O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalari.
Differensial tenglamalar nazariyasida quyidagi masalalar asosiy masalalar hisoblanadi:
1) Differensial tenglama echimining mavjudligi va yagonaligi. Differensial tenglamalar yechimining mavjudligi va yagonaligini ifodalovchi teoremalar mavjud. Bunday teoremalarda tenglama yechimining mavjud va yagona bo’lishining yetarli shartlari keltirilgan. Mavjudlik teoremalari differensial tenglamalarga oid maxsus adabiyotlarda isbotlangan;
2) Differensial tenglamalarni yechish. Differensial tenglamalarni yechish (yechimini topish usullarini aniqlash eng muhim ), yechish masalalardandir. Ko’pgina tenglamalar (hatto ularning yechimi mavjudligi ma’lum bo’lsa ham) yechilavermaydi. Keyingi paragraflarda yechiladigan tenglamalar qaraladi va ularni yechish usullari bayon etiladi;
3) Differensial tenglamalarining tatbiqlari. Differensial tenglamalarning tatbiq doirasi juda keng. Fan va texnikaning turli sohalaridagi (geometriya, fizika, mexanika, texnika, tabiatshunoslik va h.k) masalalar differensial tenglamalar yordamida hal etiladi.
Ma’lumki, birinchi tartibli differensial tenglama umumiy ko’rinishda quyidagicha

ifodalanadi. Bunda, x–erkli o’zgaruvchi (funksiya argumenti) y = y(x)
noma’lum funksiya, y’ esa noma’lum funksiyaning hosilasi. Bu tenglamani y׳ ga nisbatan yechilgan holi bo’lgan
(1.5)
tenglamani o’rganamiz. Odatda, (1.5) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama deb ham yuritiladi. (1.5) tenglama uchun tenglamaning yechimi (umumiy va xususiy yechimlari), boshlang’ich shart, Koshi masalalari tushunchalari ham kiritiladi.
1.Differensial tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi.
Ushbu

differensial tenglamani qaraylik. Ravshanki, bu tenglama yechimining mavjudligi va uning yechimi f(x, y) funksiyaga bog’liq. Aytaylik, funksiya tekislikdagi yopiq to’g’ri to’rtburchak

da berilgan bo’lsin, bunda a va b lar musbat sonlar.
Teorema. Agar f(x, y) funksiya D da uzluksiz bo’lib, uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsa, u holda (5) differensial tenglama boshlang’ich shart

ni qanoatlantiruvchi yechimga ega va u yagona bo’ladi.
Eslatma. Teoremada keltirilgan shart (1.5) tenglama yechimi mavjud bo’lishining yetarli shartini ifodalaydi. Binobarin, bu shart bajarilmaganda ham (1.5) tenglama yechimga ega bo’lishi mumkin. Yuqorida aytib o’tganimizdek, (1.5) tenglama yechimi f(x, y) funksiyaga (uning ko’rinishiga) bog’liq bo’ladi. Bu funksiyaning maxsus ko’rinishlarida yuzaga keladigan differensial tenglamalarni keltiramiz:

1. 
   Aytaylik,
   

bo’lsin, bunda ϕ(x) vaψ(y) uzluksiz funksiyalar. Bu holda (1.5) tenglama ushbu
(1.6)
ko’rinishga keladi.
Uni o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi.

2. 
   Aytaylik,
   

bo’lsin, bunda p(x) va q(x)–funksiyalar uzluksiz. Bu holda (1.5) tenglama ushbu
(1.7)
ko’rinishga keladi. Uni chiziqli differensial tenglama deyiladi.

3. 
   Aytaylik,
   

bo’lsin, bunda p(x), q(x)–uzluksiz funksiyalar; m o’zgarmas son.
Bu holda (1.5) tenglama ushbu
(1.8)
ko’rinishga keladi. Uni Bernulli tenglamasi deyiladi.

4. 
   Aytaylik,
   

bo’lsin. Bu holda (5) tenglama ushbu
(1.9)
ko’rinishga keladi. Keyingi tenglikning o’ng tomonidagi

ifoda biror F(x, y) funksiyaning to’liq differensiali

bo’lishi mumkin. Bunday vaziyatda (9) tenglama to’liq differensial tenglama deyiladi.