Natamam kvadrat tənlik çevrilməmiş tam kvadrat tənliyində b,c kəmiyyətlərindən biri və ya hər ikisi eyni zamanda sıfıra bərabər olduqda alınan tənlikdir

2. Kəsr xətti funksiyanın xassələri və qrafiki (tərs mütənasiblik) funksiyasının xassələri və qrafiki

Tərif. olmaqla düsturu ilə göstərilə bilən funksiyaya tə rs mütnasiblik funksiyası deyilir.

ifadəsinin, x-in sıfırdan fərqli istənilən qiymətində mənası olduğundan fuksiyanın təyin oblastı sıfırdan fərqli bütün həqiqi ədlər çoxluğu və ya onun isənilən alt çoxluğu ola bilər.

Tərs mütənasibliyin xassəsi: x-in qiymətləri bir neçə dəfə artdıqda, y-in uyğun qiymətləri o qədər dəfə azalır. x-in qiymətləri bir neçə dəfə azaldıqda isə y-in uyğun qiymətləri o qədər dəfə artır.

Tərs mütənasiblik funksiyasının qrafiki iki budaqdan ibarət olub , hiperbola adlanan əyridir . k>0 isə əyrinin budaqları koordinant müstəvisinin 1, 3 rüblərində , əks halda isə 2 ,4 rüblərində yerləşirlər.

Tərs mütənasiblik funksiyasının xy =k (k0) şəklindəki yazılışı hiperbolanın kordinant oxları ilə heç bir nöqtədə kəsişməyini və yalnız koordinant oxlarına getdikcə daha çox yaxınlaşdığını müəyyən etməyə imkan verir .

Funksiyanın xassələrini qısaca sadalayaq :

funksiyanın qrafiki iki budaqdan ibarət hiperboladır. k>0 olduqda budaqlar 1, 3, k<0 olduqa isə budaqlar 2, 4 rüblərdə yerləşir.

 Funksiya təkdir. Ona görə hiperbolanın budaları koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.

k>0 olarsa, funksiya azalan, k<0 olarsa, funksiya artandır.

 Funksiyanın kökü yoxdur, yəni hiperbola koordinat oxları ilə ortaq nöqtəyə malik deyildir. və açıq parçaları funksiyanın işarə sabitliyi aralıqlarıdır:

Y x     U (k>0) - +   U (k<0) + -

Tərif.

a, b, c, d, verilmiş ədədlər olduqda düsturu ilə göstərilə bilən funksiyaya kəsr-xətti funksiya deyilir.

                   3. Kvadrat funksiyanın xassələri və qrafiki

Tərif.

verilmiş həqiqi ədədlər olduqda düsturu ilə göstərilə bilən funksiyaya kvadrat funksiya deyilir.

y=ax funksiyasının qrafiki olan xətt parabola adlanır. Göstərilmiş parabolalardan istifadə etməklə y=ax

funksiyasının qrafiki haqqında aşağıdakıları söyləmək olar:

y=ax

funksiyasının qrafiki OY oxuna nəzərən bir-birinə simmetrik iki budaqdan ibarətdir və koordinat başlanğıcından keçir

a əmsalı budaqların istiqamətini müəyyən edir: a>0 isə budaqlar yuxarıya, a

Parabolanın formasını a əmsalı müəyyən edir: |a| böyük olduqca parabolanın budaqları ordinat oxuna daha çox yaxınlaşır.

İndi isə y=ax funksiyasının xassələrini sadalayaq:

Funksiya yeganə x=0 kökünə malikdir.

a>0 olduqda funksiya aralığında azalan, aralığında isə artandır, əksinə a<0 olduqda isə aralığında artan, aralığında isə azalandır.

Funksiya cütdür: f(-x)= a(-x)²= ax² = f(x)

arqumentin x=0 qiymətində funksiya y=0 qiymətini alır. Bu qiymət a>0 olarsa, funksiyanın ən kiçik, a
Adi kəsr anlayışı. Adi kəsrin müqayisəsi

Tərif. Vahidin bir və ya bir neçə bərabər hissələrindən ibarət olan ədədlərə adi kəsr deyilir.

Vahid altı hissəyə bölünüb, bu hissələrdə ikisi götürülərsə götürülmüş hissələri ifadə edən ədəd �altıda iki� adlandırılıb, 2/6 kimi göstərilir. Xəttin üstündə olan ədədə kəsrin surəti, xəttin altında olan ədədə isə kəsrin məxrəci deyilir.

