Osmanli devletinde yeniLİK Çabalari ve



Yüklə 227,88 Kb.
Pdf görüntüsü
tarix17.11.2018
ölçüsü227,88 Kb.
#81056


Ekim 2006 Cilt:14 No:2 

Kastamonu Eğitim Dergisi   545-556 

 

October 2006  Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal 



 

MONTE CARLO SİMÜLASYON METODU VE MCNP KOD 

SİSTEMİ 

Aybaba 

HANÇERLİOĞULLARI

 

Özet 


Kastamonu Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü, Kastamonu. 

Monte Carlo 

metodu,  olaslık  teorisi üzerine kurulu bir sistemdir. Monte  Carlo metodunda 

istatistiksel ve 

matematiksel  tekniklerle  bir  deneyi  veya  çözülmesi  gereken  bir  fiziksel  olayı 

tesadüfi sayıları defalarca kullanarak simülasyon edilip çözmek esastır.(1)Günümüzde bu metot, 

fizik ve matematik problemlerinin çözümünde MCNP(Monte Carlo N – 

Parçacık  Taşınım  ) 

kodunu kullanarak nükleer transport hesaplamalarda iyi sonuçlar vermektedir (2,3). 

Anahtar Kelimeler: Monte Carlo metodu, simülasyon 

MONTE CARLO SIMULATION METHOD AND MCNP CODE 

SYSTEM 

Abstract 



The Method of Monte Carlo is a system which is based upon the theory of possibility. What is 

fundamental  in this  method  is  to  clarify  a  physics  incident  or  experiment  which  has  to be 

explained  with  statistical  and  mathematical  techniques  by  using  random  numbers  constantly in 

order to simulate.(1)  Nowadays, this  method  is  so  perfect  in  solving  physical  or  mathematical 

problems  and  in  nuclear  transport  calculations  by  using  MCNP  (Monte  Carlo N-

partıcal 

transport) code (2,3.) 

Keywords: The Method of Monte Carlo, simulation 

1. Giriş 

Günümüzde endüstriyel problemlerin doğasındaki karmaşıklık ve sürekli yeni teknik 

yöntemlerin kullanılması maalesef pek çok analitik çözümü olanak dışı bırakmaktadır. 

Problemlerin  yapısı  değişen  teknolojiyle  birlikte  karmaşık  bir  hale  gelmekte  ve 

bütünleşik  sistemlerin  sayısı  hızla  artmaktadır. Analitik  yaklaşımların  aksine 

simülasyon  modelleri,  karmaşık  problemlerin  modellenmesi  ve  çözümünde  daha 

başarılı  olurlar.  Değişkenler  arasındaki  etkileşimi  simülasyon  modellerinde 

gözlemlemek daha kolaydır. Ancak yoğun bilgisayar kullanımını gerektirir 

Gerçek sistemden toplanan bilgiler, bilgisayarda geliştirilen modellere uygulanarak, 

sayısal  bir  takım  sonuçlara  ulaşmak  hedeflenir.  Bunların  değerlendirilmesi  ve 

sonuçlarına  ulaşılması  sistem  performans  ölçütlerinin  birtakım  tahminleridir. 

Simülasyon mode

lleri  aracılığı  ile  en  kötü  durum  senaryoları  da  incelenebilir. 

Simülasyon  tekniğinin  Monte  Carlo  tekniği  olarak  adlandırılması  Von  Neumann  ve 

Ulam  bilim  adamları  tarafından  yapılmış  olup  ilk  uygulamalarını  nötron  yayılımı 

problemlerinde bu yöntemi kullanm

ışlardır (13). Monte Carlo metodu nötron difüzyon 

problemlerinden bir istatistiksel metod ortaya koyar. 

Monte  Carlo  tekniği,  özel  bir 

denemede ya da bir simülasyon çalışmasında bir ya da daha çok olasılık dağılımından 



546 

Aybaba 

HANÇERLİOĞULLARI 

 

Ekim 2006 Cil



t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 

 

rastgele  sayılar  seçme  tekniğidir.  Hesaplamalarda,  fiziksel  sistemi  tanımlayan  olasılık 



yoğunluk fonksiyonlarından rastgele seçilmiş sayılarla gerçekleştirilir (4). 

İstatistik ve belirleyici kodlar arasındaki en önemli fark, istatistik kodda parçacığın 

davranışının  yaklaşık  bir  değerini  oluştururken, bununla birlikte belirleyici kod da 

parçacığın davranışı için transport denklemlerini çözer (5,6). 

2. Monte Carlo Simülasyon Metodu 

  Monte Carlo yöntemi, deneysel ve istatistiksel problemlerinin çözümüne rastgele 

sayılarla yaklaşımlara verilen genel bir isimdir. Bu yöntem, özellikle 1930’lardan sonra hızla 

gelişmeye başlamış bir tekniktir. Los Alamos laboratuarlarında nükleer silah geliştirilmesi 

projesinde çalışan bilim adamları tarafından ilk kez ortaya atılmıştır. Bu metodlar olasılık 

teorisine tabidir. Metodun 

bir probleme uygulanması, problemin tesadüfi sayıları kullanarak 

simülasyon  edilip  hesap  edilmek  istenen  parametrenin  bu  simülasyonlarının  sonuçlarına 

bakılarak yaklaşık hesaplanması fikrine dayanır. Metot da basit sayısal integral hesaplama 

yöntemlerinden, günümüz istatistik teorisinin yoğun hesaplama gerektiren Bayes çıkarsama 

yöntemlerini pratik ve rutin olarak uygulanabilir hale getiren modern simülasyon tekniklere 

ulaşan  bir  gelişim  izlemişlerdir.(7,8)  Simülasyon  kelimesinin  modern  anlamda  kullanılışı 

1940 yılı sonlarında John Von Neumann ve Stanislaw Ulam ‘ın çalışmalarına Monte Carlo 

Simülasyonu  adını  vermeleri  ile  başlar(13).Monte  Carlo  simülasyonu,  duyarlılık  metodu, 

momentler metodu ve tam cebirsel çözümleme gibi risk analizi yöntemlerinden  birisidir. 

Sonuçları  diğer  yöntemlerle  karşılaştırıldığında,  riski  daha  iyi  temsil  etmesi  nedeniyle 

mühendislik,  eğitimde  ölçme ve değerlendirme,  askeri  savunma  teknolojisi, fen  ve 

mühendislik 

alanında,  nükleer  teknolojisi ve uzay sisteminde, istatiksel  analiz ve 

sosyoekonomik sahalarında sıkça başvurulan bir yöntemdir(15).  

Genel  anlamda  simülasyon,  gerçeğin  temsil  edilmesi  şeklinde  tanımlanabilir. 

Simülasyon’un  Amaçı,  bir  gerçek  hayat  sistemini  girdi  ve  çıktılarıyla  matematiksel 

olarak ifade etm

ek gerçek sistemi kurulan model üzerinden tanıyıp araştırmak, değişik 

kararları ve seçenekleri gerçek sistemde hiçbir değişiklik yapmadan deneyebilmetir. Bu 

teknik sayesinde analitik işlemleri çok karışık ve deneysel işlemleri de çok pahalı olan 

nükleer sa

vunma  problemleri  başarı  ile  çözülmüştür.1950  yılı  başlarında  sayısal 

bilgisayarların  gelişimi  ile  simülasyon  kelimesi  başka  anlamlar  da  kazanmıştır.  Bu 

sayede  sosyal  bilimciler  de  fizik  kimyacılar  gibi  laboratuar  deneyimlerine  benzer 

deneyleri bilgisayard

a gerçekleştirme olanağı bulmuştur. Josep H.Mice simülasyonu, bir 

sistemin  kendisi  üzerinde  doğrudan  denemeler  yapmak  veya  bu  sistem  ile  ilgili  bir 

problemin analitik çözümünü bulmak yerine sistemin modelini kurup denemelere 

girişme anlamında kullanılmıştır.(14) 

Monte Carlo tekniği, özel bir denemede ya da bir simülasyon çalışmasında bir ya da 

daha  çok  olasılık  dağılımından  rasgele  sayılar  seçme  tekniğidir.  Yöntem  daha sonra 

çoklu integral değerlendirme problemleri gibi oldukça karmaşık olmayan problemlerin 

çözümüne kolaylıkla adapte edilmiştir. Bazı bilimciler yöntemin sadece varyans azaltma 

tekniklerinin  örnekleme  işlemlerinde  kullanılması  şeklinde  sınıflandırılmasını 

önermişlerdir.  Buna  rağmen  yöntemin  bugünkü  kullanımı,  genellikle  olasılık 

dağılımlarından rasgele değerlerin seçimi şeklindedir. 

Geçmiş  uygulamalarda  şans  oyunları  bir  simülasyon  tekniği  olarak  adlandırılmış 

olmasına rağmen aralarında belirgin  farklılıklar olduğu  kesindir.  Şans oyunu, oyuncuların 



Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi 

547 


 

October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal 

 

faaliyetlerinin bir sonucu olarak bir modelin 

davranışını gözlemek ve karar vermek için 

bir oyun modelinin kullanılmasıdır 

Monte-

Carlo,  şans  oyunları  ve  model  örneklemesi  yöntemlerini  içermektedir. 



Simülasyon tekniklerinin en büyük dezavantajı, Monte-Carlo , şans oyunları ve model 

örneklemesinde var o

lan  düzgün  bir  terminolojiden  yoksun  olmasıdır.  Buna  karşılık 

uygulanabilir  oldukları  durumlarda,  bir  mühendis,  bir  ekonomist,  bir  yöneylem 

araştırmacısı veya bir işletme analisti görevini kolaylıkla üstlenebilir. Herhangi bir amaç 

için  geliştirilen  ve  çalıştırılan  bir  simülasyon  modeli  kontrol  edebilir  koşullar  altında 

sistemin dinamik davranışlarının kontrol altına alınmasına imkan sağlar. Daha güzel bir 

ifade ile, simülasyon teknikleri, ilgili problemlerinin analizinde bir laboratuvar 

hizmetini üstlenir. 

Simülasyonun ilk kullanımları, Joseph H. Mice ve Morgenthaler’in 

tanımlarına  uygun  olarak,  mühendislik  ve  bilimsel  çalışmalarda  oldukça  yaygın  bir 

şekilde  kullanılmıştır.  Literatürde, bu tür simülasyon modellerine Analog Simülasyon 

modelleri  adı  verilmektedir.  Analog  model,  bir  özelliğin  benzeyen  bir  başka  özellikle 

simgelendiği modellerdir. Bu tanıma göre analog simülasyonlar, kesin olarak kendisine 

benzeyen diğer bir sitemi temsil etmek için fiziksel bir sistemi kullanan simülasyonlardır. 

