O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

5-§. Teylor va Makleron qatorlari tadbiqlari
f(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish deb ataladi.
Faraz qilaylik, f(x) funktsiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
f(x)=a<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>(x-x<sub>0</sub>)+a<sub>2</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+…+a<sub>n</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>+… (5.1)
(1) qatorning koeffisiyentlari va x<sub>0</sub> nuqtadagi hosilalarini f(x) funktsiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(x<sub>0</sub>) =x<sub>0</sub> (5.2)
dan iborat bo`ladi.
f(x) funktsiya x₀ nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, ni topamiz:
f`(x)=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+…+na_n(x-x­₀)^n-1+… (5.3)
Bundan, x = x₀ bo`lgan holda
f`(x₀)=a₁ (5.4)
ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz:
(5.5)
x = x<sub>0</sub> bo`lganda
. (5.6)
Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:
(5.7)
(5.2), (5.4), (5.6) va (5.7) lardan (5.1)- qator koeffisiyentlarini topamiz:
, , ,…, ,… (5.8)
a<sub>0­</sub>­, a<sub>1,</sub> a<sub>2</sub>,… a<sub>n</sub> lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat.
Agar (5.8)- qatordagi a<sub>0­</sub>­,<sub>,</sub> a<sub>1</sub>,…a<sub>n</sub> larning qiymatlari (5.1)- qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x₀ nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi:
(5.9)
f(x) funktsiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat:

R_n (x) – qoldiq had.
Bunda, .
1.f(x) =e^x funktsiyani x darajasi bo`yicha Makloren qatoriga yoyish.
Yechilishi: e<sup>x</sup> ning hosilalarini ketma–ket topamiz va x=0 nuqtada ularning qiy-matlarini aniqlaymiz:
, , , ,…
x=0 bo`lganda:
, , , ,…
Bu qiymatlarni Makloren qatoriga qo`ysak, quyidagi qator hosil bo`ladi:

2. f(x) = sinx funktsiyani Makloren qatoriga yoyish.
Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz:

x =0 nuqtada ularning qiymatlarini topamiz va Makloren qatoriga qo`yamiz: