Mövzu 3: Rİyazi MƏNTİq və İnformasiya texnologiyalari

3. Çoxluqlar nəzəriyyəsi elementləri

Sistemin elementlər toplusu kimi nəzərdən keçirilməsi onun riyazi təsviri üçün çoxluqlar nəzəriyyəsi apparatından istifadəsi imkanını verir. Bu zaman elementlər arasında əlaqələr riyazi məntiq apparatı köməyilə təsvir edilir.

Çoxluq anlayışı riyaziyyatda fundamental anlayışlardan biridir ki, onun təyinini elementar anlayışlardan istifadə edərək vermək çətindir. Bunun üçün də çoxluğun təsviri izahatı ilə məhdudlaşaq.

Vahid tamlıq kimi nəzərdən keçirilən müxtəlif obyektlərin toplusu çoxluq adlanır. Çoxluğun tərkibində olan ayrı-ayrı obyektlər çoxluğun elementləri adlanır. Çoxluqları latın əlifbasının böyük hərfləri, onların elementləri isə kiçik hərfləri ilə ifadə olunurlar. Çoxluqlar { } fiqur mötərzələrdə yazılırlar.

Bu işarələrdən istifadə edilir:

a ∈ X — «a elementi X çoxluğuna məxsusdur»;

a ∉ X — «a elementi X çoxluğuna məxsus deyil»;

∀ — “ixtiyarı”, “hər bir”, “hamısı üçün” ifadə edən ixtiyarlıq, ümumilik kvantorudur;

∃ — mövcudluq kvantorudur: ∃y ∈ B — «B çoxluğunda y elementi möcuddur (tapılar)»;

∃! — mövcudluq və vahidlik kvantorudur: ∃!b ∈ C — «C çoxluğunda vahid b elementi möcuddur »;

: — «bu xassəyə malikdir»;

→ —bu simvol «arzasıyca aparır» ifadə edir;

⇔ — ekvivalentlik, eyniqüvvəlilik kvantorudur,— «onda və yalnız onda».

Çoxluqlan sonlu və sonsuz olur. Əgər çoxluğun elementlərinin sayı sonludursa onda onu sonlu adlanırırlar, yəni çoxluğun elementlərinin sayını ifadə edən natural n ədədi mövcuddur: А={a₁, a₂,a₃, ..., a_n}. Əgər çoxluğun elementlərinin sayı sonsuzdursa onda onu sonsuz adlanırırlar: B={b₁,b₂,b₃, ...}. Məsələn əlifbada olan hərflər çoxluğu sonludur, natural ədədlər çxluğu – sonsuzdur.

Sonlu M çoxluğunda elementlərin sayı M çoxluğunun qüvvəti adlanır və |M| işarələnir. Heç bir elementdən ibarət olmayan çoxluq – boş adlanır – ∅. İki çoxluq adlanır, əgər onlar eyni elementlərdən ibarətdirlər, yəni eyni çoxluğu təqdim edirlər. Çoxluqlar bərabər deyil X ≠ Y, əgər X-da Y-ə məxsus olmayan elementlər və Y-da X-ə məxsus olmayan elementlər mücvuddur. Bərabərlik simvolu bu xassələrə malikdir:

Х=Х; — refleksivlik

əgər Х=Y, Y=X — simmetriklik

əgər X=Y,Y=Z, то X=Z — tranzitivlik.

Altçoxluqlar. Daxil olma münasibəti

X çoxluğu Y çoxluğunun altçoxluğudur, əgər X-ın ixtiyari elementi Y-a məxsusdur: X⊆Y.

Əgər qeyd etmək lazımdırsa ki, Y-də X-dakı elementlərdən başqa digər elementlər də var, onda ciddi daxil olma simvolundan istifadə olunur: X⊂Y. ⊂ və ⊆ simvolları arasında əlaqə bu ifadə ilə verilir:

X⊂Y ⇔ X⊆Y и X≠Y

Təyindən irəli gələn altçoxluqların bəzi xassələrini qeyd edək:

X⊆Х (refleksivlik);

[X⊆Y və Y⊆Z] → X⊆Z (tranzitivlik);

∅ ⊆ M. Hesab olunur ki, boş çoxluq hər bir çoxluğun altçoxluğudur.

İlkin A çoxluğu öz altçoxluqları üçün tam çoxluq adlanır və I ilə işarə olunur.

A çoxluğunun А_i ixtiyari altçoxluğu A-nın məxsusi çoxluğu adlanır.

Verilən X çoxluğunun bütün altçoxluqlarından ibarət olan çoxluq X-ın buleanı adlanır və β(Х) işarə edilir. Buleanın qüvvəti |β(Х)|=2ⁿ.

Sayılan çoxluq – elə A çoxluğudur ki, onun bütün əlementləri ardıcıllıq kimi nömrələnə bilər. Natural ədədlər çoxluğuna ekvivalent çoxluq sayılan çoxluq adlanır.

Çoxluqların verillməsinin 2 yolu var:

Saymaqla (X={a,b}, Y={1}, Z={1,2,...,8}, M={m₁,m₂,m₃,..,m_n});

Təsvirlə - elementlərə xas olan xassə qeyd olunur.

Çoxluq tamamilə öz elementləri ilə təsvir olunur.

Saymaqla yalnız sonlu çoxluqları vermək olar (məsələn, ildə ayların sayı). Sonsuz çoxluqları yalnız onun elementlərin xassələrinin təsviri ilə vermək olar (məsələn, rasional ədədlərin çoxluğunu Q={n/m, m, n∈Z, m≠0} təsviri ilə vermək olar).

Təsvirlə çoxluğun verilmə yolları:

a) Əmələ gətirən prosedurun verilməsi - rekursiv, induktiv:

X={x: x₁=1, x₂=1, x_k+2=x_k+x_k+1, k=1,2,3,...} – Fibonaççi ədədləri çoxluğu.

b) Düstur asılılığının hesablama prosedurunun verilməsi

X = {x: x=2sin(y)+1, y∈{0, p/2}} ⇔ {1, 3}

X = {x: x²-1=0 ⇔{+1,-1}

c) predikat – verilən çoxluğun elementlərini digər çoxluqların elementlərindən seçən xarakteristik xassənin (mülahizənin) verilməsi

А={x: x — cüt ədəddir}; M={x: p(x)} — p xassəsinə malik х çoxluğu

N={n: n∈Z, n>0, Z={-..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} — tam ədədlər çoxluğu

K={m: m=n², n∈N} — natural ədədlərin kvadratları çoxluğu, N={1, 2, 3, ...}

X={x: 0≤x≤1, x∈N} ⇔ 1, 2, 3, ..., burada N- tam ədədlər çoxluğudur

d) analitik – çoxluqlar üzərində əməliyyatların verilməsi

təyinindən irəli gələn altçoxluqların bəzi xassələrini verək:

Əgər X⊆Y və Y⊆X → X=Y

Hər bir çoxluq üçün onun özünü və boş çoxluğu qeyri- məxsusi, bütün digərlərini isə - məxsusi adlandırırlar.