O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

Javob:
4-misol.Tenglamani nechta ildizi bor.
Yechish.Tenglamaning chap qismini shakl almashtirib, funksiyani o`suvchiligidan foydalanamiz.

Tenglamaning o`ng qismini shakl almashtirib,
U holda berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli

2-tenglamadan ildizni topamiz. Bu ildiz sistemaning 1- tenglamasini qanoatlantiradi.
Javob:
5-misol.Tenglamaning ildizlari yig`indisini toping.

Yechish. Tenglamaning chap va o`ng qismini shakl almashtiraylik.
. U holda 2-teoremaga asosan berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli:
ildizni topamiz.
Javob:
3. Funksiyalarning monotonlik xossasidan foydalanish. Bunday yechish usuli quyidagi tasdiqlarga asoslanadi.
1-tasdiq. Agar funksiya oraliqda uzluksiz va qat’iy monoton bo‘lsa, u holda tenglama oraliqda ko‘pi bilan bitta ildizga ega bo‘ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilaylik. tenglama oraliqda ikkita turli ildizga ega bo’lsin: . Aniqlik uchun va qat’iy o’suvchi bo’lsin. U holda , ya’ni ziddiyatga kelamiz. Bu ziddiyat tasdiqni isbotlaydi.
2-tasdiq. va funksiyalar oraliqda uzluksiz, qat’iy o‘suvchi, qat’iy kamayuvchi bo‘lsin. U holda tenglama oraliqda ko‘pi bilan bitta ildizga ega bo‘ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilaylik. tenglama oraliqda ikkita turli ildizga ega bo’lsin: Aniqlik uchun bo’lsin. U holda bo’ladi. Agar ikkinchi tengsizlikni (-1) ga ko’paytirib, birinchisiga qo’shsak quyidagiga ega bo’lamiz:
, bundan ziddiyatga kelamiz. Bu ziddiyat tasdiqni isbotlaydi.