O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi


-§. Boshqa ko`rinishdagi aniqmasliklar



Yüklə 443,86 Kb.
səhifə5/10
tarix23.05.2023
ölçüsü443,86 Kb.
#112221
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Abdurazzoqov.7.21.teylor

2-§. Boshqa ko`rinishdagi aniqmasliklar.
Ma`lumki, bo`lganda f(x)×g(x) ifoda 0×¥ ko`rinishidagi aniqmaslik bo`lib, uning quyidagi

kabi yozish orqali yoki ko`rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Shuningdek, bo`lganda f(x)-g(x) ifoda ¥-¥ ko`rinishidagi aniqmaslik bo`lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib

ko`rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Ma`lumki, x®a da f(x) funksiya 1, 0 va ¥ ga, g(x) funksiya esa mos ravshda ¥, 0 va 0 intilganda (f(x))g(x) darajali-ko`rsatkichli ifoda 1¥, 00, ¥0 ko`rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko`rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun avval y=(f(x))g(x) ni logarifmlaymiz: lny= g(x)×ln(f(x)). Bunda x®a da g(x)ln(f(x)) ifoda 0×¥ ko`rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.
Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida 0×¥, ¥-¥, 1¥, 00, ¥0, ko`rinishdagi aniqmasliklarni ochiщda, ularni yoki ko`rinishidagi aniqmaslikka keltirib, so`ng yuqoridagi teoremalar qo`llaniladi.
2-eslatma. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning f`(x) va g`(x) hosilalari ham f(x) va g(x) lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda

tengliklar o`rinli bo`ladi, ya`ni bu holda Lopital qoidasini takror qo`llanish mumkin bo`ladi.
Misol. Ushbu limitni hisoblang.
Yechish. Ravshanki, x®0 da ifoda 1¥ ko`rinishdagi aniqmaslik bo`ladi. Uni logarifmlab, aniqmaslikni ochishga keltiramiz:
Demak, .
3-§. Teylor formulasi
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo`lib, ko`plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
Teylor ko`phadi. Peano ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma`lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma`nosida ko`phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko`phad bilan almashtirish muammosi paydo bo`ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta`rifiga ko`ra agar y=f(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini Df(x0)=f`(x0)Dx+o(Dx), ya`ni
f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+o(x-x0)
ko`rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali
P1(x)=f(x0)+b1(x-x0) (3.1)
ko`phad mavjud bo`lib, x®x0 da f(x)=P1(x)+o(x-x0) bo`ladi. Shuningdek, bu ko`phad P1(x0)=f(x0), P1`(x0)=b=f`(x0) shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f`(x), f``(x), ..., f(n)(x) hosilalarga ega bo`lsa, u holda
f(x)=Pn(x)+o(x-x0) (3.2)
shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo`lmagan Pn(x) ko`phad mavjudmi?
Bunday ko`phadni
Pn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+ ... +bn(x-x0)n, (3.3)
ko`rinishda izlaymiz. Noma`lum bo`lgan b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlarni topishda
Pn(x0)=f(x0), Pn`(x0)=f`(x0), Pn``(x0)=f``(x0), ..., Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (3.4)
shartlardan foydalanamiz. Avval Pn(x) ko`phadning hosilalarini topamiz:
Pn`(x)=b1+2b2(x-x0)+3b3(x-x0)2+ ... +nbn(x-x0)n-1,
Pn``(x)=2×1b2+3×2b3(x-x0)+ ... +n×(n-1)bn(x-x0)n-2,
Pn```(x)=3×2×1b3+ ... +n×(n-1)×(n-2)bn(x-x0)n-3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Pn(n)(x)=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1bn.
Yuqorida olingan tengliklar va (3.3) tenglikning har ikkala tomoniga x o`rniga x0 ni qo`yib barcha b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
Pn(x0)=f(x0)=b0,
Pn`(x0)=f`(x0)=b1,
Pn``(x0)=f``(x0)=2×1b2=2!b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pn(n)(x0)=f(n)(x0)=n×(n-1)×...×2×1bn=n!bn
Bulardan b0=f(x0), b1=f`(x0), b2= f``(x0), . . ., bn= f(n)(x0) hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3.3) qo`yamiz va
Pn(x)= f(x0)+ f`(x0)(x-x0)+ f``(x0)(x-x0)2+ ... + f(n)(x0)(x-x0)n, (3.5)
ko`rinishda ko`phadni hosil qilamiz. Bu ko`phad Teylor ko`phadi deb ataladi.
Teylor ko`phadi (3.2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko`phadi ayirmasini Rn(x) orqali belgilaymiz: Rn(x)=f(x)-Pn(x). (3.4) shartlardan Rn(x0)=Rn`(x0)=...= Rn(n)(x0)=0 bo`lishi kelib chiqadi.
Endi Rn(x)=o((x-x0)n), ya`ni =0 ekanligini ko`rsatamiz. Agar x®x0 bo`lsa, ifodaning 0/0 tipidagi aniqmaslik ekanligini ko`rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda
= =…= =
= = =0, demak x®x0 da Rn(x)=o((x-x0)n) o`rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
Teorema. Agar y=f(x) funksiya x0 nuqtaning biror atrofida n marta differensiallanuvchi bo`lsa, u holda x®x0 da quyidagi formula
f(x)= f(x0)+ f`(x0)(x-x0)+ f``(x0)(x-x0)2+ ... + f(n)(x0)(x-x0)n+o((x-x0)n) (3.6)
o`rinli bo`ladi, bu yerda Rn(x)=o((x-x0)n) Peano ko`rinishidagi qoldiq had.
Agar (3.6) formulada x0=0 deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi hosil bo`ladi:
f(x)=f(0)+ f`(0)x+ f``(0)x2+ ... + f(n)(0)xn+o(xn). (3.7)
Bu formula Makloren formulasi deb ataladi.

Yüklə 443,86 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə