Ekim 2006 Cilt:14 No:2
Kastamonu Eğitim Dergisi 545-556
October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal
MONTE CARLO SİMÜLASYON METODU VE MCNP KOD
SİSTEMİ
Aybaba
HANÇERLİOĞULLARI
Özet
Kastamonu Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü, Kastamonu.
Monte Carlo
metodu, olaslık teorisi üzerine kurulu bir sistemdir. Monte Carlo metodunda
istatistiksel ve
matematiksel tekniklerle bir deneyi veya çözülmesi gereken bir fiziksel olayı
tesadüfi sayıları defalarca kullanarak simülasyon edilip çözmek esastır.(1)Günümüzde bu metot,
fizik ve matematik problemlerinin çözümünde MCNP(Monte Carlo N –
Parçacık Taşınım )
kodunu kullanarak nükleer transport hesaplamalarda iyi sonuçlar vermektedir (2,3).
Anahtar Kelimeler: Monte Carlo metodu, simülasyon
MONTE CARLO SIMULATION METHOD AND MCNP CODE
SYSTEM
Abstract
The Method of Monte Carlo is a system which is based upon the theory of possibility. What is
fundamental in this method is to clarify a physics incident or experiment which has to be
explained with statistical and mathematical techniques by using random numbers constantly in
order to simulate.(1) Nowadays, this method is so perfect in solving physical or mathematical
problems and in nuclear transport calculations by using MCNP (Monte Carlo N-
partıcal
transport) code (2,3.)
Keywords: The Method of Monte Carlo, simulation
1. Giriş
Günümüzde endüstriyel problemlerin doğasındaki karmaşıklık ve sürekli yeni teknik
yöntemlerin kullanılması maalesef pek çok analitik çözümü olanak dışı bırakmaktadır.
Problemlerin yapısı değişen teknolojiyle birlikte karmaşık bir hale gelmekte ve
bütünleşik sistemlerin sayısı hızla artmaktadır. Analitik yaklaşımların aksine
simülasyon modelleri, karmaşık problemlerin modellenmesi ve çözümünde daha
başarılı olurlar. Değişkenler arasındaki etkileşimi simülasyon modellerinde
gözlemlemek daha kolaydır. Ancak yoğun bilgisayar kullanımını gerektirir
Gerçek sistemden toplanan bilgiler, bilgisayarda geliştirilen modellere uygulanarak,
sayısal bir takım sonuçlara ulaşmak hedeflenir. Bunların değerlendirilmesi ve
sonuçlarına ulaşılması sistem performans ölçütlerinin birtakım tahminleridir.
Simülasyon mode
lleri aracılığı ile en kötü durum senaryoları da incelenebilir.
Simülasyon tekniğinin Monte Carlo tekniği olarak adlandırılması Von Neumann ve
Ulam bilim adamları tarafından yapılmış olup ilk uygulamalarını nötron yayılımı
problemlerinde bu yöntemi kullanm
ışlardır (13). Monte Carlo metodu nötron difüzyon
problemlerinden bir istatistiksel metod ortaya koyar.
Monte Carlo tekniği, özel bir
denemede ya da bir simülasyon çalışmasında bir ya da daha çok olasılık dağılımından
546
Aybaba
HANÇERLİOĞULLARI
Ekim 2006 Cil
t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi
rastgele sayılar seçme tekniğidir. Hesaplamalarda, fiziksel sistemi tanımlayan olasılık
yoğunluk fonksiyonlarından rastgele seçilmiş sayılarla gerçekleştirilir (4).
İstatistik ve belirleyici kodlar arasındaki en önemli fark, istatistik kodda parçacığın
davranışının yaklaşık bir değerini oluştururken, bununla birlikte belirleyici kod da
parçacığın davranışı için transport denklemlerini çözer (5,6).
2. Monte Carlo Simülasyon Metodu
Monte Carlo yöntemi, deneysel ve istatistiksel problemlerinin çözümüne rastgele
sayılarla yaklaşımlara verilen genel bir isimdir. Bu yöntem, özellikle 1930’lardan sonra hızla
gelişmeye başlamış bir tekniktir. Los Alamos laboratuarlarında nükleer silah geliştirilmesi
projesinde çalışan bilim adamları tarafından ilk kez ortaya atılmıştır. Bu metodlar olasılık
teorisine tabidir. Metodun
bir probleme uygulanması, problemin tesadüfi sayıları kullanarak
simülasyon edilip hesap edilmek istenen parametrenin bu simülasyonlarının sonuçlarına
bakılarak yaklaşık hesaplanması fikrine dayanır. Metot da basit sayısal integral hesaplama
yöntemlerinden, günümüz istatistik teorisinin yoğun hesaplama gerektiren Bayes çıkarsama
yöntemlerini pratik ve rutin olarak uygulanabilir hale getiren modern simülasyon tekniklere
ulaşan bir gelişim izlemişlerdir.(7,8) Simülasyon kelimesinin modern anlamda kullanılışı
1940 yılı sonlarında John Von Neumann ve Stanislaw Ulam ‘ın çalışmalarına Monte Carlo
Simülasyonu adını vermeleri ile başlar(13).Monte Carlo simülasyonu, duyarlılık metodu,
momentler metodu ve tam cebirsel çözümleme gibi risk analizi yöntemlerinden birisidir.
Sonuçları diğer yöntemlerle karşılaştırıldığında, riski daha iyi temsil etmesi nedeniyle
mühendislik, eğitimde ölçme ve değerlendirme, askeri savunma teknolojisi, fen ve
mühendislik
alanında, nükleer teknolojisi ve uzay sisteminde, istatiksel analiz ve
sosyoekonomik sahalarında sıkça başvurulan bir yöntemdir(15).
Genel anlamda simülasyon, gerçeğin temsil edilmesi şeklinde tanımlanabilir.
Simülasyon’un Amaçı, bir gerçek hayat sistemini girdi ve çıktılarıyla matematiksel
olarak ifade etm
ek gerçek sistemi kurulan model üzerinden tanıyıp araştırmak, değişik
kararları ve seçenekleri gerçek sistemde hiçbir değişiklik yapmadan deneyebilmetir. Bu
teknik sayesinde analitik işlemleri çok karışık ve deneysel işlemleri de çok pahalı olan
nükleer sa
vunma problemleri başarı ile çözülmüştür.1950 yılı başlarında sayısal
bilgisayarların gelişimi ile simülasyon kelimesi başka anlamlar da kazanmıştır. Bu
sayede sosyal bilimciler de fizik kimyacılar gibi laboratuar deneyimlerine benzer
deneyleri bilgisayard
a gerçekleştirme olanağı bulmuştur. Josep H.Mice simülasyonu, bir
sistemin kendisi üzerinde doğrudan denemeler yapmak veya bu sistem ile ilgili bir
problemin analitik çözümünü bulmak yerine sistemin modelini kurup denemelere
girişme anlamında kullanılmıştır.(14)
Monte Carlo tekniği, özel bir denemede ya da bir simülasyon çalışmasında bir ya da
daha çok olasılık dağılımından rasgele sayılar seçme tekniğidir. Yöntem daha sonra
çoklu integral değerlendirme problemleri gibi oldukça karmaşık olmayan problemlerin
çözümüne kolaylıkla adapte edilmiştir. Bazı bilimciler yöntemin sadece varyans azaltma
tekniklerinin örnekleme işlemlerinde kullanılması şeklinde sınıflandırılmasını
önermişlerdir. Buna rağmen yöntemin bugünkü kullanımı, genellikle olasılık
dağılımlarından rasgele değerlerin seçimi şeklindedir.
Geçmiş uygulamalarda şans oyunları bir simülasyon tekniği olarak adlandırılmış
olmasına rağmen aralarında belirgin farklılıklar olduğu kesindir. Şans oyunu, oyuncuların
Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi
547
October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal
faaliyetlerinin bir sonucu olarak bir modelin
davranışını gözlemek ve karar vermek için
bir oyun modelinin kullanılmasıdır
Monte-
Carlo, şans oyunları ve model örneklemesi yöntemlerini içermektedir.
Simülasyon tekniklerinin en büyük dezavantajı, Monte-Carlo , şans oyunları ve model
örneklemesinde var o
lan düzgün bir terminolojiden yoksun olmasıdır. Buna karşılık
uygulanabilir oldukları durumlarda, bir mühendis, bir ekonomist, bir yöneylem
araştırmacısı veya bir işletme analisti görevini kolaylıkla üstlenebilir. Herhangi bir amaç
için geliştirilen ve çalıştırılan bir simülasyon modeli kontrol edebilir koşullar altında
sistemin dinamik davranışlarının kontrol altına alınmasına imkan sağlar. Daha güzel bir
ifade ile, simülasyon teknikleri, ilgili problemlerinin analizinde bir laboratuvar
hizmetini üstlenir.
Simülasyonun ilk kullanımları, Joseph H. Mice ve Morgenthaler’in
tanımlarına uygun olarak, mühendislik ve bilimsel çalışmalarda oldukça yaygın bir
şekilde kullanılmıştır. Literatürde, bu tür simülasyon modellerine Analog Simülasyon
modelleri adı verilmektedir. Analog model, bir özelliğin benzeyen bir başka özellikle
simgelendiği modellerdir. Bu tanıma göre analog simülasyonlar, kesin olarak kendisine
benzeyen diğer bir sitemi temsil etmek için fiziksel bir sistemi kullanan simülasyonlardır.
Ekonomide, işletmelerde ve diğer sosyal bilimlerde kullanılan simülasyon teknikleri,
dinamik bir süreci temsil eden sayısal bir model üzerinde denemeler yapmayı içerir.
sistemin
Değişkenler arasındaki etkileşimi simülasyon modellerinde gözlemek daha
kolaydır. Ancak yoğun bilgisayar kullanımını gerektirir. Gerçek sistemden toplanan
bilgiler, bilgisayarda geliştirilen modellere uygulanarak sayısal birtakım sonuçlara
ulaşmak hedeflenir. Bunların değerlendirilmesi ve yorumlanması yapılarak sistem
performans ölçütlerine ait bi
rtakım tahminlerde bulunulur. Simülasyon modelleri
aracılığı ile en kötü durum senaryoları da incelenebilir. Simülasyon modeli, sadece
matematik denklemlerine değil, denemelere dayanır ve model optimum sonuçlar ortaya
çıkarmaz fakat simülasyon modelleri yardımı ile alternatif çözümler ortaya konarak,
optimum sonuca en yakın çözüm seçilir (14).
3. Simülasyon Uygulama Alanları
Simülasyonun kullanıldığı bazı uygulama alanları şu şekilde sıralanabilir
a)
Üretim/imalat sistemlerinin tasarım ve analizi
b) Montaj
hattı dengeleme
c)
İşgücü planlaması
d)
Malzeme taşıma sistemleri
e)
Yeni askeri silah ve sistem taktiklerinin saptanması
f)
Bir envanter sistemindeki sipariş planlarının incelenmesi
g)
İletişim sistemlerinin ve bunlar için gerekli mesaj protokollerinin tasarımı
h)
Otoyollar, havaalanları, metrolar ve limanların tasarım ve işletimi
i) Ambulans bulundurma
noktalarının ve buralardaki araç sayılarının saptanması
j)
Yangın söndürme istasyonlarının yerlerinin ve buralarda bulundurulması gerekli
k) minimum a
raç sayılarının saptanması
l) Finansal veya ekonomik sistemlerin analizi
m)
Dağıtım kanallarının tasarımı
n)
Bir bilgisayar sisteminin donanım ve yazılım gereksinimlerinin belirlenmesi
o)
İşletme yöneticilerinin eğitilmesi(işletme oyunları/firma benzetimi)
548
Aybaba
HANÇERLİOĞULLARI
Ekim 2006 Cil
t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi
p)
Alınacak riskleri minimize etmek için uzay uçuşları denemeleri
r) Tamir-
bakım sistemleri
4. Simülasyonun Avantajları ve Dezavantajları
a)
Simülasyonun Avantajları
1- Simülasyon esnek bir çözüm yöntemidir.
2-
Diğer modellere kıyasla anlaşılması daha kolaydır.
3-
Aşamalı olarak uygulayabilme imkanı vardır.
4-
Klasik çözüm yöntemlerinin kullanılamadığı büyük karmaşık problemlerin
çözümüde oldukça etkilidir.
5-
Bir başka yöntemde incelenmesi olanaksız olan koşullar ve kısıtlar
simülasyon ile rahatça modellenebilir.
6-
Sonuçları ancak aylar, yıllar sonra alınabilecek durumlarda simülasyon ile
çok kısa sürede analiz edilebilir.
7-
Simülasyon, modellenen sistemi değiştirmeden yeni fikir ve politikaların
model üzerinde rahatça uygulamasına olanak verir.
8- Kull
anıcı simülasyonu istenen zamanda durdurup yeniden başlatabildiğinden
deney koşullar üzerinde tam bir kontrole sahiptir.
b)
Simülasyonun Dezavantajları
1-
İyi bir simülasyon modelini geliştirmek vakit alıcı ve pahalıdır.
2- Optimum çözüm üretme garantisi yoktur. Bir
çeşit deneme- yanılma
yöntemidir.
3- Her simulasyon modeli kendine özgüdür.
4-
Uygulamasındaki kolaylıklar dolayısıyla analitik çözümlerin göz ardı
edilmesine neden olabilir.
5-
Modelleme de ve bulguların analizinde yapılacak hatalar, yanlış sonuçlara
yol açabilir.
5. Monte Carlo Metodunun Matematiksel Analizi
Monte carlo metodunda sayısal olarak bir deneyi veya olayı taklit etmek için temel
araç 0-
1 arasında değerler alan düzgün dağılımlı sayıları kullanmaktır. Bu sayıları q ile
gösterelim. Bu
sayılar bir bilgisayar programı ile türetilebilir. Belli bir ölçü veya
deneyde bulunabilecek değerler kümesi bir gelişigüzel sayı kümesi oluşturur.
Gelişigüzel sayılar kümesinde herhangi bir sayının gelme olasılığı ötekilerden farklı
olabilir. Olasılıklar aynı ise böyle bir kümeye düzgün dağılımlı gelişigüzel sayılar
kümesi denir.(10) Gelişigüzel Sayılar her bir rakamı aynı olasılıkla seçilmiş ve
birbirinden bağımsız sayılardan oluşmuş bir kümenin elemanlarıdır. Monte Carlo
Metodunda çok sayıda gelişigüzel sayı gerektiğinden bu sayılar bilgisayarda üretilir.
Bilgisayarda tümüyle belirli bir yönteme göre ardı ardına oluşturulan bu sayılar gerçekte
gelişigüzel olmamakla birlikte gelişigüzel sayıların istatistiksel özelliklerini içerirler.
Bu formülden elde e
dilen gelişigüzel sayı dizisine, “sözde gelişigüzel sayılar” denir
Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi
549
October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal
Şekil1de q gelişi güzel sayılar karşın, bu sayıların N(q), sıklık(frekens) dağılımı
görülmektedir.
Şekil-1 Gelişi güzel saylıarın frekansa bağlı grafiği
Gelişigüzel Sayılar ‘Mixed congruential method’ formülden elde edilebilir;
i
i
i
i
i
i
br
ax
X
br
ax
tamsay
ı
P
−
=
×
=
+1
)
(
b
x
q
i
i
1
+
=
Bu yöntemin algoritması;
1
−
=
i
i
ax
x
(Mod m) matematiksel bağıntıyla
gösterilebilir.Burada
i
x
,pozitif tam sayı dizisi olup başlangıç değeri
0
x
dır. ave b ise
pozitif bir tam saylardır. Bu sayılardan daha büyük başka bir pozitif tamsayı ise m
dir.
i
x
pozitif tamsayılar dizisi ,
a
x
i 1
−
ile çarpılıp çıkan sayının m’ye göre modu
hesaplanarak elde edilir (1,4).
)
)(mod
(
1
m
c
ax
x
i
i
+
=
−
‘Mixed congruential method’ adı verilen yöntemde başlangıç değeri olarak x pozitif
bir tamsayı alınır. Üretilen sayı dizisinin her sayısı m’ye bölünerek 0-1 aralığındaki
sayılardan o yeni bir dizi elde edilir. a ve c iki tam sayı m’de bu sayıların ikisinden de
büyük bir tamsayıdır. a, b,c, m ve
0
x
’ın farklı değerleriyle üretilen diziler
gelişigüzeldir ve bir
i
x
dizisi,
0
x
, a, c, m ile tümüyle belirlenir. Dizinin en çok m adet
farklı sayıdan oluştuğu ve sonuçta kendisini tekrarlıyacağı açık olmakla birlikte periyot,
m
,a ve c’nin uygun değerleri seçilerek mümkün olduğunca büyütülebilir.(9)
Şimdi de, a ≤ x ≤ b aralığında, her bir x sonucunun ortaya çıkma olasılığı, f (x)
sıklık fonksiyonu ile belirlenen bir olayı taklit etmek isteyelim. Olayda sonucun x ile
x+
dx arasında bir değer alma olasılığı,
P(x) dx =
dx
x
f
)
(
⁄
∫
b
a
dx
x
f
)
(
........................ (I)
Burada,
P(x) fonksiyonuna Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu adı verilir.
550
Aybaba
HANÇERLİOĞULLARI
Ekim 2006 Cil
t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi
Q(x),
Toplam Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ise,
Qx) =
∫
p(x’) dx. ........................................... (II)
şeklinde tanımlanır.
a
≤
x
≤
b aralığındaki her x değerine karşılık Q(x), toplam olasılık yoğunluk
fonksiyonu 0-
1 aralığında gelişigüzel değerler alır. Q(x) değerlerinin ortaya çıkma
sayısı yani sıklık fonksiyonu düzgün bir dağılım gösterir. O halde P(x)’i T ye
eşitleyebiliriz,
T = Q(x) (III)
I, II, III denklemlerini kullanarak Temel Monte Carlo ilkesinine
ulaşabiliriz.
T=
∫
x
a
dx
x
f
)
'
(
’
∕
∫
b
a
dx
x
f
)
(
.......................... (IV)
elde edilir
Denklem IV
Temel Monte Carlo İlkesi olarak bilinir. Denklem IV den X tersine
çözülürse T’ye
bağlı olarak,
X = P
1
−
(T) ................................................ (V)
t
ers dönüşüm denklemi elde edilir.
6. Monte Carlo Metodunu Örneklenmesi:
Monte carlo metodunun daha iyi anlaşılır olması açısından birkaç tane bilimsel
örneklemeye gidelim,
Örnek 1
(gelişi güzel sayı ekseni):
Yapılan bilimsel bir deney çalışmasında, n-tane sonuç olsun ve sonuçların her
birinin meydana gelme
olasılıkları sırasıyla
n
P
P
P
.
,.........
,
2
1
değerlerini alsın, Bu
olayı 0-1 arasında değerler alan gelişigüzel sayılarla taklit etmek istersek, gelişigüzel
sayı eksenini şekil-2 deki gibi n tane bölgeye ayırıp, tek boyuta gelişi güzel sayı
ekseninde gösterebiliriz.
Şekil 2. Gelişigüzel sayı eksenine n-tane sonuç bölgesinin yerleştirilmesi
Gelişigüzel sayıların
1
P
olasılıkla belirlenen miktarını 1.sonuç
2
P
olasılıkla
belirlenen miktarını 2.sonuç ,
n
P
olasılıkla belirlenen miktarını da n.sonuç için ayırmış
olduk. Böylece
belirtilen bir gelişigüzel sayı hangi sonuç bölgesine düşerse, olayda o
sonuç meydana gelmiştir. Bu durumda olasılık dağılımı aşağıdaki matematiksel ifadeyle
ibaret olur.
Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi
551
October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal
0
1
P
ise 1.sonuç
2
1
1
P
P
q
P
+
<
≤
ise 2.sonuç
1
.......
1
2
1
<
≤
+
+
−
q
P
P
P
n
ise n.sonuç
Örnek 2
(Gelişi güzel sayı dağılmının n(x)=x
2
n(x)=x
fonksiyouyla incelemesi):
2
şeklinde dağılım gösteren bir deneyi örnekleyelim. Şekil 3’de n(x)=x
2
dağılımı görülmektedir
Şekil 3. n (x) = x
2
Tek boyuta pozitif X eksenini X
’
nin gelişi güzel sayı durumu
0
’a kadar X
1
=
0
1
X
N
,
0
2
2
X
N
X
=
,...X
N
= X
0
şeklinde
N eşit kutuya ayıralım. 0’dan X
0
’a kadar eğrinin altında kalan alan A, 0’dan i. kutuya kadar
ki eğrinin altında kalan alan da A
i
olsun.(i=1,2,.....N)olan pozitif tam sayılardır.
Türetilen bir gelişigüzel sayının i. alana düşme olasılığı, Pi
∫
∫
=
=
0
0
X
i
i
i
ndx
ndx
A
A
P
bu olasılığı q
i
ile temsil edebiliriz.
Dolayısıyla, integrelde n(x) gördüğümüz yere x
2
yazıp,x ‘e göre çözersek
∫
∫
=
0
0
)
(
)
(
X
i
i
dx
x
n
dx
x
n
q
veya
3
0
3
3
0
3
0
2
2
3
3
0
X
X
X
X
dx
X
dx
X
q
X
X
i
′
=
′
=
=
∫
∫
′
yazabiliriz.
X
X
→
′
alırsak,
552
Aybaba
HANÇERLİOĞULLARI
Ekim 2006 Cil
t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi
q=
3
0
3
0
3
q
X
X
X
X
′
=
⇒
elde edilir. Böylelikle X ile X
0
arasındaki matematiksel bağıntı bulunmuş olur. İşte bu
esasa dayanarak dağılımı, integrali alınabilen fonksiyon şeklindeki tüm deneyleri
gelişigüzel sayılarla daha çok örnekleyebiliriz.
Örnek
3( Tek boyuta sabit hızlı hareket):
Yapılan bir fiziksel olayı 0-1 değerler arasında gelişi güzel sayı değerleri metoduyla
hareket problemine
uygulayalım, doğrusal bir yol boyunca sabit bir hızla hareket eden
bir deney aracının yerdeğiştirmesi sonuçları 0 ile X
0
arasında değerler alsın. Bu istatiki
sonuçları, X
0
’a kadar eşit kutulara ayırıp, dağılımı X(t)=V
0
0
tq matematiksel bağıntısı
ile ifade edebiliriz.burada q ,0 dan itibaren pozitif gerçek sayılardır. Matematiksel ifade
şekil 4 deki grafikte görüldüğü gibi X in her değerinde n sabit kalmaktadır . q sayıları
kümesi ile X sayıları kümesi düzgün dağılımlı oldukları için q’ları kullanarak
V=V
bağıntısını kolayca taklit edebildik Bu şekilde çok sayıda gelişigüzel q sayısı
türeterek her bir kutunun gelme sayısını bulabiliriz.
Şekil 4. X sayılar kümesinin V ile değişimi
Örnek -4 (Ortalama serbest yol):
I
0
şiddetinde belli bir enerji ile bir ortama giren
γ
-
ışınlarının şiddeti I= I
0
e
x
µ
−
şeklinde matematiksel olarak ifade edilir. Burada x,
γ
-
ışınının ortamda etkileşme
yapmadan önce aldığı serbest yoldur.Bu deneyi gelişi güzel sayılar metoduyla
örnekleyelim, x’e bağlı f(x) fonksiyonu şöyle olsun,0-1 arasında değişen q gelişi güzel
sayılar kümesi olacak şekilde,
F (x) =
∫ I dx = ∫ I
0
e
x
µ
−
dx =
µ
0
I
−
e
x
µ
−
............... (I)
F(x) = Nq olsun ve N ,Normalizasyon katsayısıdır.Buradan ters dönüşüm işlemi x
= F
1
−
(Nq ) elde edilir. x’i çözersek,
Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi
553
October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal
Nq = -
µ
0
I
e
x
µ
−
⇒
-
0
I
µ
Nq = e
x
µ
−
x = -In ( -
0
I
µ
Nq ) /
µ ................................................. (II)
q = 1 için x = 0q = 0 için x =
∞
olacak şekilde sınırlamızı seçelim, II denklemden
-
0
I
µ
N = 1 ile olacağı açıktır. öyleyse,
x = -Inq /
µ ------------ -----(III)
elde edilir.
