Operatsiyon hisob yordamida differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasini yechish. Tebranishlar differensial tenglamalarni yechish Reja

Operatsiyon hisob yordamida differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasini yechish . Tebranishlar differensial tenglamalarni yechish


Reja:

1. O’zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalar.

2. O’zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalarni integrallash.

3. Tebranishlar differensial tenglamalar

Xulosa

Foydalanilgan adabiyotlar

bu yerda а₁ va а₂— haqiqiy sonlar. Bu tenglamaning у(0) = y_о, у'(0)=у'₀, bu yerda у₀ va у'₀ berilgan sonlar, boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u (t) xususiy yechimini topish talab qilinadi.
Izlanayotgan y(t) yechim, uning у'(t), у" (t) hosilalari, differen­sial tenglamaning o’ng tomoni f (t)
originallar bo’lsin deb faraz qilaylik. deb belgilab va (15), (17) formulalar, shuningdek, boshlang’ich shartlardan foydalanib, y' (t) va y" (t) tasvirlarni topamiz:
Chiziqlilik xossasiga ko’ra (23) tenglamada tasvirlarga utamiz:
y"(t)+a₁y’(t)+a₂y(t)  p²Y(p)-py₀-y’₀+a₁(pY(p)-y₀)+a₂Y(p)=F(p)
yoki
(р² + a_lp+ а₂) Y (р) = F (р) + ру₀ + у'₀ + а₁ у₀. (24)
(24) tenglama yokamchi tenglama yoki (23) differensial tenglamaga mos tasvirlardagi tenglama deyiladi. Shunday qilib, y(t) original uchun (23) differensial tenglama o’rniga uning Y (p) tasviri uchun (24) Chiziqli algebraik tenglama hosil qildik. (24) tenglamadan to­pamiz:
25)
formula (24) tenglamaning operator yechimi deb ataluvchi yechimi­ni beradi. Original y (t) uchun (25) formula bilan aniqlanadigan Y (p) funksiya tasvir bo’ladi. Ana shu y(t) (23) differensial teng­lamaning izlanayotgan yechimi bo’ladi.
1- Misol. у" — 3 у' + 2 у = 2 e^3t differensial tenglamaning у (0)=1, у' (0) = 3 boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimini toping.
Yechilishi. Jadvaldagi (II) formula bo’yicha tenglamaning o’ng tomonining
tasvirini topamiz:

25) formuladan foydalanib va a₁=-3, а₂ =2 y₀=1 y’₀₌₃ ekanini e’tiborga olib, yechimning tasvirini hosil qilamiz:



Endi jadvaldagi II formulaga ko’ra originalni topamiz, u berilgan tenglamaning izlanayotgan yechimi bo’ladi:
у (t) = e^3t.
2- Misol. у" + 4у = sin t differensial tenglamaning у (0) = 1, y’(0)=1 boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimini toping.


Yechilishi. Jadvaldagi (IV) formula bo’yicha tenglamaning o’ng tomonining tasvirini topamiz:

formula bo’yicha yechimning tasvirini topamiz, bunda у₀= 1, у'₀ = 1, а₁=0, а₂ = 4 ekanini e’tiborga olamiz:

Hosil qilingan ifodani o’zgartiramiz. Y (p) ni eng sodda kasrlarga ajratamiz, natijada

So’ngra

O’garmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemalarini operatsion hisob metodi bilan yechish usuli bitta tenglama bo’lgan holdagi kabidir.
Masalan, ikkita noma’lum x(t) va y(t) funksiyalarga nisbatan birinchi tartibli o’garmas koeffitsiyentli ikkita chiziqli tenglama sistemasini ko’raylik:

Bu sistemaning x(0)=x₀, у(0)=у₀ boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish talab qilinadi.
Izlanayotgan x(t) va y (t) funksiyalar, ularning hosilalari va o’ng tomonlari f₁(t) va f₂(t) lar original deb faraz qilamiz. Ushbu

belgilashlar qilib va (13) formulani kullanib, x'(t) va y'(t) tasvirlarni topamiz:



Chiziqlilik xossasiga ko’ra (26) differensial tenglamalar sistemasidan tasvirlar uchun algebraik tenglamalar sistemasiga o’tamiz:
(27) sistema yordamchi sistema deyiladi. Uni yechib X(p) va Y(p) tasvirlarni topamiz, biz izlayotgan noma’lum x(t) va y(t) funksiyalar esa bo’larning oqi ginallaridan iborat bo’ladi.
Misol. Ushbu



sistemaning x(0)=x₀=0_, y(0)=y₀, boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.
Yechilishi. (jadvaldagi X formulaga qarang) bo’lgani uchun yordamchi sistema quyidagicha bo’ladi: