O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti



Yüklə 3,17 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə14/73
tarix31.12.2021
ölçüsü3,17 Mb.
#81127
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   73
5b1794a00c79b

Misollar :
   1. 
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
X

 bo‘lsin. U xolda  
  


1
2
1
!
1
1
2
1
,
,...,
,
,
.
.
x
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n
n
n
n
n
T






























 


 
19 
 
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
1
1
0
2
1
x
x
x
X
X
x
x
x
X
n
n
n





 
 
2.                            











34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
 
 bo‘lsin, u xolda 
,
,
11
21
31
12
22
32
13
23
33
14
24
34
44
24
14
33
23
13
32
22
12
31
21
11



























a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
T
 
 
,
,
,
11
12
13
14
21
22
23
24
31
32
33
34
0
14
13
12
11
24
23
22
21
34
33
32
31
31
32
33
34
21
22
23
24
11
12
13
14
!


































a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
 
 
Bevosita  tekshirib  quyidagi  xossalarni  o‘rinli  ekanligiga  ishonch  xosil 
qilish mumkin. 
1.
 
Agar A va V 
n
m

 o‘lchovli, to‘g‘ri to‘rtburchakli matritsalar 
bo‘lsa, u xolda   
0
0
0
!
!
!
T
T
T
B
A
)
B
A
(
,
B
A
)
B
A
(
,
B
A
)
B
A
(
,
B
A
)
B
A
(
,
B
A
)
B
A
(





















 
2.
 
Agar  A –
,
n
m

 o‘lchovli, to‘g‘ri to‘rtburchakli matritsa bo‘lib, 
0


 xaqiqiy son bo‘lsa,  u xolda  
.
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
0
0
!
!
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
T
T



















 
3.
 
 Agar  A –
,
n
m

 o‘lchovli, to‘g‘ri to‘rtburchakli matritsa bo‘lsa, u 
xolda         
.
A
)
A
(
,
A
)
A
(
,
A
)
A
(
,
A
)
A
(
,
A
)
A
(
0
0
!
!
T
T









 
4.
 
 Agar A 
n
m

 ,  V  
m
n

 o‘lchovli to‘g‘ri burchakli matritsalar 
bo‘lsa, u xolda     
0
0
0
T
T
T
A
B
)
AB
(
,
A
B
)
AB
(
,
A
B
)
AB
(






 
5.
 
Agar A  n - tartibli kvadrat matritsa bo‘lsa, u xolda  
(𝐴
𝑇
)

= (𝐴

)
𝑇
= 𝐴

,   
 
(𝐴
!
)
¯
= (𝐴
¯
)
!
= 𝐴

,  
(𝐴

)
!
= (𝐴
!
)

= 𝐴
¯



 
20 
(𝐴

)
𝑇
= (𝐴
𝑇
)

= 𝐴

,  
(𝐴

)

= (𝐴

)

= 𝐴
𝑇
,
   (𝐴

)
¯
= (𝐴
¯
)

= 𝐴
!
 
6.
 
Agar    A  –n  tartibli  kvadrat  matritsa  bo‘lsa,  u  xolda
1
0
T
1
0
T
T
T
1
0
T
T
1
0
)
A
(
)
A
A
(
)
A
(
)
A
A
(
)
A
A
(
)
A
(
)
A
A
(
)
A
(
A














 
7.
 
Agar  A maxsusmas kvadrat matritsa bo‘lsa, u xolda 
1
0
0
1
1
1
1
!
!
1
1
1
1
1
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(



















A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
T
T
 
8.
 
Agar A  n –tartibli kvadrat matritsa bo‘lsa, u xolda 
,
)
1
(
,
!
0
A
A
A
A
A
A
A
T









 
bu  yerda 

  –  A  matritsadan 
!
А
  yoki   

А
  matritsalarni  xosil  qilish  uchun  A 
matritsaning satr yoki ustunlarini almashtirishlar soni. 
 
Bu  tengliklarning  to‘g‘riligi  ta’rif  1.15  va  determinantning  xossalaridan 
kelib chiqadi. 
9.
 