(3) eşitliği (1) eşitliğinden farklı değildir. Bu iki eşitliği tekrar yazalım,
q = 1 için x =
∞
q = 1 için x=0
⇒
x = - Inq /
µ ......................................... (IV)
q = 0 için x =
∞
⇒
x = -In (1-q)/
µ ........................................ (V)
q = 0 için x = 0
IV yada V bağıntılarından herhangi birini kullanıp ortalama serbest yolu bulmuş
oluruz.
Örnek
5 ( Buffon’un iğne problemi):
Monte Carlo metodlarının temel fikrinin tarihte ilk defa bu problemle ortaya çıktığı
söylenir. 1777 yılında G.Comte de Buffon şu problemi incelemiştir. Yatay bir düzlem
üzerine d aralıklarla paralel doğrular çizerek L boyundaki bir iğneyi bu düzlem üzerine
gelişigüzel bırakmıştır.
Düzlem üzerine bırakılan bu iğnenin doğrulardan biri ile kesişme olasılığını analitik
yollardan çözerek p = 2L/
π
d olarak
hesaplamıştır. Burada p, kesişme olasılığıdır.
Yine başka bir iğne deneyinde düzlem üzerindeki doğruların herhangi birisi ile
kesişme olasılığını hesaplalarsak bu deneyi N defa tekrarlayıp, iğnenin kaç defa
düzlemde
ki doğrulardan birisi ile kesiştiğini sayabiliriz. Kesişme sayısına n dersek, n/N
oranının gerçek sonuç olan p kesişme olasılığı sayısına yakın olduğunu bulabiliriz. N
sayısı büyüdükçe n/N oranı p ye yaklaşmıştır. G.Comte de Buffonun bu deneyde
farkettiği olgu, 20.yüzyılda olasılık teorisinde önemli bir katkı sağlanmıştır.
Örnek–6 (Bir nötronun birim uzunlukdaki madde içerisindeki hareketi)
Problem, bir nötronun ortalama kaç harekette bu maddenin
dışına çıkacağını
hesaplamaktır. Bu problemi Monte Carlo teknikleriyle çözmek için bir tesadüfü sayı
kaynağına ihtiyacımız var. Bu sayıları, nötronun hareketlerini simule etmek için
kullanacağız. Bunun için, bir birim uzunluğundaki maddeye nükleer bir kaynaktan
nötron sol yüzeyden girsin ve sadece ileri(solda
n sağa doğru) hareket ettiğini, her
harekette aldıkları mesafenin 0 ile 1 arasında değişen gelişi güzel tesadüfi (random) bir
uzunluk olduğunu varsayalım
554
Aybaba
HANÇERLİOĞULLARI
Ekim 2006 Cil
t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi
Sonuç olarak, nötronun maddenin dışına çıkması için e defa hareket etmesi gerekir.
(e
≈ 2.71828 ) ,
u
1
=0.23,
u
2
=0.71 ve
u
3
=0.62
ürettiğimiz ilk 3 tesadüfü sayı 0 ile 1 arasında olsun. ,eğer nötronu simule etmek için bu
sayıları kullanıyorsak, nötron birinci harekette 0.23 birim mesafe, ikinci harekette 0.71
birim mesafe gidecek.Yani iki hareketin sonunda nötron toplam 0.23 +0.71=0.94
birim mesafe gitmiş olacak.Maddenin kalınlığı 1 birim olduğu için nötron henüz
maddenin dışına çıkmış değil.Dolayısıyla nötronun bir hareket daha yapması
ger
ekiyor.Üçüncü harekette aldığı mesafe , üçüncü tesadüfi sayı olan 0.62 olduğu için,
bu hareketin sonunda toplam gidilen mesafe 0.23+0.71+0.62 =1.56
>1.Yani üçüncü
hareketin sonunda nötron maddeyi terk eder.Böylece bir nötronun, maddeyi terk edene
kadar yapt
ığı hareketleri, tesadüfi sayıları sayesinde simüle etmiş olduk. Bunun gibi N
tane nötronu, farklı tekrarlanabilen tesadüfi sayılar kullanarak simule edebiliriz.
7. MCNP (Monte Carlo N – Parçacık Taşınım Kodu)
MCNP kodunda amaç, nükleer enerji ve atomik
bilgi hazinesini kullanmaktadır.
MCNP nötron, foton
ve elektronların zamana bağlı sürekli enerji geçişini(transport) üç
boyutlu geometride çözen genel bir koddur. MCNP kodunda hem sabit kaynak hem de
kritik altı problemleri çözebilir. MCNP, Monte Carlo simulasyonu ve bir takım
modelleri içeren, nükleer özellikleri olan fizik ve matematik konularını içeren bir
koddur. MCNP kodu karmaşık parçacık geçişini modellemede oldukça iyi uygulanır
çünkü sürekli(continuous)tesir kesiti verisini kullanır. Hesaplamalarda kullanılan nötron
enerjisi 10
-11
MCNP aslında Monte Carlo grubu tarafından Los Alamos laboratuarında teorik fizik
için
genelleştirilmiş 40000 satır fortran ve yorumlar içeren 1000 satır C kaynak
kodlayıcı ve programı uygulayan genel bir bloğa sahiptir. Bu kod 1940 yıllarında
nükleer savunma ve silahları için geliştirilmiş bir koddur. Buna rağmen kökleri eskiye
dayanmaktadır (Comte de Buffon 1772),(1)
MeV ‘den 25 MeV ‘e kadardır.
2.Dünya Savaşı süresince Los Alamos’da Fermi ve seçkin bilim adamları katılarak,
ilk atom bombasını geliştirmişlerdir. MCNP4, 1990 yıllarında çıkarıldı ve bu kodun ilk
Unix versiyonudur.
Paralel bağlantılı bir grup bilimsel işlem merkezinin çalıştırılması için birden fazla
görev fonksiyon özelliğine sahip işlemci üzerinde yeni foton programlarında, ENDF/B-
VI da, renkli windows grafiklerinde, dinamik hafıza ayrılmasında, periyodik sınırlarda,
SABRINA yoluyla parçacık izlerinin çiziminde kullanılmaktadır..MCNP4A tekrarlanan
yapılardaki (nükleer reaktördeki maddenin geometrik düzen yapısı) hesap kayıtlarını
geliştirmiştir.
8. MCNP kodu veGeometri
MCNP, materyallerin üç boyutlu konfürasyonunun geometrik hücrelerinde
gelişigüzel davranır. Bu kod genel amaçlı hücre ve yüzey bilgilerini kullanarak sistemin
tasarımı hakkında geniş bilgi veren özel bir koddur. MCNP, kartezyen koordinat
sisteminde ara kesitlerle şekillendirilen hücrelerde ve yüzeylerle sınırlanan bölgelerin
bileşenlerinde gelişigüzel davranır. MCNP kartezyen koordinat sisteminde arakesitlerle
Monte Carlo Simülasyon Metodu ve MCNP Kod Sistemi
555
October 2006 Vol:14 No:2 Kastamonu Education Journal
şekillendirilen hücrelerde ve yüzeylerle sınırlanan bölgelerin bileşenlerinde gelişigüzel
davranır.
MCNP birinci ve ikinci derece yüzeyleri ve dördüncü derece eliptik torusu ele
alır.
Tekrarlı yapıların karışık geometrilerini tanımlamak için çok sayıda komutları (LAT ve
TRCL)
vardır. MCNP geometrik hataları kontrol etmek için kullanıcıya yardım eden bir
çizim programına da sahiptir. Her bir hücredeki materyal bileşeni izotopik bileşeniyle
belirtilir (1,15).
9. Uzantılar(tallies)
Bir MCNP hesaplamasının sonucu birçok modelleyiciden gelen çıktıların
toplanmasıyla elde edilir. Sonuçlar akımlar, akılar, enerji oluşumu, dedektör verimi ve
reaksiyon oranları olarak elde edilir. Bütün uzantılar kaynak parçacık başına normalize
edilir.
10. Hata tahmini ve varyasyon(uyuşmazlık)indirgemesi
Bir modell
emenin istatistiksel analiz genişliği MCNP tarafından sağlanır. Her uzantı
için on istatistik kontrol
yapılır. Hata tahminleri sadece MCNP hesaplamalarının
kesinliğini gösterir fakat doğru fiziksel değerlerle karşılaştırılan sonuçların kesinliğini
göstermez.
İstatistiksel hataları indirgemek (varyasyon) ve MCNP kodunda tamamlanan bir
hesabın verimliliğini geliştirmek için birçok ileri teknikler vardır. Bu teknikler parçacık
tarihi prensipleri üzerine dayanır.
11. Sonuçlar ve öneriler
Monte Carlo Metodu, analitik yollarla çözülemeyen problemleri simulasyon
yöntemiyle “yaklaşık” olarak çözmemize yarar. Özellikle “çok zor” bir problemi,
analitik yollarla çözebilmek için aşırı basitleştirmek yerine Monte Carlo metodları ile “
yaklaşık” olarak çözmek daha doğru olacaktır. Örnek olarak bir atom reaktörünün
çevresine, dışarıya sızacak radyasyonu minimize etmek için yapılacak duvarın
kalınlığının hesaplanması problemini düşünelim. Bu problemi analitik yollardan
çözemeyiz. Problemin zorluğu reaktördeki nötronların kompleks hareketlerinden
kaynaklanmaktadır. Oysa Monte Carlo metodları ile problemi nötronların hareketlerini
basitleştirmeye gerek olmadan “yaklaşık” olarak çözebiliriz. Bu yaklaşık çözüm
basitleştirilmiş analitik çözümden daha fazla, gerçeğe yakın sonuçlar verir. Bu problem
gibi “çok zor” problemlerde, Monte Carlo metodları kullanabileceğimiz tek tekniktir.
MCNP gibi geniş üretimli kodlar yalnız yapıldıkları yolla değil, fizik bilgi depoları
olarak da bilimde devrim yapmışlardır. MCNP 400 sene süreli bir çabayı temsil
etmektedir.
MCNP deki bilgi ve uzmanlık inanılmaz boyuttadır. Mevcut MCNP gelişimi, kalite
kontrol, dökümantasyon ve araştırma üzerindeki güçlü vurgu ile karakterize edilir. Yeni
özellikler, bilgisayar sistemindeki yeni ilerlemeler, Monte Carlo metodundaki
gelişmeleri ve daha iyi fizik modellerini yansıtmak için MCNP ye eklenmektedir.
MCNP sürekli enerjisi, genelleştirilmiş geometrisi, ikili nötron, foton ve elektron çiftleri
taşınımında kullanılan gururlu bir geçmiş ümit vaat edici bir geleceğe sahip koddur.
556
Aybaba
HANÇERLİOĞULLARI
Ekim 2006 Cil
t:14 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi
Kaynaklar:
1.
Briesmeister, J., “RSIC Computer Code Collection MCNP4A, Monte Carlo N-
Particle Transport Code System”, Los Alamos National Laboratory, New Mexiko,
1993.
2.
Johston, R., “A General Monte Carlo Neutronics Code”, LAMS-2856, Los alamos,
1963.
3.
Hançerlioğulları, A., “APEX Hibrid Reaktör Modellemesi İçin Monte Carlo
Yöntemi Kullanılarak Nötron Transport Hesaplamalarının Yapılması”, Doktora
Tezi, Gazi Üniversitesi, Ankara, 2003.
4.
Spanier,J.,” Monte Carlo Methods and their application to neutron transport
problems”, USAEC report WAPPD-195,Bettis atomic power laboratory,july 1959
5.
Şarer.,B, Hançerlioğulları, A.,Übeyli.,”Nükleer hesaplamalarda monte carlo
yönteminin kullanımı”,8.ulusal nükleer bilimler ve teknolojiler kongresi, Kayseri,
Ekim 2003
6.
Birger,J.,”Random number generators Victor petterson’s bokindustri
aktiibolar”Stockholm,1966
7.
Leimddorter,A.”On the Transformation of the Transport Equation for Solving
Deep Penetration Problems by the monte carlo metod,”Trans.Chalmers
Univ.Technol.,Gothenbers.No:286,1964
8.
Ürün.,G.,Menkinli C.T.,”Applicatıons of monte carlo simulatıon in petroleum
exploratıon and productıon as a method of rısk analysıs”TPJD bülteni,cilt 15,sayı
1haziran,2003
9.
Morton,K.W.,”On the tratment of monte carlo methods in
textbooks.”Math.Tab.Aids Comput.10,223-224
10.
Hammerssley,J.M.,”Monte Carlo Methods for solving multivariable
problems.”Ann.Newyork Acad.Sci.86,844-874
11.
Garber,D.,”ENDF/B-V,”Report BLN-17541(ENDF-201),Natinol Nuclear Data
Center,Brookhaven National laboratory ,Upton,N.Y.,October 1975
12.
Howerton,R.J.,Cullen,D.E.,Haight ,R.C,MacGregor,M.H.,”The LLL Evaluated
Nuclear Data Library(ENDL):Evaluation techniques,Reaction Index,and
Descriptions of ındividual reactions,”Lawrence Livermore National Laboraty
report UCRL-50400,Vol.15, Part A,September 1975
13.
Ulam,S.,Metropolis ,N.,”The Monte Carlo Method,”j.amer.Stat.assoc.,44,335,1949
14.
Foster,D.G.,Artur,”Avarege Neutronic Properties of “Prompt” Fission Poducts,”
Los Alamos National Laboraty Report LA-9168-MS,February 1982
15.
Lux,.I.,Koblinger,L.”Monte Carlo Particle Transport Methods,Neutron and Photon
Calculations ,CRC Pres,boc raton.,1991
Document Outline - MONTE CARLO SİMÜLASYON METODU VE MCNP KOD SİSTEMİ
- Özet
- Abstract
- 1. Giriş
- 2. Monte Carlo Simülasyon Metodu
- 3. Simülasyon Uygulama Alanları
- 4. Simülasyonun Avantajları ve Dezavantajları
- 5. Monte Carlo Metodunun Matematiksel Analizi
- 6. Monte Carlo Metodunu Örneklenmesi:
- Örnek 1 (gelişi güzel sayı ekseni):
- Örnek 2 (Gelişi güzel sayı dağılmının n(x)=xP2P fonksiyouyla incelemesi):
- Örnek 3( Tek boyuta sabit hızlı hareket):
- Örnek -4 (Ortalama serbest yol):
- Örnek 5 ( Buffon’un iğne problemi):
- Örnek–6 (Bir nötronun birim uzunlukdaki madde içerisindeki hareketi)
- 7. MCNP (Monte Carlo N – Parçacık Taşınım Kodu)
- 8. MCNP kodu veGeometri
- 9. Uzantılar(tallies)
- 10. Hata tahmini ve varyasyon(uyuşmazlık)indirgemesi
- 11. Sonuçlar ve öneriler
- Kaynaklar:
Dostları ilə paylaş: |