MühaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Teorem. Yuxarıdan (aşağıdan) məhdud hər bir çoxluğun dəqiq yuxarı (aşağı) sərhəddi vardır.

Əgər çoxluq yuxarıdan qeyri-məhduddursa , aşağıdan qeyri-məhdud olduqda isə kimi qəbul olunur.

Çoxluğun dəqiq yuxarı və dəqiq aşağı sərhəddi həmin çoxluğa daxil ola da bilər, olmaya da. olarsa çoxluğunun maksimumu (və ya maksimal elementi) adlanır və kimi işarə olunur, olduqda çoxluğunun minimumu (və ya minimal elementi) adlanır və kimi işarə olunur.

Məsələn, həm həm də ədədi çoxluqlarının dəqiq yuxarı sərhəddidir, çoxluğunun isə, həm də maksimumudur, yəni , .

Misal 23. və ya olduqda

. Maksimumu isə yoxdur.

Misal 24. funksiyasının təyin oblastının, əgər varsa, dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini təyin edin.

Həlli. Baxılan funksiyanın təyin oblastı

bərabərsizliyindən tapılır:

Deməli, . Ona görə də . Çoxluğun minimal və maksimal elementi yoxdur. Doğrudan da fərz etsək ki, məsələn, bu çoxluğun ən böyük elementidir, onda istənilən üçün .

Lakin məsələn, götürsək, asanlıqla görmək olar ki, və . Bu isə ədədinin baxılan çoxluğun ən böyük elementi olmasına ziddir.

Misal 25. funksiyasının qiymətlər çoxluğunun, əgər varsa, sərhədlərini təyin edin.

Həlli. Misal 10-da nəticə olaraq alınmış bərabərsizliyinə əsasən olduğundan . Göründüyü kimi, baxılan funksiyanın qiymətlər çoxluğu aşağıdan məhdud, yuxarıdan isə qeyri-məhduddur: .

Misal 26. Aşağıdakı çoxluqların dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini müəyyən edin.
1)

2)

3)

Həlli. 1) Asanlıqla görmək olar ki, .

Ona görə də . Göstərək ki, . Doğrudan da, yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi istənilən üçün . Digər tərəfdən göstərək ki, üçün elə var ki, . Buradan tapırıq ki, . Deməli, tələb olunan bərabərsizlik olduqda ödənir.

2) işarə etsək, olduğundan, baxılan çoxluğun elementləri artan ardıcıllıq təşkil edir. Ona görə də,

Digər tərəfdən,

Digər tərəfdən, göstərmək olar ki, istənilən üçün elə var ki,

bunun üçün seçmək kifayətdir.

3) olması aşkardır. Göstərək ki, . Doğrudan da, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə və var ki, və .

Misal 27. olduqda və olduğunu göstərin, burada R həqiqi ədədlər çoxluğudur.

Həlli. və işarə edək. çoxluğu yuxarıdan qeyri-məhdud olduqda və buradan olduğu aydındır. yuxarıdan məhdud olduqda sonlu ədəddir. olduğundan, hər bir üçün həm də və deməli olur. Yəni həm də çoxluğunun yuxarı sərhəddir. bu çoxluğun dəqiq yuxarı sərhəddi olduğundan, və ya .

Dəqiq aşağı sərhəd üçün hökmün doğruluğu analoji qaydada isbat olunur.

Misal 28. Tutaq ki, və həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan alt çoxluqlarıdır və hər bir və üçün . Göstərin ki, çoxluğu yuxarıdan, çoxluğu aşağıdan məhduddur və .

Həlli. Hər bir qeyd olunmuş və istənilən üçün olduğundan, çoxluğunun hər bir elementi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. Ona görə də çoxluğu yuxarıdan məhduddur və . Sonuncu bərabərsizlik həm də göstərir ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və .

Misal 29. və həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan məhdud alt çoxluqlarıdır. Göstərməli ki,

1)

2)

Həlli. 1) və məhdud çoxluqlar olduğundan elə sonlu və ədədləri vardır ki, və . Ümumiliyi pozmadan fərz edək ki, . Onda hər bir üçün və hər bir üçün .

Deməli, hər bir üçün . Bu isə çoxluğunun yuxarıdan məhdud olduğunu göstərir və aydındır ki, .

Digər tərəfdən, olduğundan Misal 15 - də alınan nəticəyə görə hökm edə bilərik ki, və ya . Son iki bərabərsizliklərdən və olduğundan alırıq ki,

Analoji olaraq mühakimələrlə 2) bərabərliyinin doğruluğunu göstərmək olar.

Misal 30. həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan alt çoxluğudur, və

Onda yuxarıdan məhdud və olarsa isbat etməli ki,

və ya

Buradan, olduğundan alınır ki, . Deməli, ədədi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. Göstərək ki, məhz bu dəqiq yuxarı sərhəddir. Bunun üçün tutaq ki, çoxluğunun hər hansı bir yuxarı sərhəddidifr, yəni istənilən üçün və ya . Bu isə o deməkdir ki, ədədi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. bu çoxluğun dəqiq yuxarı sərhəddi olduğundan

və ya

və deməli çoxluğunun yuxarı sərhədlərinin ən kiçiyidir, yəni , yaxud .

Misal 31. Göstərməli ki,

burada .

Həlli. Tutaq ki, yuxarıdan məhdud çoxluqdur və işarə edək. Onda aşağıdakı iki şərt ödənir:

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Buradan alınır ki,

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq aşağı sərhəddidir, yəni

İndi isə tutaq ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və . Onda, istənilən üçün və ixtiyari ixtiyari üçün elə var ki, . Sonuncu bərabərsizlikdən tapırıq ki, və ixtiyari üçün elə var ki, . Bu isə onu göstərir ki, çoxluğu yuxarıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq yuxarı sərhəddidir, yəni

Misal 32. Tutaq ki, . Göstərməli ki, və yuxarıdan məhdud çoxluqlar olarsa



Həlli. Fərz edək ki, və yuxarıdan məhdud çoxluqlardır və . Onda,

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Buradan alırıq ki, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə var ki, . Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu da yuxarıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq yuxarı sərhəddidir, yəni

Misal 29-a əsasən buradan nəticə olaraq alırıq ki,

,

Misal 33. Tutaq ki, . aşağıdan məhdud çoxluqlar və olarsa, göstərməli ki,



Həlli. işarə edək. Onda

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Buradan alırıq ki, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə var ki, .

Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu da aşağıdan məhduddur və onun dəqiq aşağı sərhəddi ədədidir, yəni

.

Nəticə olaraq qeyd edək ki, olduqda və olduğundan,

MÜHAZİRƏ 4
Ədədi ardıcıllıq, onun verilməsi üsulları. Məhdud və qeyri-məhdud

ardıcıllıqlar.
Tərif 1. Əgər hər bir natural ədədinə müəyyən qayda ilə hər hansı həqiqi ədədi qarşı qoyularsa, onda nömrələnmiş

həqiqi ədədlər çoxluğuna ədədi ardıcıllıq və ya sadəcə olaraq ardıcıllıq deyilir.

Ardıcıllıq müxtəlif üsullarla verilə bilər. Onlardan biri analitik üsuldur. Bu zaman ardıcıllığın ümumi həddi düstur şəklində verilir.

Misal 1.

1)

2)

3)

Ardıcıllığın verilməsinin digər üsulu rekurrent (qayıtma) üsuludur. Bu zaman müəyyən həddən başlayaraq ardıcıllığın hər bir həddi özündən əvvəlki bir və ya bir neçə hədlə müəyyən olunur.

Misal 2.

1)

olduqda ,

olduqda ,

olduqda və s.

2)

Bu münasibətə əsasən yaza bilərik:

nəhayət,

3) Fibonaççi ardıcıllığı (və ya ədədləri)

Burada üçüncüdən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki iki həddin cəminə bərabərdir. Bu ardıcıllığı aşağıdakı rekurrent münasibət şəklində vermək olar:

Qeyd edək ki, bəzi hallarda rekurrent münasibət verilmiş ardıcıllığın ümumi həddini tapmaq olur. Məsələn, riyazi induksiya üsulu ilə göstərmək olar ki, 1) bəndində verilən ardıcıllığın ümumi həddi şəklindədir.

Ardıcıllığı müəyyən əlamətə əsasən sözlərlə təsvir etməklə də vermək olar.

Misal 3.

1) Sadə natural ədədlər ardıcıllığı: ;

2) Vahid radiuslu çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlıların tərəflərinin uzunluqları ardıcıllığı;

3) ədədinin təqribi qiymətləri ardıcıllığı:

.

Burada 2) ardıcıllığının ümumi həddinin düsturunu yazmaq mümkün olduğu halda, 1) və 3) ardıcıllıqlarında bu mümkün deyil.

Tərif 2. Əgər elə M ədədi varsa ki, ardıcıllığının hər bir həddi bərabərsizliyini ödəyir, onda bu ardıcıllığa yuxarıdan məhdud ardıcıllıq deyilir.

Elə həqiqi ədədi varsa ki, ardıcıllığının bütün hədləri bərabərsizliyini ödəyir, onda həmin ardıcıllığa aşağıdan məhdud ardıcıllıq deyilir.

Tərif 3. Həm aşağıdan həm də yuxarıdan məhdud ardıcıllığı məhdud ardıcıllıq adlanır, yəni elə və M ədədləri var ki, bərabərsizliyi istənilən üçün ödənir.

Qeyd edək ki, məhdud ardıcıllığa aşağıdakı kimi də tərif vermək olar: elə ədədi varsa ki, ardıcıllığının bütün hədləri

(1)

bərabərsizliyini ödəyir, onda həmin ardıcıllığa məhdud ardıcıllıq deyilir.

Tərif 4. Məhdud olmayan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıq adlanır, başqa sözlə, istənilən müsbət M ədədi üçün elə nömrəsi varsa ki,

(2)

bərabərsizliyi ödənir, onda ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıqdır.

Misal 4. Ardıcıllıqların yuxarıdan məhdud olduğunu göstərin.

1) ;

Deməli, ardıcıllıq yuxarıdan ədədi ilə məhduddur.

2)

olduğundan ardıcıllıq yuxarıdan məhdud ardıcıllıqdır.

3)

. Deməli, ardıcıllıq ədədi ilə yuxarıdan məhduddur.

Misal 5. Ardıcıllıqların aşağıdan məhdud olduğunu göstərin.

1)

Deməli, ardıcıllıq aşağıdan ədədi ilə məhduddur.

2)

. Ona görə də

Baxılan ardıcıllıq aşağıdan ədədi ilə məhduddur.

3)

olduğundan, . Ona görə də .

Deməli, ardıcıllıq aşağıdan ədədi ilə məhduddur.

Misal 6. Ardıcıllıqların məhdud olduğunu göstərin.

1) ;

bərabərsizliyində götürsək, olduğundan, və .

Deməli, , yəni ardıcıllıq məhduddur.