O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

3-§. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yechish usullari.
Ushbu
(1.19)
ko’rinishdagi tenglamalarga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deyiladi, tenglamani chiziqli deyilishiga sabab, noma’lum y funksiya va uning hosilasi birinchi darajada tenglamada qatnashyapti, bu yerda a(x) va b(x) da berilgan, aniqlangan va uzluksiz funksiyalardir. Xususiy holda a(x) va b(x) lar o’zgarmas sonlar ham bo’lishi mumkin.
1-usul. O’rniga qo’yish usuli (Eyler-Bernulli metodi)
Agar (1) tenglamaning o’ng tomoni b(x) 0 bo’lsa, bu tenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi. Agar b(x)=0 bo’lsa (1.19) tenglama chiziqli o’zgaruvchilari ajralgan tenglama bo’ladi. b(x) 0 bo’lsin, ya’ni (1.19) tenglama bir jinsli bo’lmasin deylik. (1.19) tenglamani o’rniga qo’yish usuli (Eyler-Bernulli metodi) bilan yechishni qaraymiz. (1.19) tenglamada erkli o’zgaruvchi x ni o‘zicha qoldirib,
, (1.20)
(bu yerda u va v – o‘zgaruvchilar x ning yangi uzluksiz funksiyalari) formula bo’yicha almashtirish bajaramiz. (1.20) dan x bo‘yicha hosila olsak,
(1.21)
(1.20) va (1.21) ni (1.19) ga qo’ysak
. (1.22)
Endi v funksiyani shunday tanlaylikki,
(1.23)
tenglik o’rinli bo‘lsin. (1.23) tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratsak,
,
Bu tenglikni integrallab quyidagini topamiz:
,
( ixtiyoriy o‘zgarmas son) yoki
(1.24)
v funksiyaning bu qiymatini (1.21) ga qo’ysak, u funksiya uchun o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:
(1.25)
Bu tenglamaning ikkala qismini ga ko’paytiramiz bu yerdan
, (1.26)
(1.25) va (1.26) ni (1.20) ga qo’ysak, (1.19) tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz:
, (1.27)
Ko’pincha, (1.24) tenglamani (1.25) umumiy yechimida C=1 deb olish, ya’ni (1.24) ning noldan farqli birorta xususiy yechimini deb olsa ham bo’ladi. Yuqorida ko’rib chiqilgan o’rniga qo’yish usuli bitta (1.19) chiziqli tenglamani integrallash masalasini o’zgaruvchilari ajraladigan ikkita (1.24) va (1.26) tenglamalarning yechimlarini topishga olib keladi.
Agar (1.19) tenglamaning boshlangich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish kerak bo’lsa, (1.27) umumiy yechimdagi aniqmas integrallarni yuqori chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan aniq integrallar bilan almashtirish qo’laydir. Bunday almashtirishda (1.27) formula ushbu ko’rinishni oladi:
(1.28)
bu yerda –ixtiyoriy tayinlangan son, . (10) tenglikdan boshlang’ich shartga ko‘ra o’zgarmasni qiymatini aniqlash mumkin:

chegaralari bir xil bo’lgan aniq integrallarni qiymati nolga teng bo’lgan aniq integrallarni qiymati nolga teng bo’lgani uchun ni topamiz. Natijada (1.28) tenglamani boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini qo’yidagi shaklda hosil qilamiz.

Misol . tenglamani yeching.
Yechish : Avvalo berilgan tenglamani (1.19) chiziqli tenglama shakliga keltirish uchun uni ikkala tomonini ga bo’lamiz:

ni va larni tenglamaga qo’ysak:
(*)
v ni shunday tanlaylikki bo’lsin. Oxirgi tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratsak:
,
Integrallab
;

v ni bu qiymatini (*) ga qo’yib u ni aniqlaymiz.

,
O’zgaruvchilarni ajratamiz:

u va v ning topilgan qiymatini ga qo’ysak, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz: