O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

2-usul. Ixtiyoriy o’zgarmasni varitsiyalash usuli ( Lagranj usuli).
Bir jinsli bo’lmagan (1.19) tenglamaning ( ) yechimini topish uchun dastavval unga mos bir jinsli (b(x)=0):
(1.29)
tenglamani yechamiz, bu tenglama esa o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadan iboratdir. Uning umumiy yechimi ( (1.32), (1.33) ga qarang):
(1.30)
Ravshanki, C – ixtiyoriy o’zgarmasni o’z ichiga olgan (1.30) tenglik bilan aniqlanuvchi funksiya (1.19) tenglamani yechimi bo’la olmaydi, chunki (1.19) ni chap tomoniga (1.30) ni va uni hosilasini qoysak (1.29) ga asosan nolga aylanadi, ammo o’ng tomoni b(x) nolga teng emas, agarda C o’zgarmasni x ning biror C=C(x) funksiyasi deb qaraydigan bo’lsak,
(1.31)
funksiya C(x) ni tanlab olish hisobidan (1.19) tenglamani yechimi bo’lishi mumkin. (1.31) funksiyani (1.19) tenglamani yechimiga aylantiruvchi noma’lum C(x) funksiyani topish uchun (1.31) funksiyani hosilasini hisoblaymiz:
(1.32)
(1.31) va (1.32) ni (1.19) tenglamaga qo’ysak:
yoki
(1.33)
o’zgaruvchilari ajraladigan va C(x) noma’lum funksiyali differensial tenglamaga ega bo’lamiz: (1.33) ni umumiy yechimi:
(1.34)
C(x) ning topilgan ifodasini (1.31) tenglikka qo’yib, (1.19) tenglamaning izlanayotgan umumiy yechimini yana (1.28) ko’rinishda hosil qilamiz:

Bu usulning nomi ixtiyoriy o’zgarmas C ni x o’zgaruvchining C(x) funksiyasi deb o’zgartirganimizdan (ya’ni, uni variatsiyalaganimizdan) kelib chiqqan.
1-misol: chiziqli tenglamani ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli bilan umumiy yechimini toping.
Yechish: Dastlab, chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy
yechimini topamiz. O’zgaruvchilarni ajratsak:

Bu tenglamani integrallab:

va bundan . Endi C=C(x) deb, C ni variatsiyalaymiz.
va
Natijada y va larning ifodalarini berilgan tenglamaga qo’ysak:

yoki , bundan esa , Bir jinsli tenglamaning yechimidagi C(x) ning o’rniga topilgan ifodasini qo’yib, berilgan tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz:

2-misol: tenglamani yeching.
Yechish. Bu tеnlаmаni yеchishdа to’g’ridan-to’g’ri (18) formuladan foydalanib yechamiz:



Demak, .