol.

-1 agar x < 0 f (x) = < 0 agar x = 0 1 agar x > 0 Bu funksiyaning grafigi 3-rasmda keltirilgan.




3-rasm 4-rasm

Chap va o’ng limitlarni hisoblasak,

lim f (x) = -1 va lim f (

x—— 0 x—0+

Shuning uchun lim- f (x) ф lim+ f (x)

x—0 x —— 0

Misol.

x

a
g^(x)
gar x ф 0

funksiyaning bir tomonli limitlarini hisoblaylik.

2. 
   agar x = 0
   

lim g(x) = lim (-x) = 0, lim g(x) = lim (x) = 0

x——0^- x——0^- x——0+ x——0+

Shuning uchun, lim g(x) = lim g(x).

x—0^- x—0+

Shu narsani qayd qilish kerakki, o’ng limitning mavjudligidan chap limitning mavjudligi va aksinchasi kelib chiqmaydi. Bir tomonli limitlar mavjud bo’lgani bilan ularning qiymatlari har xil bo’lishi mumkin.

Teorema. Agar chap ^{lim f (x)} va o’ng ^lim+^{f (x)} limitlar mavjud

x—a x—a

bo’lib, ularning limitlari teng bo’lgandagina lim f (x) limit mavjud bo’ladi

.

3. 
   - x agar x < 1
   

f
Misol.

h( x) = -
unksiyaning x = 1 nuqtadagi chap va o’ng

2 + x agar x > 1

limitlarini hisoblaylik.

lim h( x) = lim (4 - x ²) = 3, lim h( x) = lim (2 + x ²) = 3,

X——1 X——1 X——1 X——1

Shuning uchun, ^{lim h( x)} = ³.

X——1

f x agar x < 1

Misol. ^{f (x)} = i ₁ ^ funksiyaning lim ^{f (x)} hisoblang.

[-1 agar x > 1 ¹ ° x—¹ °

lim f (x) = lim(-1) = -1 va lim f (x) = limx = 1.

X——1+ X—1 X——1 X—1

Chap va o’ng limitlar o’zaro teng bo’lmaganligi uchun, lim f (x) limit

X——1

mavjud emas.

7. 
   Limitlar haqida asosiy teoremalar.
   

Teorema(Limitning yagonaligi haqida).

Agar lim f (x) = L va ^{lim f (x)} = ^M bo’lsa, L = M bo’ladi.

x——c x——c

Isboti. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni L ф M bo’lsin. Bu farazning noto’g’ri ekanligini ko’rsatamiz. limf(x) = l bo’lganligi uchun, ixtiyoriy

X——c

s> 0 uchun shunday S₁ > 0 topiladiki, 0 < |x -c| <^₁ shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun |f(x) - L| M bo’lganligi uchun, ixtiyoriy s> 0 uchun

shunday S₂ > 0 topiladiki, 0 < |x- c| ₂ shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun |f (x) -M <^s tengsizlik o’rinli bo’ladi. U holda L - M = L - f (x) + f (x) - M\ < L - f (x)| +1 f (x) - M|

Demak, ixtiyoriy ^> 0 uchun shunday s_x > 0 va £₂ > 0 topiladiki, 0 < |x - c <^₁ va 0 < |x - c <^₂ shartlarni qanoatlantiruvchi x lar uchun L-m|<£ + £ = 2s o’rinli bo’ladi. Agar biz S = min(^_1;^₂) deb olsak,

0. 
   < |x-c <^ shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun |L-m| < 2s bo’ladi.
   

Agar biz s = l - m\ deb tanlab olsak, 0 < |x - ^ <£ shartni

qanoatlantiruvchi x lar uchun |l - M| < |L - M| qarama-qarshi tengsizlikka kelamiz. Shuning uchun, L = M bo’ladi.

Teorema. Agar ^{lim f (x)} = ^L va l^im g^(x) = ^M bo’lsa,

X——c X——

c
lim[ f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = L ± M

x——c x—c x—c

bo’ladi.

Isboti. Ixtiyoriy e> 0 berilgan bo’lsin. H^{mf (x)} = ^L bo’lgani uchun,

x—c

shunday S₁ topiladiki, 0 < x - c

s

\
uchun
f (x) - L < 2 tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xuddi shuningdek,

s

0. 
   < |x - c| ₂ bo’lganda |g^{(x) - M}| < — bo’ladi. U holda etarli kichik S = min(S,S₂) uchun, 0 <|x-c| x larda