Ekonomide,  işletmelerde  ve  diğer  sosyal  bilimlerde  kullanılan  simülasyon  teknikleri, 

dinamik  bir  süreci  temsil  eden  sayısal  bir  model  üzerinde  denemeler  yapmayı  içerir. 

sistemin 

Değişkenler  arasındaki  etkileşimi  simülasyon  modellerinde  gözlemek  daha 

kolaydır.  Ancak  yoğun  bilgisayar  kullanımını  gerektirir.  Gerçek sistemden toplanan 

bilgiler,  bilgisayarda  geliştirilen  modellere  uygulanarak  sayısal  birtakım  sonuçlara 

ulaşmak  hedeflenir.  Bunların  değerlendirilmesi  ve  yorumlanması  yapılarak  sistem 

performans ölçütlerine ait bi

rtakım  tahminlerde  bulunulur.  Simülasyon modelleri 

aracılığı  ile  en  kötü  durum  senaryoları  da  incelenebilir.  Simülasyon modeli, sadece 

matematik denklemlerine değil, denemelere dayanır ve model optimum sonuçlar ortaya 

çıkarmaz  fakat  simülasyon  modelleri  yardımı  ile  alternatif  çözümler  ortaya  konarak, 

optimum sonuca en yakın çözüm seçilir  (14). 

3. Simülasyon Uygulama Alanları 

Simülasyonun kullanıldığı bazı uygulama alanları şu şekilde sıralanabilir 

a) 

Üretim/imalat sistemlerinin tasarım ve analizi 



b) Montaj 

hattı dengeleme 

c) 

İşgücü planlaması 



d) 

Malzeme taşıma sistemleri 

e) 

Yeni askeri silah ve sistem taktiklerinin saptanması 



f)  

Bir envanter sistemindeki sipariş planlarının incelenmesi 

g)  

İletişim sistemlerinin ve bunlar için gerekli mesaj protokollerinin tasarımı 



h)  

Otoyollar, havaalanları, metrolar ve limanların tasarım ve işletimi 

i) Ambulans bulundurma 

noktalarının ve buralardaki araç sayılarının saptanması 

j) 

Yangın söndürme istasyonlarının yerlerinin ve buralarda bulundurulması gerekli  



k) minimum a

raç sayılarının saptanması 

l) Finansal veya ekonomik sistemlerin analizi 

m) 


Dağıtım kanallarının tasarımı 

n) 


Bir bilgisayar sisteminin donanım ve yazılım gereksinimlerinin belirlenmesi 

o) 


İşletme yöneticilerinin eğitilmesi(işletme oyunları/firma benzetimi)  


548 

Aybaba 

HANÇERLİOĞULLARI 

 

Ekim 2006 Cil



t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 

 

p) 



Alınacak riskleri minimize etmek için uzay uçuşları denemeleri 

r) Tamir-

bakım sistemleri 

4. Simülasyonun Avantajları ve Dezavantajları

 

a) 


Simülasyonun Avantajları 

1-  Simülasyon esnek bir çözüm yöntemidir. 

2- 

Diğer modellere kıyasla anlaşılması daha kolaydır. 



3- 

Aşamalı olarak uygulayabilme imkanı vardır. 

4- 

Klasik  çözüm  yöntemlerinin  kullanılamadığı  büyük  karmaşık  problemlerin 



çözümüde oldukça etkilidir. 

5- 


Bir  başka  yöntemde  incelenmesi  olanaksız  olan  koşullar  ve  kısıtlar 

simülasyon ile rahatça modellenebilir. 

6- 

Sonuçları  ancak  aylar,  yıllar  sonra  alınabilecek  durumlarda  simülasyon  ile 



çok kısa sürede analiz edilebilir. 

7- 


Simülasyon,  modellenen  sistemi  değiştirmeden  yeni  fikir  ve  politikaların 

model üzerinde rahatça uygulamasına olanak verir. 

8-  Kull

anıcı simülasyonu istenen zamanda durdurup yeniden başlatabildiğinden 

deney koşullar üzerinde tam bir kontrole sahiptir.  

b) 


Simülasyonun Dezavantajları 

1- 


İyi bir simülasyon modelini geliştirmek vakit alıcı ve pahalıdır. 

2-  Optimum çözüm üretme garantisi yoktur. Bir 

çeşit  deneme-  yanılma 

yöntemidir.  

3-  Her simulasyon modeli kendine özgüdür. 

4- 


Uygulamasındaki  kolaylıklar  dolayısıyla  analitik  çözümlerin  göz  ardı 

edilmesine neden olabilir. 

5- 

Modelleme  de  ve  bulguların  analizinde  yapılacak  hatalar,  yanlış  sonuçlara 



yol açabilir. 

5. Monte Carlo Metodunun Matematiksel Analizi 

Monte carlo metodunda sayısal olarak bir deneyi veya olayı taklit etmek için temel 

araç 0-


1 arasında değerler alan düzgün dağılımlı sayıları kullanmaktır. Bu sayıları q ile 

gösterelim. Bu 

sayılar  bir  bilgisayar  programı  ile  türetilebilir. Belli  bir ölçü veya 

deneyde  bulunabilecek  değerler  kümesi  bir  gelişigüzel  sayı  kümesi  oluşturur. 

Gelişigüzel  sayılar  kümesinde  herhangi  bir  sayının  gelme  olasılığı  ötekilerden  farklı 

olabilir.  Olasılıklar  aynı  ise  böyle  bir  kümeye  düzgün  dağılımlı  gelişigüzel  sayılar 

kümesi  denir.(10)  Gelişigüzel  Sayılar  her  bir  rakamı  aynı  olasılıkla  seçilmiş  ve 

birbirinden  bağımsız  sayılardan  oluşmuş  bir  kümenin  elemanlarıdır.  Monte  Carlo 

Metodunda  çok  sayıda  gelişigüzel  sayı  gerektiğinden  bu  sayılar  bilgisayarda  üretilir. 

Bilgisayarda tümüyle belirli bir yönteme göre ardı ardına oluşturulan bu sayılar gerçekte 

gelişigüzel  olmamakla  birlikte  gelişigüzel  sayıların  istatistiksel  özelliklerini  içerirler.  

Bu formülden elde e

dilen gelişigüzel sayı dizisine, “sözde gelişigüzel sayılar” denir 



Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi 

549 


 

October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal 

 

Şekil1de  q  gelişi  güzel  sayılar  karşın,  bu  sayıların  N(q),  sıklık(frekens)  dağılımı 

görülmektedir. 

 

Şekil-1  Gelişi güzel saylıarın frekansa bağlı grafiği 



Gelişigüzel Sayılar ‘Mixed congruential method’ formülden elde edilebilir; 

                       



i

i

i

i

i

i

br

ax

X

br

ax

tamsay

ı

P

=



×

=

+1



)

(

 



                        

b

x

q

i

i

1

+



=

 

Bu  yöntemin  algoritması;



1

=



i

i

ax

x

 

(Mod  m)  matematiksel  bağıntıyla 



gösterilebilir.Burada 

i

x

,pozitif tam sayı dizisi olup başlangıç değeri 

0

x

 

dır. ave b ise 



pozitif bir tam saylardır.        Bu sayılardan daha büyük  başka bir pozitif tamsayı  ise  m 

dir.


i

x

 

pozitif  tamsayılar  dizisi  ,



a

x

1

 



ile  çarpılıp  çıkan  sayının  m’ye  göre  modu 

hesaplanarak elde edilir (1,4). 

                          

)

)(mod



(

1

m



c

ax

x

i

i

+

=



 

‘Mixed congruential method’ adı verilen yöntemde başlangıç değeri olarak x pozitif 



bir  tamsayı  alınır.  Üretilen  sayı  dizisinin  her  sayısı  m’ye  bölünerek  0-1  aralığındaki 

sayılardan o yeni bir dizi elde edilir. a ve c iki tam sayı m’de bu sayıların ikisinden de 

büyük  bir  tamsayıdır.  a, b,c, m  ve 

0

x

’ın  farklı  değerleriyle  üretilen  diziler 

gelişigüzeldir ve bir 



i

x

 dizisi,


0

x

, a, c, m ile tümüyle belirlenir. Dizinin en çok m adet 

farklı sayıdan oluştuğu ve sonuçta kendisini tekrarlıyacağı açık olmakla birlikte periyot, 

m

,a ve c’nin uygun değerleri seçilerek mümkün olduğunca büyütülebilir.(9) 



Şimdi  de,    a  ≤  x ≤  b  aralığında,  her  bir  x  sonucunun  ortaya  çıkma  olasılığı,  f  (x) 

sıklık  fonksiyonu  ile belirlenen bir olayı taklit etmek isteyelim. Olayda  sonucun x ile 

x+

dx arasında bir değer alma olasılığı, 



                            P(x) dx = 

dx

x

f

)

(



  

⁄  




b

a

dx

x

f

)

(



 ........................ (I) 

Burada, 


P(x) fonksiyonuna Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu adı verilir.  


550 

Aybaba 

HANÇERLİOĞULLARI 

 

Ekim 2006 Cil



t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 

 

Q(x),



Toplam Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ise, 

                                    Qx) = 

p(x’) dx. ........................................... (II) 



şeklinde tanımlanır.  



  x 

 



b  aralığındaki  her  x  değerine  karşılık  Q(x),  toplam  olasılık  yoğunluk 

fonksiyonu 0-

1  aralığında  gelişigüzel  değerler  alır.  Q(x)  değerlerinin  ortaya  çıkma 

sayısı  yani  sıklık  fonksiyonu  düzgün  bir  dağılım  gösterir.  O  halde P(x)’i T ye 

eşitleyebiliriz, 

                                         T = Q(x)                                                   (III) 

I, II, III denklemlerini kullanarak Temel Monte Carlo ilkesinine 

ulaşabiliriz. 



                                    T=



x



a

dx

x

f

)

'



(





b



a

dx

x

f

)

(



 .......................... (IV) 

elde edilir 

Denklem IV

Temel  Monte  Carlo  İlkesi  olarak  bilinir. Denklem  IV  den X tersine 

çözülürse T’ye 

bağlı olarak, 

                                        X = P

1



(T) ................................................ (V) 



t

ers dönüşüm denklemi elde edilir. 

6. Monte Carlo Metodunu Örneklenmesi: 

Monte  carlo  metodunun  daha  iyi  anlaşılır  olması  açısından  birkaç  tane  bilimsel 

örneklemeye gidelim, 



Örnek 

(gelişi güzel sayı ekseni): 

Yapılan  bilimsel  bir  deney  çalışmasında,  n-tane  sonuç  olsun  ve  sonuçların  her 

birinin meydana gelme 

olasılıkları  sırasıyla



n

P

P

P

.

,.........



,

2

1



  

değerlerini  alsın,  Bu 

olayı  0-1  arasında  değerler  alan  gelişigüzel  sayılarla  taklit  etmek  istersek,  gelişigüzel 

sayı  eksenini  şekil-2  deki  gibi  n  tane  bölgeye  ayırıp,  tek  boyuta  gelişi  güzel  sayı 

ekseninde gösterebiliriz. 

 

Şekil 2. Gelişigüzel sayı eksenine n-tane sonuç bölgesinin yerleştirilmesi 



Gelişigüzel  sayıların 

1

P

  

olasılıkla  belirlenen  miktarını  1.sonuç   



2

P

 

olasılıkla 



belirlenen miktarını 2.sonuç ,

n

P

 

olasılıkla belirlenen miktarını da n.sonuç için ayırmış 



olduk. Böylece 

belirtilen  bir gelişigüzel  sayı  hangi  sonuç  bölgesine  düşerse,  olayda  o 

sonuç meydana gelmiştir. Bu durumda olasılık dağılımı aşağıdaki matematiksel ifadeyle 

ibaret olur. 




Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi 

551 


 

October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal 

 

                      0

1

P

   ise 1.sonuç 

                    

2

1



1

P

P

q

P

+

<

 ise 2.sonuç 



                      

1

.......



1

2

1



<

+



+



q



P

P

P

n

 ise n.sonuç 



Örnek 2  

(Gelişi güzel sayı dağılmının     n(x)=x

2

n(x)=x


  fonksiyouyla incelemesi):        

2

 

şeklinde  dağılım  gösteren  bir  deneyi  örnekleyelim.  Şekil  3’de  n(x)=x

2

  

dağılımı görülmektedir 

 

Şekil 3.  n (x) = x



2

Tek boyuta pozitif X eksenini   X

nin gelişi güzel sayı durumu 



0

’a kadar  X

1

=

0



1

X

N

0



2

2

X



N

X

=

,...X



N

 = X


0

 

şeklinde   



N eşit kutuya ayıralım. 0’dan X

0

’a kadar  eğrinin altında kalan alan A, 0’dan i. kutuya kadar 



ki eğrinin altında kalan alan  da A

i

olsun.(i=1,2,.....N)olan pozitif tam sayılardır. 

Türetilen bir gelişigüzel sayının i. alana düşme olasılığı, Pi

 

                                                  



=



=

0

0



X

i

i

i

ndx

ndx

A

A

P

  

bu olasılığı q



i

ile temsil edebiliriz. 

Dolayısıyla, integrelde n(x) gördüğümüz yere x

2

         



 

yazıp,x ‘e  göre çözersek 



=



0

0

)



(

)

(



X

i

i

dx

x

n

dx

x

n

q

            veya            

3

0

3



3

0

3



0

2

2



3

3

0



X

X

X

X

dx

X

dx

X

q

X

X

i

=



=

=





 

yazabiliriz.



X

X



alırsak, 


552 

Aybaba 

HANÇERLİOĞULLARI 

 

Ekim 2006 Cil



t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 

 

                              q=



3

0

3



0

3

q



X

X

X

X

=



   


elde edilir. Böylelikle X ile X

0

 



arasındaki matematiksel bağıntı bulunmuş olur. İşte bu 

esasa  dayanarak  dağılımı,  integrali  alınabilen  fonksiyon  şeklindeki  tüm  deneyleri 

gelişigüzel sayılarla daha çok örnekleyebiliriz.   

Örnek 

3( Tek boyuta sabit hızlı hareket): 

Yapılan bir fiziksel olayı 0-1 değerler arasında gelişi güzel sayı değerleri metoduyla 

hareket problemine 

uygulayalım, doğrusal bir yol boyunca sabit bir hızla hareket eden 

bir deney aracının yerdeğiştirmesi sonuçları 0 ile X

0

 



arasında değerler alsın. Bu istatiki 

sonuçları, X

0

’a kadar eşit   kutulara ayırıp, dağılımı X(t)=V



0

0

tq matematiksel  bağıntısı 



ile ifade edebiliriz.burada q ,0 dan itibaren pozitif gerçek sayılardır. Matematiksel ifade 

şekil 4 deki grafikte görüldüğü gibi X in her değerinde n sabit kalmaktadır . q sayıları 

kümesi  ile  X  sayıları  kümesi  düzgün  dağılımlı  oldukları  için  q’ları  kullanarak 

V=V


bağıntısını  kolayca  taklit  edebildik  Bu  şekilde  çok  sayıda  gelişigüzel  q  sayısı 

türeterek her bir kutunun gelme sayısını bulabiliriz. 

 

Şekil 4. X sayılar kümesinin V ile değişimi 



Örnek -4 (Ortalama serbest yol):  

I

0

 

şiddetinde belli bir enerji ile bir ortama giren 

γ

-



ışınlarının şiddeti  I= I 

0

e



x

µ



 

şeklinde  matematiksel  olarak  ifade  edilir.  Burada x, 

γ

-

ışınının  ortamda  etkileşme 



yapmadan  önce  aldığı  serbest  yoldur.Bu  deneyi  gelişi  güzel  sayılar  metoduyla 

örnekleyelim, x’e bağlı f(x) fonksiyonu şöyle olsun,0-1 arasında  değişen q gelişi güzel 

sayılar kümesi olacak şekilde, 

                    F (x) = 

∫ I dx = ∫ I 

0

 e 



x

µ



 dx = 

µ

0



I

 e 



x

µ



 ............... (I) 

F(x) = Nq   olsun    ve    N ,Normalizasyon katsayısıdır.Buradan ters dönüşüm işlemi x 

= F

1



(Nq ) elde edilir.  x’i çözersek, 


Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi 

553 


 

October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal 

 

                 Nq = -

µ

0

I



 e 

x

µ



 

 -



0

I

µ

 Nq = e 



x

µ



  

                x = -In ( - 

0

I

µ

     Nq  ) / 



µ ................................................. (II) 

q = 1  için  x = 0q = 0  için  x = 

∞ 

olacak şekilde  sınırlamızı seçelim, II denklemden  



-

0

I

µ

 

N = 1  ile olacağı açıktır. öyleyse, 



                                  x = -Inq /

µ  ------------                               -----(III

elde edilir. 

(3) eşitliği (1) eşitliğinden farklı değildir. Bu iki eşitliği tekrar yazalım, 

   q = 1  için  x = 

∞ 

   q = 1  için  x=0           



  x = - Inq / 

µ ......................................... (IV)  

 

   q = 0  için  x =  



∞   

  x =  -In (1-q)/



µ ........................................ (V) 

   q = 0  için  x =   0  

IV  yada  V  bağıntılarından  herhangi  birini  kullanıp  ortalama  serbest  yolu  bulmuş 

oluruz. 


Örnek 

5 ( Buffon’un iğne problemi): 

Monte Carlo metodlarının temel fikrinin tarihte ilk defa bu problemle ortaya çıktığı 

söylenir. 1777 yılında G.Comte de Buffon şu problemi incelemiştir. Yatay bir düzlem 

üzerine d aralıklarla paralel doğrular çizerek L boyundaki bir iğneyi bu düzlem üzerine 

gelişigüzel bırakmıştır. 

Düzlem üzerine bırakılan bu iğnenin doğrulardan biri ile kesişme olasılığını analitik 

yollardan çözerek p = 2L/

π

d  olarak 

hesaplamıştır. Burada p, kesişme olasılığıdır. 

Yine  başka  bir  iğne  deneyinde  düzlem  üzerindeki  doğruların  herhangi birisi ile 

kesişme  olasılığını  hesaplalarsak  bu  deneyi  N  defa  tekrarlayıp,  iğnenin  kaç  defa 

düzlemde


ki doğrulardan birisi ile kesiştiğini sayabiliriz. Kesişme sayısına n dersek, n/N 

oranının  gerçek  sonuç  olan  p  kesişme  olasılığı  sayısına  yakın  olduğunu  bulabiliriz.  N 

sayısı  büyüdükçe  n/N  oranı  p  ye  yaklaşmıştır.  G.Comte  de  Buffonun  bu  deneyde 

farkettiği olgu, 20.yüzyılda olasılık teorisinde önemli  bir katkı sağlanmıştır. 



Örnek–6 (Bir nötronun birim uzunlukdaki madde içerisindeki hareketi)  

Problem, bir  nötronun ortalama kaç harekette bu maddenin 

dışına  çıkacağını 

hesaplamaktır.  Bu  problemi  Monte  Carlo  teknikleriyle  çözmek  için  bir  tesadüfü  sayı 

kaynağına  ihtiyacımız  var. Bu  sayıları,  nötronun  hareketlerini simule etmek için 

kullanacağız.      Bunun  için,  bir  birim  uzunluğundaki  maddeye  nükleer  bir  kaynaktan 

nötron  sol yüzeyden  girsin ve sadece  ileri(solda

n  sağa  doğru)  hareket  ettiğini,  her 

harekette aldıkları mesafenin 0 ile 1 arasında değişen gelişi güzel tesadüfi (random) bir 

uzunluk olduğunu varsayalım 




554 

Aybaba 

HANÇERLİOĞULLARI 

 

Ekim 2006 Cil



t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 

 

Sonuç olarak, nötronun maddenin dışına çıkması için e defa hareket etmesi gerekir. 



(e

≈ 2.71828 )  , 



u

1

=0.23,



u

2

=0.71 ve



u

3

=0.62  



ürettiğimiz ilk 3 tesadüfü sayı 0 ile 1 arasında olsun.  ,eğer nötronu simule etmek için bu 

sayıları kullanıyorsak, nötron birinci harekette 0.23 birim mesafe, ikinci harekette 0.71 

birim mesafe gidecek.Yani iki hareketin sonunda  nötron toplam      0.23 +0.71=0.94  

birim  mesafe  gitmiş  olacak.Maddenin  kalınlığı  1  birim  olduğu  için  nötron  henüz 

maddenin  dışına  çıkmış  değil.Dolayısıyla  nötronun  bir  hareket  daha  yapması 

ger


ekiyor.Üçüncü harekette aldığı mesafe , üçüncü tesadüfi sayı olan 0.62 olduğu için, 

bu hareketin sonunda toplam gidilen mesafe 0.23+0.71+0.62 =1.56

>1.Yani üçüncü 

hareketin sonunda nötron maddeyi terk eder.Böylece bir nötronun, maddeyi terk edene 

kadar yapt

ığı hareketleri, tesadüfi sayıları sayesinde simüle etmiş olduk. Bunun gibi N 

tane nötronu, farklı  tekrarlanabilen tesadüfi sayılar kullanarak simule edebiliriz.  

7. MCNP (Monte Carlo N – Parçacık Taşınım Kodu) 

MCNP kodunda amaç, nükleer enerji ve atomik 

bilgi  hazinesini  kullanmaktadır. 