  Agar  A  n –tartibli kvadrat matritsa, E  n-tartibli birlik matritsa va  

 sonli parametr bo‘lsa,  u xolda  
E
A
E
A
E
A
E
A
T












0
 
Bu  tengliklarning  to‘g‘riligi    1.,2.,7.  xossalar    va 
0
E
E
E
E
T




 
ekanligidan kelib chiqadi. 
10.  Agar 
Sp
(A) – A matritsaning izi bo‘lsa, u xolda  
),
(
)
(
)
(
)
(
0
A
Sp
A
Sp
A
Sp
A
Sp
T




 
11. Agar  
)
(
A
rang
-A matritsaning rangi bo‘lsa, u xolda 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
!
A
rang
A
rang
A
rang
A
rang
A
rang
A
rang
T







  
12. A kvadrat matritsa bo‘lib, 
n
i
i
i
T
i
i
i
i
T
i
i
,...,
2
,
1
)
,
,
,
(
,
,
,
0
0











 lar 
mos  ravishda 
0
,
,
,
A
A
A
A
T

  matritsalarning  bosh  minorlari  (ularning  mos 
to‘ldiruvchi minorlari) bo‘lsin. U xolda quyidagi tengliklar o‘rinli: 
                                    
,
1
,...,
2
,
1
,
,
1
,...,
2
,
1
,
0
0
0
0

















n
i
A
A
n
i
i
n
i
n
n
i
n
i
                            
(1.3) 
                            























A
A
n
i
A
A
n
i
n
n
i
n
i
T
T
n
n
T
i
i
,
1
,...,
2
,
1
,
,
,...,
2
,
1
,
                      
(1.4) 
  
Bu  tengliklarning  to‘g‘riligi  ta’rif  1.15  ,  7.  xossa  va  determinantning 
xossalaridan kelib chiqadi. 


 
21 
§ 3. Simmetrik matritsalar 
 
A- n- tartibli kvadrat matritsa bo‘lsin, ya’ni 
n
j
i
a
A
ij
,...,
2
,
1
,
),
(


  
 
Ta’rif 1.16.
 A matritsa simmetrik deyiladi, agarda uning xar bir elementi 
uchun shunday element mavjud  bo‘lib, bu elementlar juftliklari biror nuqta yoki 
to‘g‘ri chiziqqa nisbatan o‘zaro simmetrik bo‘lsa. Bu nuqta yoki to‘g‘ri chiziqda 
yotuvchi elementlar o‘z o‘ziga simmetrik deyiladi.  
 
Simmetrik  kvadrat  matritsaning  barcha  ko‘rinishlarini  aniqlash  uchun 
quyidagicha  belgilashlar  kiritamiz.  A-  n-  tartibli  kvadrat  matritsaga  qandaydir 
kvadrat mos keladi.  
1.
 
Kvadratning  chap  (o‘ng)    diagonalini  A  matritsaning  bosh  (bosh 
bo‘lmagan) diagonali deb ataymiz, 
2.
 
Kvadratning  vertikal  (gorizontal)  simmetriya  o‘qini  A  matritsaning  
vertikal (gorizontal) o‘qi deb aytamiz. 
3.
 
Kvadratning    simmetriya  markazini  A  matritsaning  markazi  deb 
aytamiz. 
 
Ta’rif 1.17.
 A- n- tartibli kvadrat matritsa 
1)
 
bosh diagonalga nisbatan simmetrik matritsa deyiladi, agarda 
,
A
A
T

 ya’ni 
n
j
i
a
a
ji
ij
,...,
2
,
1
,
,


 bo‘lsa, 
2)
 
bosh  bo‘lmagan  diagonalga  nisbatan  simmetrik  matritsa 
deyiladi, agarda 
,
A
A


 ya’ni 
n
j
i
a
a
i
n
j
n
ij
,...,
2
,
1
,
,
1
,
1






 bo‘lsa, 
3)
 
vertikal  o‘qqa  nisbatan  simmetrik  matritsa  deyiladi,  agarda 
,
!
A
A

 ya’ni  
n
j
i
a
a
j
n
i
ij
,...,
2
,
1
,
,
1
,




 bo‘lsa, 
4)
 
gorizontal o‘qqa nisbatan simmetrik matritsa deyiladi, agarda 
,
A
A


 ya’ni 
n
j
i
a
a
j
i
n
ij
,...,
2
,
1
,
,
,
1




 bo‘lsa, 
5)
 
matritsa  markaziga  nisbatan  simmetrik  matritsa  deyiladi, 
agarda 
,
0
A
A

 ya’ni 
n
j
i
a
a
j
n
i
n
ij
,...,
2
,
1
,
,
1
,
1






 bo‘lsa, 
 
Shuni  aytib  o‘tamizki,  bosh  va  bosh  bo‘lmagan  diagonallarda  A 
matritsaning  elementlari  mavjud,  vertikal  va  gorizontal  o‘qlarda  esa  n-  juft 
bo‘lganda  A  matritsaning  elementlari  mavjud  bo‘lmaydi,  n-  toq  bo‘lganda 


 
22 
mavjud bo‘ladi, matritsa markazida n- juft bo‘lganda  matritsa elementi mavjud 
emas, n- toq bo‘lganda 
2
1
,
2
1


n
n
a
 element matritsa markazida yotadi. 
 
E birlik matritsa bosh va bosh bo‘lmagan diagonallar, xamda matritsa 
markaziga nisbatan simmetrik bo‘ladi. 
 
Ta’rif 1.18.
 
n
R
 fazodagi n ta erkin qism sistemalardan tashkil topgan 
YMMS  
1)
 
erkin  qism  sistemalarga  nisbatan  simmetrik  deyiladi,  agarda  uning 
mos bog‘lanishlari va teskari bog‘lanishlari bir xil bo‘lsa, 
2)
 
o‘zaro  muvozanatlashuvchi  erkin  qism  sistemalar  o‘rtasidagi 
bog‘lanishlar  va  teskari  bog‘lanishlarga  nisbatan  simmetrik  deyiladi,  agarda 
muvozanatlashuvchi  erkin  qism  sistemalar  juftliklari  o‘zaro  va  o‘zaro 
muvozanatlashuvchi  erkin  qism  sistemalar  o‘rtasidagi  bog‘lanishlardan  boshqa 
bog‘lanishlar o‘zlariga mos teskari bog‘lanishlar bilan bir xil bo‘lsa. 
3)
 
YMMS 
markaziga 
nisbatan 
simmetrik 
deyiladi, 
agarda 
muvozanatlashuvchi  erkin  qism  sistemalar  juftliklari  o‘zaro  va  barcha 
bog‘lanishlar o‘zlariga mos teskari bog‘lanishlar bilan bir xil bo‘lsa. 
 
Ta’rif  1.17  dan  simmetrik  matritsalarning  quyidagi  xossalari  kelib 
chiqadi. 
 
1. Bosh va bosh bo‘lmagan diagonallariga nisbatan simmetrik bo‘lgan 
matritsalar shu matritsa markaziga nisbatan xam simmetrik bo‘ladi. 
 
2.  Vertikal  va  gorizantal  o‘qlarga  nisbatan  simmetrik  bo‘lgan 
matritsalar shu matritsa markaziga nisbatan xam simmetrik bo‘ladi.  
 
3.  Vertikal  (gorizontal)  o‘qga  nisbatan  simmetrik  bo‘lgan  matritsalar 
maxsus matritsalar bo‘ladi. 
 
4.   Ixtiyoriy  A  kvadrat  matritsa uchun  quyidagilar  mos  ravishda bosh 
diagonalga,  bosh  bo‘lmagan  diagonalga,  vertikal  o‘qga,  gorizontal  o‘qga  va 
matritsa markaziga nisbatan simmetrik matritsalar bo‘ladi. 
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
0
5
4
!
3
2
1
A
A
S
A
A
S
A
A
S
A
A
S
A
A
S
T












 


 
23 
 
5.  Agar  A    kvadrat  matritsa  bosh  (bosh  bo‘lmagan)  diagonalga, 
vertikal  (gorizontal)  o‘qga,  matritsa  markaziga  nisbatan  simmetrik  matritsa 
bo‘lsa, u xolda 
AT
T
A
i
A
i


,
,...),
2
,
1
(

 
lar  xam mos ravishda bosh (bosh bo‘lmagan) diagonalga, vertikal  
(gorizontal)  o‘qga,  matritsa  markaziga  nisbatan  simmetrik  matritsa  bo‘ladi.  Bu 
yerda T - A matritsa bilan bir xil tartibli bo‘lgan maxsusmas kvadrat matritsa, 

 
- xaqiqiy son, *- mos transponirlash  belgisini  bildiradi.  
6.
 
Agar  A  maxsusmas  kvadrat  matritsa    bosh  (bosh  bo‘lmagan) 
diagonalga, matritsa markaziga nisbatan simmetrik bo‘lsa, u xolda 
1

A
 xam mos 
ravishda  bosh  (bosh  bo‘lmagan)  diagonalga,  matritsa  markaziga  nisbatan 
simmetrik bo‘ladi. 
 
