Microsoft Word Sessão de Pôsteres doc

 
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uma operação harmoniosa para os nossos sentidos – é a divisão em média e extrema razão, a sectio divina 
de Lucas Paccioli, “também denominada sectio áurea por Leonardo da Vinci”. 
 
SOUZA, Júlio César de Mello e. Matemática Divertida e Curiosa. Editora Record. 10ª. edição.  (p. 82 – 83).  
 
 
 
DIVISÃO ÁUREA
 
1- INTRODUÇÃO
 
A Razão Áurea tem sido motivo de estudo desde os mais remotos tempos. Ela representa, segundo 
os estudiosos, a mais agradável proporção entre dois segmentos ou duas medidas. Há muito se identificou 
essa proporção como sendo equivalente a 1,618:1, e convencionou-se identificá-la por Phi. 
Este trabalho pretende discorrer sobre Divisão Áurea, também conhecida como Segmento Áureo ou 
Extrema Razão, dando especial atenção ao número Phi, às suas aplicações  na natureza e às suas 
representações algébricas e geométricas. 
2- DESENVOLVIMENTO
 
É sabido que na Grécia antiga se acreditava que todo o mundo e todo o cosmo era composto de 
apenas quatro elementos: ar, água, terra e fogo. Os Pitagóricos (uma sociedade secreta cujos membros se 
dedicavam ao estudo da Matemática e da Filosofia) conheciam a existência de quatro sólidos geométricos 
perfeitos -tetraedro, hexaedro, octaedro e icosaedro-, aos quais associavam, segundo eles, cada um dos 
elementos componentes da Natureza.  
 
Sabemos também que o homem sempre teve necessidade de estar ligado a crenças divinas e de 
buscar as origens do Universo, tentando encontrar aí suas próprias raízes. Para tanto ele sempre procurou 
ordenar tudo que lhe rodeia. O homem sempre busca encontrar um ser supremo, que possa representar a 
perfeição na desordem em que vive. 
Quando os Pitagóricos descobriram o quinto e último sólido geométrico perfeito deviam associá-lo a 
algum outro elemento do universo. Seguindo suas crenças, nada melhor do que associá- lo com os Deuses, 
já que não havia mais elementos tangíveis com os quais pudessem estabelecer as suas relações.Este 
último sólido descoberto foi o Dodecaedro, a quem Platão chamou de 
"o mais nobre corpo entre todos os 
outros".
 
Entre os cinco sólidos geométricos conhecidos o dodecaedro e o icosaedro são aqueles que 
apresentam mais relações com o número Phi. A escolha do dodecaedro para representar a ligação com os 
Deuses parece ter se dado por razões filosóficas (que transcendem o objetivo deste trabalho) e por uma 
razão matemática simples: enquanto este é constituído de pentágonos perfeitos, que se relacionam 
fortemente com Phi, aquele é composto de triângulos eqüiláteros, que não possuem relação direta com o 
número Phi. 

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3- O NÚMERO Phi
 
Chamamos Phi ao número 1,618...., encontrado matematicamente através de deduções algébricas 
ou geométricas. O número Phi pode ser representado pelas duas séries a seguir. 
 
ou 
 
 
4- REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DE Phi.
 
Para que possamos chegar, algebricamente, ao valor de Phi, precisamos partir do segmento a 
seguir. 
 
Pelo estudo das proporções podemos estabelecer que: 
 
que pode ser escrito como 
 
substituindo 
 
temos 
 
Essa equação apresenta duas raízes reais, que são 
 
 
 

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5- REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE Phi
 
Existem várias representações geométricas para que possamos chegar ao número Phi. 
Apresentaremos, a seguir, algumas delas 
1.  Um segmento Áureo.  
I. 
Num segmento AB, de medida "a", traça-se, por B, uma perpendicular de medida 
, definindo o 
ponto C  
II. 
Ligando os pontos C e A tem-se um triângulo retângulo  
III. 
Com a ponta seca do compasso em C e abertura BC marca-se um ponto D no segmento AC  
IV. 
O segmento AD é Áureo de AB (AB = AD.1,618)  
 
02- Outra construção para o Segmento de Ouro 
I. 
constrói-se uma reta perpendicular a AB, passando por A.  
II. 
com o auxílio de um compasso - ponta seca em A - determinamos um ponto X na perpendicular 
construída  
III. 
determinamos o ponto Z, médio entre A e X  
IV. 
constrói-se o segmento ZB  
V. 
com a ponta seca do compasso em Z e abertura ZB marca-se, sobre a reta AZ o ponto Y  
VI. 
com a ponta seca do compasso em A e abertura AY marca-se, sobre a reta AB, o ponto C.  
  O ponto C determina o ponto de razão áurea do segmento AB 
 
03. O retângulo de Ouro 
Para construirmos um retângulo que apresente entre seus lados a razão de ouro procedemos da 
seguinte forma: 
I. 
constói-se um quadrado ABCD  
II. 
divide-se esse quadrado ao meio, obtendo os retângulos ABEF e CDEF  
  III- constrói-se uma diagonal CF no retângulo CDEF  
 IV- prolonga-se a base do quadrado e, com a ponta seca do compasso no ponto F e a outra ponta em C 
constrói-se um arco até a reta suporte da base do quadrado, criando assim o ponto G 
 V- pelo ponto G levanta-se uma reta perpendicular à base, que será o lado do retângulo de ouro. 
O retângulo construído - retângulo dourado - possui os seus lados na razão áurea, ou seja, 
. 
 
6- A ESPIRAL LOGARÍTMICA
 
Para construirmos uma espiral logarítmica podemos utilizar um retângulo dourado que, ao ser 
dividido por um segmento igual ao seu lado menor, nos fornece um novo retângulo dourado.  
O processo é o seguinte: 
I. 
constrói-se um retângulo dourado ABCD, como vimos na construção anterior ("O retângulo 
dourado")  
II. 
neste retângulo marcamos, sobre BC um ponto F, de medida AB e traçamos uma perpendicular a 
BC pelo ponto F  
III. 
o retângulo DCEF também é um retângulo dourado, que dará origem ao retângulo EDGH  

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