Mühazirə 4 Bərk cismin fırlanma hərəkətinin dinamikası. Ətalət momenti

- -

Mühazirə 4
Bərk cismin fırlanma hərəkətinin dinamikası.
Ətalət momenti
Fərz edək ki, kütləsi m olan maddi nöqtə, radiusu r olan çevrə boyunca hərəkət edir. Maddi nöqtənin hərəkət tryayektoriyasına toxunan istiqamətdə yönəlmiş müəyyən F_t qüvvəsi tətbiq olunarsa, onda Nyutonun ikinci qanununa görə

(1)

yazmaq olar. Bu bərabərliyin hər iki tərəfini radius vektora vursaq

alarıq.

Burada F_tr=M maddi nöqtənin fırlanma nöqtəsinə görə qüvvə momenti, mr²=J fırlanma nöqtəsinə görə ətalət momenti adlanır. Nəticədə

(2)

almış olarıq. (2) ifadəsi maddi nöqtənin fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyi adlanır.

Kütləsi m olan bərk cismin 00' oxu ətrafındakı fırlanma hərəkətini nəzərdən keçirək.

Bərk cismin fırlanma hərəkəti zamanı onun bütün nöqtələri mərkəzləri fırlanma oxu üzərində olan çevrələr cızır.Bu cismə toxunan istiqamətdə Ft qüvvəsi tətbiq olunarsa,onun bütün kütlə elementləri eyni at tangensial təcilini alacaqdır.Bərk cismin fırlanma oxundan məsafəsində yerləşən elementar kütlə elementinə baxaq.. Bu kütlə elementinə maddi nöqtə kimi baxmaq olar.

Səkil 1

Onda

Buradan alarıq.

Axırıncı ifadəni bərk cismin bütün elementləri üzrə toplasaq

olar.

Burada -Bərk cismin fırlanma oxuna nəzərən qüvvə momenti, fırlanma oxuna nəzərən ətalət momentidir. Onda

(3) və ya (3').

Bu bərk cismin fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyi adlanır. Göründüyü kimi bərk cismin fırlanma hərəkətinin dinamikasında qüvvə — qüvvə momenti;kütlə — ətalət momenti və xətti təcil — bucaq təcilə əvəz olunur.

Elementar kütlələr kəsilməz paylanarsa, baxdığımız cəmi inteqralla əvəz etmək olar, yəni

(4)

Burada inteqrallama cismin bütün həcmi boyunca aparılır.Misal olaraq hündürlüyü h və radiusu R olan bütöv silindrin simmetriya oxuna nəzərən ıtalət momentini hesablayaq.

Bu silindri qalınlıqları dr olan konsentrik elementar silindirlərə ayıraq.Bu elementar silindrin daxili radiusu r, xarici radiusu isə r+dr olar. Elementar silindrin ətalət momenti, simmetriya oxuna nəzərən dJ=r^2dM olur.Elementar silindrin həcmi kütləsi isə olar. Burada — silindr maddəsinin sıxlığıdır. Bütöv silindrin simmetriya oxuna nəzərən ətalət momenti

Səkil 2

Nəzərə alsaq ki, — silindrin həcmidir,onda silindrin kütləsi olar. Onda dolu silindrin mərkəzi simmetriya oxuna nəzərən ətaət momenti

(5)

ifadəsindən tıyin olunar.

Cismin kütlə mərkəzindən keçən oxa nəzərən ətalət momenti məlum olarsa, simmetriya oxuna paralel olan ixtiyari oxa nəzərən ətalət momentini Steyner teoreminə görə təyin etmək olar.Bərk cismin istənilən oxa nəzərən ətalət momenti, bu oxa paralel olan və cismin kütlə mərkəzindən keçən oxa nəzərən ətalət momenti ilə cismin kütləsinin oxlar arasındakı məsafənin kvadratı hasilinin cəminə bərabərdir, yəni,

(6)

Fırlanma hərəkətinin kinetik enerjisi

Mütləq bərk cisim ondan keçən ixtiyari ox ətrafında fırlanarsa,onun bütün nöqtələrinin bucaq sürəti eyni olasıdır. Qeyd etdiyimiz kimi bərk cismi elemetar hissələrəayırsaq, onda hər elementar kütlə fırlanma oxundan müxtəlif məsafədə yerləşəcək və müxtəlif xətti sürətə malik olacaq.Bu kütlə elementlərinin kinetik enerjilərinin cəmi bərk cismin kinetik enerjisini təyin edər.Onda

Gkjlfkjıgıhjlıgljıglhjəlıhəık

Nəzərə alsaq ki, onda

(7)

Bərk cisim fırlanma hərəkəti ilə bərabər sürüşmədən irəliləmə hərəkətində iştirak edərsə, onun tam kinetik enerjisi (8) ifadəsinə görə təyin olunar. İndi isə fırlanma hərəkəti zamanı görülən işi təyin edək.Fərz edək bərk cisim onun səth elementinə toxunan yönəlmiş

Səkil 3

qüvvənin təsiri altında bucağı qədər donmuşdur. Bu bucağı gərən qövsün uzunluğu olarsa,onda görülən elementar iş

təyin olunar.

Bu ifadəni bütün kütlə elementlərinə görə toplasaq

Burada qüvvə momentidir. Onda

(9)
Deməli fırlanma hərəkəti zamanı görülən iş, tətbiq olunmuş qüvvənin momenti ilə dönmə bucağının hasilinə bərabərdir.

Fırlanma hərəkəti zamanı görülən iş, bərk cismin kinetik enerjisinin artmasına sərf olunur. Onda

(9) ifadəsindən istifadə etsək
və ya

, burada onda

(10)
Göründüyü kimi bu ifadə fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyidir. (10) ifadəsindən istifadə etsək olar. Verilmiş oxa nəzərən ətalət momenti sabit kəmiyyətdir. Onda cismə tətbiq olunan qüvvə F=0 olarsa, onda M=0 olar nəticədə M=0, , buradan

(11).

Bu ifadə impuls momentinin saxlanması qanunu adlanır. İmpuls momenti vektorial kəmiyyətdir. Maddi nöqtənin tərpənməz nöqtəyə görə impuls momenti

(12)

Burada -fırlanma mərkəzindən maddi nöqtəyə çəkilən perpendikulyardır.vektorunun istiqaməti vint qaydasına görə təyin olunur.İmpuls momenti vektorunun modulu

(13)

Burada - və vektorları arasındakı bucaqdır. =90° olarsa

(13^’) alarıq.

(11) ifadəsini diferensiallasaq

fırlanma hərəkətinin dinamikasınını əsas tənliyinin başqa bir şəklini almış olarıq, yəni

(14)

Buradan da görünür ki, qüvvə momenti sıfra bərabər olarsa , yəni, =0, onda

yəni, =const
Deməli, qapalı sistemin impuls momenti zaman keçdikcə dəyişmir.Təbiətin bu fundamental qanunu fəzanın izotropluğu ilə bağlıdır, yəni fiziki qanunların koordinat oxlarının istiqamətlərinin seçilməsindən asılı olmamasını göstərir. Başqa sözlə desək fizika qanunlarının inersial sistemlərin fəzada dönmə bucağından asılı olmayaraq invariant qalması ilə bağlıdır.

Bəzi bərk cisimlərin simmetriya oxlarına nəzərən ətalət momentlərini hesablayaq.Uzunluğu olan bircins nazik çubuğun bir ucuna perpendikulyar olan 00’ oxuna nəzərən ətalət momentini təyin edək. Nəzərə alsaq ki, ümumi halda Onda çubuğun elementar dx uzunluğunun kütləsi ifadəsindən

Səkil 4

təyin olunar. Bu halda alarıq.

Steyner teoremindən istifadə edərək çubuğun simmetriya mərkəzindən keçən oxa nəzərən ətalət momentini təyin etmək olar.(6) ifadəsindən istifadə etsək

, alarıq.

Buradan çubuğ perpendikulyar olan və onun simmetriya mərkəzindən keçən oxa nəzərən ətalət momentidir

(15)

Radiusu R olan bircinsli kürənin mərkəzindən keçən oxa nəzərən ətalət momenti ifadəsinə görə təyin olunur. Onda kürənin səthinə toxunan olan fırlanma oxuna nəzərən ətalət momenti Sterner teoreminə görə .

Azərbaycan Dövlət Neft Akademiyası Fizika kafedrası

Mühazirə № 4 Mühazirətçi-dosent: Akif Ağayev