7.  Agar  A  va  B  kvadratik  matritsalar  o‘z  markazlariga  nisbatan 
simmetrik  matritsalar  bo‘lsa,  u  xolda  AB  va  BA  matritsalar  o‘z    markazlariga  
nisbatan simetrik matritsalar bo‘ladi. 
 
8. Agar A n- tartibli kvadrat matritsa o‘z markaziga nisbatan simmetrik 
bo‘lib, 
n
i
i
,...,
2
,
1
,


  bu matritsaning bosh minorlari, 
i

 - shu minorlarga mos 
to‘ldiruvchi minorlar bo‘lsa, u xolda  
                             
1
,...,
2
,
1
,






n
i
i
n
i
                                                (1.5) 
9.
 
Agar A n- tartibli kvadrat matritsa o‘z markaziga nisbatan  
simmetrik bo‘lsa, u xolda  
                            
0
,
1
,...,
2
,
1
,
0







A
n
i
n
i
                                   (1.6) 
shartlar  A  matritsaning  musbat  aniqlangan  bo‘lishi  uchun  zarur  va  yetarli 
shartlar bo‘ladi. A matritsaning manfiy aniqlangan bo‘lishi uchun (1.6) shartlar 
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi. 
                            
0
)
1
(
,
1
,...,
2
,
1
,
0
)
1
(









A
n
i
n
n
i
i
                      
     (1.7) 
10.
 
Agar A n- tartibli kvadrat matritsa 1) bosh diagonalga, 2) bosh  
bo‘lmagan diagonalga, 3) vertikal o‘qga, 4) gorizontal o‘qga, 5) matritsa 
markaziga nisbatan simmetrik matritsa bo‘lsa, u xolda bu matritsani mos 


 
24 
ravishda quyidagicha blok matritsalar ko‘rinishida yozish mumkin: 
 
1)  n=2k da  
,
2
1
1
1







A
B
B
A
A
T
 
n=2k+1 da 
,
2
2
1
2
1
,
1
1
1
1
1













A
a
B
a
a
a
B
a
A
A
T
T
k
k
T
 
 
2) n=2k  da 
,
1
2
1
1








A
C
C
A
A
 
 n=2k+1 da 
,
1
2
1
1
1
,
1
2
1
1
1














A
a
C
a
a
a
C
a
A
A
T
T
k
k
T
 
 
3) n=2k  da 
,
2
2
1
1









A
A
A
A
A
 
n=2k+1 da 
,
)
(
)
(
2
2
2
2
1
,
1
1
1
1
1

















A
a
A
a
a
a
A
a
A
A
T
k
k
T
 
 
4) n=2k da  
,
1
1
1
1









B
A
B
A
A
 
n=2k+1 da 
,
1
2
1
2
1
,
1
1
1
1
1
















B
a
A
a
a
a
B
a
A
A
T
k
k
T
 
 
5) n=2k da  
,
0
1
0
1
1
1







A
B
B
A
A
 
n=2k+1 da 
,
)
(
0
1
0
2
0
1
0
1
1
,
1
1
1
2
1













A
a
B
a
a
a
B
a
A
A
T
k
k
T
 
bu yerda barcha blok matritsalar  k-tartibli  
T
n
k
k
k
k
k
T
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
,
1
3
,
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
1
,
1
1










 
 
Ta’rif  1.19.
 
)
(
ij
a
A

 n- tartibli kvadrat matritsa  
1) bosh diagonalga nisbatan kososimmetrik (antisimmetrik) 
 deyiladi, agarda
,
A
A
T


  ya’ni   
,
,...,
2
,
1
,
,
n
j
i
a
a
ji
ij



 bo‘lsa:  
2)
 
bosh bo‘lmagan diagonalga nisbatan kososimmetrik deyiladi, agarda  
,
A
A



  ya’ni   
,
,...,
2
,
1
,
,
1
,
1
n
j
i
a
a
i
n
j
n
ij







 bo‘lsa: 
     3) vertikal o‘qqa nisbatan kososimmetrik deyiladi, agarda 
,
A
A



 ya’ni  
 
,
,...,
2
,
1
,
,
1
,
n
j
i
a
a
j
n
i
ij





 bo‘lsa : 
4)
 
gorizontal o‘qqa nisbatan kososimmetrik deyiladi, agarda 
,
A
A



  ya’ni  
,
,...,
2
,
1
,
,
,
1
n
j
i
a
a
j
i
n
ij





 bo‘lsa: 
5)
 
matritsa markaziga nisbatan kososimmetrik deyiladi, agarda  
,
0
A
A

  ya’ni  
,
,...,
2
,
1
,
,
1
,
1
n
j
i
a
a
j
n
i
n
ij







 bo‘lsa. 
 
Bu ta’rifdan quyidagilar kelib chiqadi: 


 
25 
1.
 
Xar qanday A kvadrat matritsa uchun quyidagilar mos ravishda bosh  
diagonalga, bosh bo‘lmagan diagonalga, vertikal o‘qga, gorizontal o‘qqa, 
matritsa markaziga nisbatan kososimmetrik matritsalar bo‘ladi 
)
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
0
5
4
3
2
1
A
A
S
A
A
S
A
A
S
A
A
S
A
A
S
T













 
2.
 
Agar A kvadrat matritsa bo‘lsa, u xolda  
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
1



i
S
S
A
i
 
A  matritsani  mos  ravishda  bosh  diagonalga,  bosh  bo‘lmagan  diagonalga, 
vertikal  o‘qga,  gorizontal  o‘qqa,  matritsa  markaziga  nisbatan  simmetrik  va 
kososimmetrik bo‘lgan matritsalar yig‘indisiga yoyilmasi bo‘ladi. 
 
3.  Agar  A  n-  tartibli  kvadrat  matritsa    1)  bosh  diagonalga,  2)  bosh 
bo‘liagan  diagonalga,  3)  vertika  o‘qga,  4)  gorizontal  o‘qqa,  5)  matritsa 
markaziga  nisbatan  kososimmetrik  bo‘lsa,  u  xolda  bu  matritsani  mos  ravishda 
quyidagicha blok matritsalarga ajratib yozish mumkin 
1) n=2k da  
,
2
1
1
1








A
B
B
A
A
T
  n=2k+1 da 
,
2
2
1
2
1
,
1
1
1
1
1

















A
a
B
a
a
a
B
a
A
A
T
T
k
k
T
 
 
2) n=2k da  
,
1
1
1
1









A
C
C
A
A
T
  n=2k+1 da 
,
1
2
1
1
1
,
1
2
1
1
1


















A
a
C
a
а
a
C
a
A
A
T
T
k
k
T
 
 
3) n=2k da  
,
2
2
1
1











A
A
A
A
A
     n=2k+1 da 
,
)
(
)
(
2
2
2
2
1
,
1
1
1
1
1























A
a
A
a
а
a
A
a
A
A
T
k
k
T
 
 
4) n=2k da  
,
1
1
1
1











B
A
B
A
A
  n=2k+1 da 
,
1
2
1
2
1
,
1
1
1
1
1























B
a
A
a
a
a
B
a
A
A
T
k
k
T
 
 
5) n=2k da  
,
0
1
0
1
1
1









A
B
B
A
A
  n=2k+1 da 
,
)
(
0
1
0
2
0
1
0
1
1
,
1
1
1
2
1


















A
a
B
a
a
a
B
a
A
A
T
k
k
T
 
bu yerda  barcha blok matritsalar k-tartibli  
T
n
k
k
k
k
k
T
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
,
1
3
,
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
1
,
1
1










 


 
26 
 
Ta’rif 1.20.
 
)
(
ij
a
A

 n – tartibli kvadrat matritsa  
1)
 
bosh diagonalga nisbatan ortoganal deyiladi, agarda 
1


A
A
T
 bo‘lsa, 
2)
 
bosh bo‘lmagan diagonalga nisbatan ortoganal deyiladi, agarda  
1



A
A
 
bo‘lsa, 
3)
 
vertikal o‘qqa nisbatan ortoganal deyiladi, agarda  
1



A
A
 bo‘lsa, 
4)
 
gorizontal o‘qqa nisbatan ortoganal deyiladi, agarda 
1



A
A
 bo‘lsa, 
5)
 
matritsa markaziga nisbatan ortoganal deyiladi, agarda 
1
0


A
A
 bo‘lsa. 
 
Bu ta’rifdan kelib chiqadiki, agarda A va B kvadrat matritsalar bosh 
(bosh  bo‘lmagan)  diagonalga,  vertikal  (gorizontal)  o‘qqa,  matritsa  markaziga 
nisbatan ortoganal bo‘lsa u xolda 
1

A
 va AB  matritsalar xam mos ravida  bosh 
(bosh  bo‘lmagan)  diagonalga,  vertikal  (gorizontal)  o‘qqa,  matritsa  markaziga 
nisbatan ortoganal bo‘ladi. 

Yüklə 3,17 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   73




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə