O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

3-tasdiq. va funksiyalar qat’iy o‘suvchi va o`zaro teskari funksiyalar bo`lsa, u holda tenglama yoki tenglamar teng kuchli bo`ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilamiz. Aytaylik (1) ning ildizi, lekin (2) ning (yoki (3) ning) ildizi bo’lmasin. U holda yoki yoki ) bo’ladi. Aniqlik uchun bo’lsin. U holda bo’ladi. Bu va oldingi tengsizlikdan hosil bo’ladi. Bu esa (1) ning ildizi ekanligiga zid.
Endi (2) ning (yoki (3) ning) ildizi, lekin (1) ning ildizi bo’lmasin. U holda yoki bo’ladi. Aniqlik uchun bo’lsin. U holda va ya’ni va tengsizliklarni hosil qilamiz. Bu esa (2) ning (yoki (3) ning) ildizi ekanligiga zid. (haqiqatan ham, agar (2) ning (yoki (3) ning) ildizi bo’lsa, u holda bo’lishi lozim).
Eslatma. Oraliq , , cheksiz oraliqlar, kesma, interval, yarim intervallardan iborat bo‘lishi mumkin.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Ravshanki, agar bo‘lsa, tenglamaning ildizi bo‘la olmaydi (chunki ). bo‘lganda funksiya uzluksiz va qat’iy o‘suvchi, demak oraliqda berilgan tenglamaning ko‘pi bilan bitta yechimi mavjud. tenglamaning ildizi bo‘lishini ko‘rish qiyin emas. Demak bu yagona ildizdir.
Javob: .
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasi kesmadan iborat. Bu to‘plamda va funksiyalar uzluksiz va qat’iy kamayuvchi, demak funksiya ham uzluksiz va qat’iy kamayuvchidir. Shu sababli funksiya har bir qiymatini faqat bitta nuqtada qabul qiladi. ekanligini tekshirish qiyin emas. Demak, tenglamaning yagona ildizi bo‘ladi.
Javob: .