MCNP nötron, foton 

ve elektronların zamana bağlı sürekli enerji geçişini(transport) üç 

boyutlu geometride çözen genel bir koddur. MCNP kodunda hem sabit kaynak hem de 

kritik  altı  problemleri  çözebilir.  MCNP, Monte  Carlo simulasyonu  ve  bir  takım 

modelleri  içeren,  nükleer  özellikleri  olan  fizik  ve  matematik  konularını  içeren  bir 

koddur.  MCNP  kodu  karmaşık  parçacık  geçişini  modellemede  oldukça  iyi  uygulanır 

çünkü sürekli(continuous)tesir kesiti verisini kullanır. Hesaplamalarda kullanılan nötron 

enerjisi 10

-11

MCNP aslında Monte Carlo grubu tarafından Los Alamos laboratuarında teorik fizik 



için 

genelleştirilmiş  40000  satır  fortran  ve  yorumlar  içeren  1000  satır  C  kaynak 

kodlayıcı  ve  programı  uygulayan  genel  bir  bloğa  sahiptir.  Bu  kod  1940  yıllarında 

nükleer savunma ve silahları için geliştirilmiş bir koddur. Buna rağmen kökleri eskiye 

dayanmaktadır (Comte de Buffon 1772),(1) 

 

MeV ‘den 25 MeV ‘e kadardır. 



2.Dünya Savaşı süresince Los Alamos’da Fermi ve seçkin bilim adamları katılarak, 

ilk atom bombasını geliştirmişlerdir.  MCNP4, 1990 yıllarında çıkarıldı ve bu kodun ilk 

Unix versiyonudur.  

Paralel bağlantılı bir grup bilimsel işlem merkezinin çalıştırılması için birden fazla 

görev fonksiyon özelliğine sahip işlemci üzerinde yeni foton programlarında, ENDF/B-

VI da, renkli windows grafiklerinde, dinamik hafıza ayrılmasında, periyodik sınırlarda, 

SABRINA yoluyla parçacık izlerinin çiziminde kullanılmaktadır..MCNP4A tekrarlanan 

yapılardaki  (nükleer reaktördeki maddenin geometrik düzen yapısı)  hesap  kayıtlarını 

geliştirmiştir.  

8. MCNP kodu veGeometri 

MCNP, materyallerin  üç boyutlu konfürasyonunun geometrik hücrelerinde 

gelişigüzel davranır. Bu kod genel amaçlı hücre ve yüzey bilgilerini kullanarak sistemin 

tasarımı  hakkında  geniş  bilgi  veren özel bir koddur. MCNP, kartezyen  koordinat 

sisteminde  ara  kesitlerle  şekillendirilen  hücrelerde  ve  yüzeylerle  sınırlanan  bölgelerin 

bileşenlerinde gelişigüzel davranır. MCNP kartezyen koordinat sisteminde arakesitlerle 



Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi 

555 


 

October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal 

 

şekillendirilen hücrelerde ve yüzeylerle sınırlanan bölgelerin bileşenlerinde gelişigüzel 

davranır. 

MCNP birinci ve ikinci derece yüzeyleri ve dördüncü derece eliptik torusu ele 

alır. 

Tekrarlı yapıların karışık geometrilerini tanımlamak için çok sayıda komutları (LAT ve 



TRCL)

vardır. MCNP geometrik hataları kontrol etmek için kullanıcıya yardım eden bir 

çizim programına da sahiptir. Her bir hücredeki materyal bileşeni izotopik bileşeniyle 

belirtilir (1,15). 

9. Uzantılar(tallies) 

Bir  MCNP  hesaplamasının  sonucu  birçok  modelleyiciden  gelen  çıktıların 

toplanmasıyla elde edilir. Sonuçlar akımlar, akılar, enerji oluşumu, dedektör verimi ve 

reaksiyon oranları olarak elde edilir. Bütün uzantılar kaynak parçacık başına normalize 

edilir.  

10. Hata tahmini ve varyasyon(uyuşmazlık)indirgemesi 

Bir modell

emenin istatistiksel analiz genişliği MCNP tarafından sağlanır. Her uzantı 

için on istatistik kontrol 

yapılır.  Hata  tahminleri  sadece  MCNP  hesaplamalarının 

kesinliğini  gösterir  fakat  doğru  fiziksel  değerlerle  karşılaştırılan  sonuçların  kesinliğini 

göstermez. 

İstatistiksel  hataları  indirgemek  (varyasyon)  ve  MCNP  kodunda  tamamlanan  bir 

hesabın verimliliğini geliştirmek için birçok ileri teknikler vardır. Bu teknikler parçacık 

tarihi prensipleri üzerine dayanır. 

11. Sonuçlar ve öneriler 

Monte Carlo Metodu, analitik yollarla çözülemeyen problemleri simulasyon 

yöntemiyle  “yaklaşık”  olarak  çözmemize  yarar.  Özellikle “çok zor” bir problemi, 

analitik yollarla çözebilmek için aşırı basitleştirmek yerine Monte Carlo metodları ile “ 

yaklaşık”  olarak  çözmek  daha  doğru  olacaktır.  Örnek olarak bir atom reaktörünün 

çevresine,  dışarıya  sızacak  radyasyonu  minimize  etmek  için  yapılacak  duvarın 

kalınlığının  hesaplanması  problemini  düşünelim.  Bu  problemi  analitik  yollardan 

çözemeyiz.  Problemin  zorluğu  reaktördeki  nötronların  kompleks hareketlerinden 

kaynaklanmaktadır. Oysa Monte Carlo metodları ile problemi nötronların hareketlerini 

basitleştirmeye  gerek  olmadan  “yaklaşık”  olarak  çözebiliriz.  Bu  yaklaşık  çözüm 

basitleştirilmiş analitik çözümden daha fazla, gerçeğe yakın sonuçlar verir. Bu problem 

gibi  “çok  zor”  problemlerde,  Monte  Carlo  metodları  kullanabileceğimiz  tek  tekniktir. 