Məxrəc vahidin neçə bərabər hissəyə bölündüyünü, surət isə verilmiş kəsirdə olan hissələrin sayını göstərir.

Adi kəsrə verdiyimiz tərifdən aydın olur ki, kəsr xəttinə həmdə bölmə kimi baxmaq olur. Məsələn,

 Surətləri bərabər olan iki kəsrdən məxrəci kiçik olan kəsr böyükdür.

Məsələn,

 Məxrəcləri bərabər olan iki kəsrdən surəti böyük olan kəsr böyükdür.

Məsələn,

 Tərif. İki kəsrdən birincisinin məxrəci ilə ikincinin surəti hasili, ikincinin məxrəci ilə birincinin surəti hasilinə bərabər olarsa, belə kəsrlər bərabər kəsrlər adlanır.

Məsələn, çünki 2�12=4�6

və yaxud çünki 2�2=1�4

  Məxrəcləri və surətləri müxtəlif olan kəsirləri müqayisə etmək üçün adi kəsrlərin aşağıdakı əsas xassəsini nəzərdən keçirək.

Kəsrin surət və məxrəcini eyni bir natural ədədə vursaq və yaxud bölsək, ona bərabər kəsr alınar.

Məsələn,

 Beləliklə, surət və məxrəcləri müxtəlif olan kəsrləri müqayisə etmək üçün onları bərabər məxrəcli və yaxud bərabər surətli kəsrlər şəklinə gətirmək lazımdır.

Məsələn, 3/5, 4/7 kəsrlərini surətləri bərabər olan kəsrlər şəklinə gətirməklə müqayisə edək:

Düzgün və düzgün olmayan kəsrlər. Kəsrlərin ixtisarı

Surəti məxrəcindən kiçik olan kəsirlər düzgün kəsrlər, surəti məxrəcinə bərabər və yaxud da ondan böyük olan kəsirlər isə düzgün olmayan kəsrlər adlanır.

Məsələn, 4/5, 5/7, 2/39 kəsrləri düzgün, 10/10, 11/10, 34/20 kəsirləri isə düzgün olmayan kəsirlərdir.

Düzgün kəsrlər qiymətcə vahiddən kiçik, düzgün olmayan kəsirlər isə vahidə bərabər və ya ondan böyükdür.

Misal həlli zamanı düzgün olmayan kəsrləri qarışıq ədədə və yaxud tərsinə çevirmək lazım gəlir.

Düzgün olmayan kəsri qarışıq ədədə çevirmək üçün kəsrin surətini məxrəcinə bölüb, qalığı tapmaq lazımdır: qismət tam vahidlərin sayını, qalıq isə vahid hissələrinin sayını göstərəcəkdir.

Məsələn, 545/32 kəsrini qarışıq ədədə evirək.

545:32=12 (qalıq 1). Deməli

Qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirmək üçün məxrəci tam ədədə vurub, alınan hasilin üstünə surəti gələrək, bunu, axtardığımız kəsrin surətinə yazmaq, məxrəci isə əvvəlki kimi saxlamaq lazımdır. Məsələn,

Kəsrin surət və məxrəcinin onların ortaq böləninə (vahidən fərqli oltaq böləninə) bölünməsinə kəsrin ixtisarı deyilir.

Kəsrin ixtisar oluna biləcəyi ən böyük ədəd onun surət və məxrəcinin ən böyük ortaq bölənidir. Məsələn, ƏBOB(30,45)=15

Adi kəsrin, surət və məxrəcin ən böyük ortaq böləninə ixtisar edilməsinə kəsrin tam ixtisarı deyib, bundan sonra kəsrin ixtisarı dedikdə onun tam ixtisar mənasında işlədildiyini qəbul edəcəyik.

Nisbət haqqında anlayış . Tənasüb

İki natural ədədin  birincisinin ikincisindən neçə dəfə böyük  olduğunu və yaxud birinin o birisinin hansı hissəsini  təşkil etdiyinin göstərən kəsrə iki natural ədədin nisbəti deyilir .

a natural ədədinin b natural ədədinə olan nisbəti a/b kimi göstərilir.

Tərif. İki  nisbətin bərabərliyinə tənasüb deyilir.

a/b = c/d bərəbərliyi tənasüb  a, b, c, d ədədləri isə tənasübün həddləri  adlanır . a və d ədədləri tənasübün  kənar , b və c ədədləri isə tənasübün  orta hədləridir .

Tənasübün əsas  xassəsi. Tənasübün kənar həddlərinin  hasili, orta hədlərinin hasilinə bərabərdir, a×d= b×c

2 xassəTənasübün  kənar həddlərinin yerini dəyişsək, tənasüb dəyişməz .

Başqa sözlə desək:

 a/b =c/d , d/b =c/a , d/c =b/a

3 xassə.Tənasübün  istənillən kənar həddi ilə istənilən orta  həddini eyni zamanda eyni ədəd dəfə artırsaq və ya azaldsaq , tənasüb dəyişməz.

Onluq kəsr anlayışı . Sonlu onluq kəsrlər

Tərif.Məxrəci 10ⁿ (nÎN) şəklində olan kəsrlərə onluq kəsrlər deyilir.

Tutaq ki, verilmiş adi kəsrin surətindəki ədədin rəqəmləri sayı n-ə məxrəcindəki ədədin rəqəmlərinin sayı m-ə bərabərdir .

1. n > m olarsa, onluq kəsrin surətindəki ədədi qeyd edərək, bu ədədin ən sağındakı rəqəmlərindən başlayıb, məxrəcindəki sıfırların sayı qədər ayırmaq və vergülü qoymaq lazımdır .

2. n≤m, surət qeyd olunarkən bu ədədin qarşısına m-n sayda sıfır yazıb , vergülü əvvəki qaydada ayırmaq lazımdır .

 Faiz

Tərif.Ədədin yüzdə bir hissəsinə faiz deyilir. Verilən ədədin müəyyən fayizinin tarılması.

1. Ədədin bir neçə faizini tarmaq üçün bu ədədi 100-ə bölüb faizinin miqdarına vurmaq lazımdır.

2. Faizinə görə ədədin tapılması. Verilən bir neçə faizinə görə ədədi tarmaq üçün bu faizə müvafiq olan ədədi faizin miqdarına bölüb 100–ə vurmaq lazımdır .

Həqiqi ədədlər

Tərif. Dövrü olmayan sonsuz onluq kəsr şəklində göstərilən ədədlərə irrosional ədədlər deyilir .

Rasional ədədlər çoxluğu ilə irrasional ədədlər çoxluğunun birləşməsindən əmələ gələn çoxluğa həqqiqi ədədlər çoxluğu deyib, onu R kimi işarə etmək qəbul olunmuşdur.

Tərif. a ədədinin mütləq qiyməti, a ədədi sıfır və müsbət olduqda özünə, mənfi olduqda isə (-a) ədədinə bərabər olan ədəddir.

 

Natural üstlü qüvvət və kökalma anlayışı

1. Kökalma anlayışı. Hesabi kök

Tərif. n vahiddən fərqli natural ədəd olduqda , n-ci qüvvəti a-ya bərabər olan ədədə a ədədinin n-ci dərəcədən kökü deyilir .

a ədədinin n-ci dərəcədən kökü ⁿ kimi işarə olunur .n-ci dərəcədən kökün tərifinə görə (ⁿ)ⁿ =a eyniliyi doğrudur .

Tərif. Mənfi olmayan ədədin n-ci dərəcədən mənfi olmayan kökünə , bu ədədin n-ci dərəcədən hesabı kökü deyilir .

Hesabi kök aşağıdakı xassələrə malikdir :

1. 
   Hasiln kökü , vuruqların kökləri hasilinə bərabərdir , a
   

olarsa onda

ⁿ =ⁿ� ⁿ

2. Qismətin kökü , bölünənlə bölənin kökləri qismətinə bərabərdir , yəni a olarsa , onda

3. Kökün natural üstlü qüvvəti , kökaltı ifadənin həmin üstlü qüvvətinin kökünə bərabərdir, yəni

a n, mN olarsa (ⁿ)^m =<sup>n

4.</sup> Kökün dərəcəsinin hər hansı natural ədədə , vurub kök altı ifadəni həmin dərəcədən qüvvətə yüksəltsək kökün qiyməti dəyişmir , yəni

aolarsa ⁿ =^nm

Natural üstlü qüvvət və kökalma anlayışı

2. Tam və kəsr üstlü qüvvət

Rasional ədədlrin natural ustlü qüvvətinin tərifinə görə

a⁰ =1 (a)

a^-n = (n) .

Tərif. a sıfırdan fərqli istənilən , m isə ixtiyari tam ədəd olduqda,

a^m =

Ədədinə a ədədinin m tam üstlü qüvvəti deyilir .

Tam üstlü qüvvət də natural üstlü qüvvətin malik olduğu xassələrə malikdir . Yəni m və n istənilən tam , avə b isə sıfırdan fərqli ədədlər olduqda

1.(a× b)^m =a^m× b^m,

2. (a/b)^m =

3. a^m× aⁿ =a^m+n

4.

5.

bərabərlikləri və

6. a>b>0 və m

7. a) a>1 və m>n olarsa a^m>aⁿ

b) 0 n olarsa a^m < aⁿ

Funksiyanın xassəsi və qrafiki

1. Xətti funksiyanın xassələri və qrafiki

Tərif. k≠0, b verilmiş həqiqi ədədlər olduqda y=kx+b düsturu ilə verilə bilən funksiyayaxətti funksiya deyilir. kx+b ifadəsinin x-in istənilən qiymətində mənası olduğundan, xətti funksiyanın təyin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğu və ya onun istənilən alt çoxluğu ola bilər. Aşağıdakı xüsusi halları nəzərdən keçirək.

1. k=0 olarsa, xətti funksiya y=b şəklində funksiyaya çevrilir. Bu funksiyanın qrafiki ordinat oxundan b uzunluqda parça ayırmaqla absis oxuna paralel keçən düz xəttdir; b<0 olduqda düz xətt kordinat müstəvisinin 3, 4 rüblərində, b>0 olduqda isə 1, 2 rüblərində yerləşmiş olur.

2.  k≠0, b=0 olarsa, funksiya y=kx şəklində olan funksiyaya çevrilir. Bu düsturla verilmiş funksiya düz mütənasiblik funksiyası adlanır. Sıfırdan fərqli olan k ədədinin mütənasilik əmsalı, bəzəndə bucaq əmsalı adlandırırlar və y dəyişəni isə x dəyişəni ilə düz mütənasibdir.

Düz mütənasibliyin əsas xassəsi: x-in qiymətləri bir neçə dəfə artdıqda, y-in ona uyğun qiymətləri də o qədər dəfə artır; analoci olaraq x-in qiymətləri bir neçə dəfə azaldıqda y-in ona uyğun qiymətləri də o qədər dəfə azalır.

Düz mütənasibliyin qrafiki koordinat başlanğıcından keçən düz xəttdir. Bucaq əmsalı k>0?isə, düz xətt koordinat müstəvisinin 1, 3, k<0?isə 2, 4 rüblərində yerləşmiş olur (şəkil 1). Düz xətt iki nöqtə ilə tamamilə verilmiş hesab olunduğundan, düz mütənaibliyin qrafikinin onun istənilən iki nöqtəsinə görə (onlardan birini koordinağ başlanğıcını götürmək əlverişlidir) qurmaq olar. Bucaq əmsalı müsbətdirsə, y=kx düz xəttinin absis oxunun müsət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucaq iti, əks halda kor bucaqdır. |k| böyüdükcə qrafik ordinat oxuna getdikcə yaxınlaşır, əks halda isə ordinat oxundan uzaqlaşır.?(şəkil 2). 

Funksiyanın xassəsi və qrafiki

2. Kəsr ? xətti funksiyanın xassələri və qrafiki (tərs mütənasiblik) funksiyasının xassələri və qrafiki

Tərif. olmaqla düsturu ilə göstərilə bilən funksiyaya tərs mütnasiblik funksiyası deyilir.

ifadəsinin, x-in sıfırdan fərqli istənilən qiymətində mənası olduğundan fuksiyanın təyin oblastı sıfırdan fərqli bütün həqiqi ədlər çoxluğu və ya onun isənilən alt çoxluğu ola bilər.

Tərs mütənasibliyin xassəsi: x-in qiymətləri bir neçə dəfə artdıqda, y-in uyğun qiymətləri o qədər dəfə azalır. x-in qiymətləri bir neçə dəfə azaldıqda isə y-in uyğun qiymətləri o qədər dəfə artır.

Tərs mütənasiblik funksiyasının qrafiki iki budaqdan ibarət olub , hiperbola adlanan əyridir . k>0 isə əyrinin budaqları koordinant müstəvisinin 1, 3 rüblərində , əks halda isə 2 ,4 rüblərində yerləşirlər.

Tərs mütənasiblik funksiyasının xy =k (k0) şəklindəki yazılışı hiperbolanın kordinant oxları ilə heç bir nöqtədə kəsişməyini və yalnız koordinant oxlarına getdikcə daha çox yaxınlaşdığını müəyyən etməyə imkan verir .

Funksiyanın xassələrini qısaca sadalayaq :

1. 
   
   
2. 
   funksiyanın qrafiki iki budaqdan ibarət hiperboladır. k>0 olduqda budaqlar 1, 3, k<0 olduqa isə budaqlar 2, 4 rüblərdə yerləşir.
   
3. 
   Funksiya təkdir. Ona görə hiperbolanın budaları koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.
   
4. 
   k>0 olarsa, funksiya azalan, k<0 olarsa, funksiya artandır.
   
5. 
   Funksiyanın kökü yoxdur, yəni hiperbola koordinat oxları ilə ortaq nöqtəyə malik deyildir.
   
6. 
   və
   

açıq parçaları funksiyanın işarə sabitliyi aralıqlarıdır:

Y x
U (k>0)	-	+
U (k<0)	+	-

Tərif. a, b, c, d, verilmiş ədədlər olduqda düsturu ilə göstərilə bilən funksiyaya kəsr-xətti funksiya deyilir. ifadəsinin , x-in - - dən başqa istənilən qiymətlərində mənası olduğundan , funksiyasının təyin oblastı - - dən fərqli bütün həqiqi ədədlər çoxluğu və ya onun hər hansı alt çoxluğu ola bilər .Yəni:

D =

Aşağıdakı xüsusi halları qeyd edək :

1) c = d = 0 olarsa, y =düsturu heç bir funksiyasını təyin etmir .

2) c = 0, d0 olarsa , funksiya y = ( bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda təyin olunmuş ) xətti funksiyaya çevrilir .

. Kvadrat funksiyanın xassələri və qrafiki

Tərif. verilmiş həqiqi ədədlər olduqda düsturu ilə göstərilə bilən funksiyaya kvadrat funksiya deyilir.

y=ax² funksiyasının qrafiki olan xətt parabola adlanır. Göstərilmiş parabolalardan istifadə etməklə y=ax² funksiyasının qrafiki haqqında aşağıdakıları söyləmək olar:

y=ax² funksiyasının qrafiki OY oxuna nəzərən bir-birinə simmetrik iki budaqdan ibarətdir və koordinat başlanğıcından keçir.

a əmsalı budaqların istiqamətini müəyyən edir: a>0 isə budaqlar yuxarıya, a

Parabolanın formasını a əmsalı müəyyən edir: |a| böyük olduqca parabolanın budaqları ordinat oxuna daha çox yaxınlaşır.

İndi isə y=ax² funksiyasının xassələrini sadalayaq:

1. 
   
   
2. 
   Funksiya yeganə x=0 kökünə malikdir.
   
3. 
   a>0 olduqda funksiya aralığında azalan, aralığında isə artandır, əksinə a<0 olduqda isə aralığında artan, aralığında isə azalandır.
   
4. 
   Funksiya cütdür: f(-x)= a(-x)²= ax² = f(x)
   
5. 
   Arqumentin x=0 qiymətində funksiya y=0 qiymətini alır. Bu qiymət a>0 olarsa, funksiyanın ən kiçik, a

Rasional və irrasional ifadələr

2. Tam cəbri ifadələr

Tərif. a ədədinin tam hissəsi ondan böyük olmayan ən böyük tam ədədə deyilir. a ədədinin tam hissəsini göstərmək üçün xüsüsi [a]işarəsindən istifadə edilir.

Tərif. a ədədi ilə onun tam hissəsinin fərqinə həmin ədədin kəsr hissəsi deyilir . a ədədinin kəsr hissəsi üçün isə xüsusi {a}işarəsindən istifadə olunur. Ədədin tam və kəsr hissəsinə verilən tərifdən istifadə edərək istənilən a ədədini a=[a]+{a}

Rasional cəbri ifadələr – toplama, çıxma, vurma, bölmə və qüvvətə yüksəltmə əməlləri vasitəsi ilə rəqəmlər və hərflərlə işarə edilmiş ədədlərdən düzəldilmiş cəbri ifadələrdir. Məsələn: a+b; a; 0,15;

Rasional funksiya – qüvvət funksiya – qüvvət funksiyalarından düzəlmiş funksiyasına () x-in bütün qiymətlərində təyin olunmuş tam rasional (çoxhədlinin)nisbəti olan funksiyasına kəsr rasional funksiya deyilir. (məxrəc x-in sıfırdan fərqli, bütün həqiqi qiymətlərində təyin olunmuşdur.)