MCNP  gibi  geniş  üretimli  kodlar  yalnız  yapıldıkları  yolla  değil,  fizik  bilgi  depoları 

olarak  da  bilimde  devrim  yapmışlardır.  MCNP 400 sene süreli bir çabayı  temsil 

etmektedir. 

MCNP deki bilgi ve uzmanlık inanılmaz boyuttadır. Mevcut MCNP gelişimi, kalite 

kontrol, dökümantasyon ve araştırma üzerindeki güçlü vurgu ile karakterize edilir. Yeni 

özellikler, bilgisayar sistemindeki yeni ilerlemeler, Monte Carlo metodundaki 

gelişmeleri  ve  daha  iyi  fizik  modellerini  yansıtmak  için  MCNP  ye  eklenmektedir. 

MCNP sürekli enerjisi, genelleştirilmiş geometrisi, ikili nötron, foton ve elektron çiftleri 

taşınımında kullanılan gururlu bir geçmiş ümit vaat edici bir geleceğe sahip koddur. 




556 

Aybaba 

HANÇERLİOĞULLARI 

 

Ekim 2006 Cil



t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 

 

Kaynaklar: 



1.

 

Briesmeister, J., “RSIC Computer Code Collection MCNP4A, Monte Carlo N-



Particle Transport Code System”, Los Alamos National Laboratory, New Mexiko, 

1993. 


2.

 

Johston, R., “A General Monte Carlo Neutronics Code”, LAMS-2856, Los alamos, 



1963. 

3.

 

Hançerlioğulları,  A.,  “APEX  Hibrid  Reaktör  Modellemesi  İçin  Monte  Carlo 

Yöntemi  Kullanılarak  Nötron  Transport  Hesaplamalarının  Yapılması”,  Doktora 

Tezi, Gazi Üniversitesi, Ankara, 2003. 

4.

 

Spanier,J.,” Monte Carlo Methods and their application to neutron transport 



problems”, USAEC report WAPPD-195,Bettis atomic power laboratory,july 1959 

5.

 



Şarer.,B,  Hançerlioğulları,  A.,Übeyli.,”Nükleer  hesaplamalarda  monte  carlo 

yönteminin kullanımı”,8.ulusal nükleer bilimler ve teknolojiler kongresi, Kayseri, 

Ekim 2003 

6.

 



Birger,J.,”Random number generators Victor petterson’s bokindustri 

aktiibolar”Stockholm,1966 

7.

 

Leimddorter,A.”On the Transformation of  the Transport Equation for Solving 



Deep Penetration Problems by the monte carlo metod,”Trans.Chalmers 

Univ.Technol.,Gothenbers.No:286,1964 

8.

 

Ürün.,G.,Menkinli  C.T.,”Applicatıons  of  monte  carlo  simulatıon  in  petroleum 



exploratıon and productıon as a method of rısk analysıs”TPJD bülteni,cilt 15,sayı 

1haziran,2003 

9.

 

Morton,K.W.,”On the tratment of monte carlo methods in 



textbooks.”Math.Tab.Aids Comput.10,223-224 

10.


 

Hammerssley,J.M.,”Monte Carlo Methods for solving multivariable 

problems.”Ann.Newyork Acad.Sci.86,844-874 

11.


 

Garber,D.,”ENDF/B-V,”Report BLN-17541(ENDF-201),Natinol Nuclear Data 

Center,Brookhaven National laboratory ,Upton,N.Y.,October 1975 

12.


 

Howerton,R.J.,Cullen,D.E.,Haight ,R.C,MacGregor,M.H.,”The LLL Evaluated 

Nuclear Data Library(ENDL):Evaluation techniques,Reaction Index,and 

Descriptions  of  ındividual  reactions,”Lawrence  Livermore  National  Laboraty 

report UCRL-50400,Vol.15,                           Part A,September 1975 

13.


 

Ulam,S.,Metropolis ,N.,”The Monte Carlo Method,”j.amer.Stat.assoc.,44,335,1949 

14.

 

Foster,D.G.,Artur,”Avarege Neutronic Properties of “Prompt” Fission Poducts,” 



Los Alamos National Laboraty Report LA-9168-MS,February 1982 

15.


 

Lux,.I.,Koblinger,L.”Monte Carlo Particle Transport Methods,Neutron and Photon 



Calculations ,CRC Pres,boc raton.,1991 

Document Outline

  • MONTE CARLO SİMÜLASYON METODU VE MCNP KOD SİSTEMİ
    • Özet
    • Abstract
    • 1. Giriş
    • 2. Monte Carlo Simülasyon Metodu
    • 3. Simülasyon Uygulama Alanları
    • 4. Simülasyonun Avantajları ve Dezavantajları
    • 5. Monte Carlo Metodunun Matematiksel Analizi
    • 6. Monte Carlo Metodunu Örneklenmesi:
      • Örnek 1 (gelişi güzel sayı ekseni):
      • Örnek 2  (Gelişi güzel sayı dağılmının     n(x)=xP2P  fonksiyouyla incelemesi):
      • Örnek 3( Tek boyuta sabit hızlı hareket):
      • Örnek -4 (Ortalama serbest yol):
      • Örnek 5 ( Buffon’un iğne problemi):
      • Örnek–6 (Bir nötronun birim uzunlukdaki madde içerisindeki hareketi)
    • 7. MCNP (Monte Carlo N – Parçacık Taşınım Kodu)
    • 8. MCNP kodu veGeometri
    • 9. Uzantılar(tallies)
    • 10. Hata tahmini ve varyasyon(uyuşmazlık)indirgemesi
    • 11. Sonuçlar ve öneriler
    • Kaynaklar:


Yüklə 227,88 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə