§ 6. Asosiy teoremalar.
Endi bizning keyingi izlanishlarimizda kerak bo‘ladigan ikkita chiziqli
algebraning teoremalarini isbotsiz keltiramiz
Teorema1.1.
Agar
matritsa maxsusmas bo‘lsa, u xolda A-
E va
A
-1
-
E matritsalarning elementar bo‘luvchilari bir xil bo‘ladi. Aksincha, agar A-
E
va B-
E matritsalarning elementar bo‘luvchilari bir xil bo‘lsa, u xolda xar
doim B
A
-1
tenglikni qanoatlantiruvchi
maxsusmas matritsa topiladi.
Ayrim mualliflar bu teoremani algebraning asosiy teoremasi deb ataydilar.
Teorema1.2.
Agar A va C lar s - tartibli simmetrik, kvadratik matritsalar
bo‘lib, A aniq ishorali bo‘lsa, u xolda
1) det(A
C)
0 xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy;
2) har doim shunday
maxsusmas matritsa topiladiki, unda
T
A
E ,
T
C
S
0
bo‘ladi.
Bu yerda E birlik matritsa.
s
2
1
0
c
0
0
0
c
0
0
0
c
C
bo‘lib, c
1
, c
2
,..., c
s
lar xarakteristik tenglamaning ildizlari.
Teoremaning ikkinchi qismi quyidagi tasdiqqa teng kuchlidir: Agar
quyidagi ikkita
s
1
k
s
1
i
i
k
ki
x
x
a
2
1
x
x
A
1
1
T
,
s
1
k
s
1
i
i
k
ki
x
x
c
2
1
x
x
C
1
1
,
kvadratik formalar berilgan bo‘lib, ularning birinchisi musbat aniqlangan
bo‘lsa, u xolda shunday
maxsusmas matritsali x
z chiziqli almashtirish
topiladiki, unda
2
s
2
2
2
1
z
z
z
2
1
z
z
2
1
T
36
2
s
s
2
2
2
2
1
1
0
z
c
z
c
z
c
2
1
z
z
c
2
1
Teorema1.2 ning ikkinchi qismidagi ikkinchi tengligidan
detC
0
det
t
detC det
tenglikni hosil qilib, detS
0
detC ekanligini e’tiborga olsak va det
deb
olsak,
detC
0
2
detC
hosil bo‘ladi.
Shuning uchun C
0
diogonal matritsa bo‘lgani uchun detC
0
c
1
c
2
... c
s
,
bo‘lib, s
1
s
2
... s
s
detC ko‘rinishni oladi .
Bundan tashkari ortogonal almashtirishda ixtiyoriy B kvadrat matritsaning
izi
T
B
matritsaning iziga teng, ya’ni
C
p
B
C
p
Λ
𝑇
B
ekanligini isbotlash mumkin.
Mashqlar:
1.
Quyidagi matritsalar ustida algebraik amallarni bajaring.
a) A=
(
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
)
В=
(
4
6
0
−3 −5 0
−3 −6 1
)
b)
А = (
13
16
16
−5 −7 −6
−6 −8 −7
)
В=
(
3
0
8
3
−1
6
−2
0
−5
)
c)
А = (
−4 2 10
−4 3
7
−3 1
7
)
В=
(
7
−12 −2
3
−4
0
−2
0
−2
)
d)
А = (
−2
8
6
−4 10
6
4
−8 −4
)
В=
(
0
3
3
−1
8
6
2
−14 −10
)
e)
А = (
−1
1
1
−5
21
17
6
−26 −21
)
В=
(
8
30
−14
−5 −19
9
−6 −23
11
)
f)
А = (
4
5
−2
−2 −2
1
−1 −1
1
)
В=
(
3
7
−3
−2
−5
2
−4 −10
3
)
37
g)
А = (
9
22 −6
−1 −4
1
8
16 −5
)
В=
(
1 −1 2
3 −3 6
2 −2 4
)
2.
Quyidagi matritsalarning normasini xisoblang.
1.
(
0
4 10
1
4
8 18
7
10 18 40 17
1 7 17 3
)
2.
(
4
1 1
−4 2 0
1
2 1
)
3.
(
2
1 0
1
1 2
−1 2 1
)
4.
(
2
1 11
2
1
0 4 −1
11
4 56
5
2 − 1 5 6
)
5.
(
−1
1
2
−1
4
0
1
−1 3
)
6.
(
1 2 1
2 1 2
1 2 3
)
3.
Umumlashgan transponirlangan matritsalarning 1-12 xossalarni
isbotlang.
4.
Umumlashgan transponirlangan matritsalarning boshqa xossalarini
aniqlang.
5.
Umumlashgan simmetrik matritsalarning 1-10 xossalarni isbotlang.
6.
Umumlashgan simmetrik matritsalarning boshqa xossalarini aniqlang.
7.
Quyidagi
- matritsalarni avval elementar almashtirishlar yo’li bilan,
so’ngra invariant ko’paytuvchilardan foydalanib kanonik ko’rinishga
keltiring.
1.
𝐴(𝜆) = ‖𝜆
4
+ 𝜆
2
+ 𝜆 − 1 𝜆
3
+ 𝜆
2
+ 𝜆 + 2
2𝜆
3
− 𝜆
2𝜆
2
+ 2𝜆
‖
2.
𝐴(𝜆) = ‖𝜆
2
+ 𝜆 + 1
𝜆
3
− 𝜆 + 2
2𝜆
𝜆
2
− 3𝜆 − 1
‖
3.
𝐴(𝜆) = ‖𝜆
2
+ 1
1
𝜆
𝜆
2
+ 𝜆
‖
4.
𝐴(𝜆) = ‖ 𝜆
𝜆 + 1
𝜆
2
− 𝜆 𝜆
2
− 1
‖
5.
𝐴(𝜆) = ‖
0
1
𝜆
𝜆
𝜆
1
𝜆
2
− 𝜆 𝜆
2
− 1 𝜆
2
− 1
‖
6.
𝐴(𝜆) = ‖ 𝜆
2
𝜆 + 1
𝜆 − 1
𝜆
2
‖
7.
𝐴(𝜆) = ‖
𝜆
𝜆
2
0
𝜆
2
𝜆
2
0
0
0
2𝜆
‖
38
8.
Quyidagi matritsalarni Jordonning normal formasiga keltiring.
(
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
)
(
4
6
0
−3 −5 0
−3 −6 1
)
(
13
16
16
−5 −7 −6
−6 −8 −7
)
(
3
0
8
3
−1
6
−2
0
−5
)
(
−4 2 10
−4 3
7
−3 1
7
)
(
7
−12 −2
3
−4
0
−2
0
−2
)
(
−2
8
6
−4 10
6
4
−8 −4
)
(
0
3
3
−1
8
6
2
−14 −10
)
(
−1
1
1
−5
21
17
6
−26 −21
)
(
8
30
−14
−5 −19
9
−6 −23
11
)
(
4
5
−2
−2 −2
1
−1 −1
1
)
(
3
7
−3
−2
−5
2
−4 −10
3
)
(
9
22 −6
−1 −4
1
8
16 −5
)
(
1 −1 2
3 −3 6
2 −2 4
)
39
II-BOB
KOMPLEKS SIMMETRIK, KOSOSIMMETRIK VA
ORTOGONAL MATRITSALAR.
Ushbu bob kompleks simetrik, kososimmetrik va ortoganal
matritsyalarni o`rganishga bag`ishlangan bo`lib, unda bu matritsiyalar
qanday elementlar bo`luvchilarga ega bo`lishi mumkinligi va ularning
norma formalari qarab chiqiladi. Bu formalar oddiy xolatdagiga qaraganda
sezilarli darajada murakkab strukturaga ega.
§1. Kompleks ortaganal va unitar matritsyalar
uchun ba`zi formulalar.
Lemma 2.1.
L
agar
G
matritaya bir vaqitning o`zida Ermit matritsyasi
bo`lib, ortogonal bo`lsa, ya`ni
1
G
G
G
T
bo`lsa, u holda u quydagi
ko`rinishda tasvirlanadi:
iK
Ie
G
,
(2.1)
bu yerda
I
-xaqiqiy simmetrik involyutiv
E
I
2
klatritsa,
I
K
bilan o`rin
almashinuvchi bo`lgan kososimmetrik matritsya:
T
T
K
K
K
E
I
I
I
I
,
,
2
(2.2)
Agar
G
yuqoridagilarga qo`shimcha ravishda musbat aniqlangan ermit
matritsasi bo`lsa, (1) formulasida
E
I
bo`lib,
iK
e
G
,
(2.3)
bo`ladi.
Isboti.
iT
S
G
(2.4)
bo`lsin, bu yerda
S
va
T
-xaqiqiy matritsalar. U holda
iT
S
G
va
T
T
T
iT
S
G
(2.5)
Shuning uchun
T
G
G
tenglikdan
T
T
T
T
S
S
,
, ya`ni
S
-simmetrik,
T
- kososimmetrik ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari (2.4) va (2.5) ga
40
asosan
E
G
G
tenglikdan
TS
ST
E
T
S
,
2
2
(2.6)
ni hosil qilamiz. Buning ikkinchisidan
S
va
T
ning o`zaro kommutativligi
kelib chiqadi.
Malumki, o`zaro kommutativ matritsalar bir hil xaqiqiy ortogonal
almashtirish bilan kvazidioganal kanonik formaga keltiriladi. Shuning
uchun
1
1
1
2
2
2
1
1
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,
O
O
O
O
s
s
s
s
s
s
s
s
O
S
n
q
q
q
,
(2.7)
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
1
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
O
O
O
O
O
T
q
q
t
t
t
t
t
t
bu yerda
i
i
t
s
,
-xaqiqiy sonlar. Bundan,
1
1
2
.
.
.
,
,
,
...
,
,
2
2
2
2
1
1
1
1
O
s
s
s
it
it
s
s
it
it
s
s
it
it
s
O
iT
S
G
n
q
q
q
q
q
(2.8)
Ikkinchi tomondan (2.7) ifodalarni (2.6) ga qo`yib quyidagilarni topamiz;
1
,
.
.
.
,
1
,
1
,
.
.
.
,
1
,
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
q
s
s
t
s
t
s
t
s
q
q
(2.9)
Endi tekshirib ko`rish mumkinki
it
s
s
it
tipdagi matritsalarni
1
2
2
t
s
shartdan har doim quyidagi ko`rinishda tasvirlash mumkin:
,
0
0
i
e
it
s
s
it
bu yerda
.
,
,
signS
sh
t
ch
s
. Shuning uchun (2.8) va (2.9) ga asosan
quydagiga ega bo`lamiz:
1
0
0
2
0
0
2
1
0
0
1
1
,
.
.
.
,
1
,
.,
.
.
,
,
O
e
e
e
O
G
q
q
i
i
i
(2.10)
yani
iK
Ie
G
,
bu yerda
1
,
1
,
.
.
.
,
1
,
1
O
O
I
,
1
1
1
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
0
0
0
0
O
O
O
O
O
T
q
q
(2.11)
va
41
KI
IK
Agar
G
-musbat aniqlangan ermat matritsasi bo`lsa, uning barch
xarakteristik sonlari musbat bo`ladi. Ammo (2.10)ga asosan
G
ning
xarakteristik sonlari
1
,
.
.
.
,
1
,
,
,
,
1
1
q
q
e
e
e
e
bo`ladi.
Shuning uchun
G
-musbat aniqlangan bo`lganda (2.10) va (2.11) dagi
ishoralar
ishora bilan almashtirilib,
E
O
O
I
1
,
1
,
.
.
.
,
1
,
1
bo`ladi.
Teorema 2.1.
O
-kompleks orthogonal matritsa xar doim quydagi
ko`rinishda tasvirlanadi;
iK
O
Re
(2.12)
bu yerda
R
-xaqiqiy orthogonal matritsa,
K
-xaqiqiy kososimmetrik matritsa
yani
T
T
K
K
K
R
R
R
,
1
(2.13)
Isbot.
Faraz qilaylik (2.12) formula o`rinli bo`lsin. U holda
T
iK
T
R
e
O
O
*
va
iK
iK
T
iK
e
R
e
O
O
2
Re
*
bo`lib,
iK
e
O
O
2
*
(2.14)
tenglikdan
K
matritsani aniqlashimiz mumkin.
K
ni aniqlaganimizdan keyin
(2.12) tenglikdan
R
ni topamiz
iK
e
O
R
(2.15)
U holda
E
Oe
O
e
R
R
iK
iK
*
*
, yani
R
-unitar matritsa bo`ladi.
Ikkinchi tomondan (2.15) dan kelib chiqadiki, ikkita orthogonal matritsaning
ko`paytmasidan iborat bo`lgan
R
matritsa o`zi orthogonal, yani
E
K
R
T
bo`ladi.
42
Demak,
R
bir vaqitning o`zida ham orthogonal, ham unitary bo`ladi,
bundan uni xaqiqiy ortogonalligi kelib chiqadi. (2.15) ni (2.12) ko`rinishda
yozish mumkin.
Lemma 2.2.
Agar
D
matritsa bir vaqitda simmetrik va unitar, yani
1
D
D
D
T
bo`lsa, u xolda u xar doim quydagi ko`rinishda tasvirlanadi.
,
iS
e
D
(2.16)
bu yerda
S
-xaqiqiy simmetrik matritsa, yani
T
S
S
S
Isboti.
V
V
U
U
iV
U
D
,
(2.17)
bo`lsin. U holda
T
T
T
iV
U
D
iV
U
D
bo`lsin
T
D
D
dan
T
T
V
V
U
U
,
kelib chiqadi, yani
U
va
V
lar xaqiqiy
simmetrik matritsalar.
E
D
D
tenglikdan
VU
UV
E
V
U
,
2
2
(2.18)
kelib chiqadi.
U
va
V
matritsalar o`zaro kamutativ bo`lgani uchun ular bir xil
ortogonal almashtirish bilan kanonik ko`rinishga keladi. Shuning uchun
quydagilarni xosil qilamiz:
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
1
2
1
1
2
1
O
t
t
t
O
V
O
s
s
s
O
U
n
n
(2.19)
bu yerda
n
k
t
s
O
O
O
t
k
,
1
,
,
,
1
-xaqiqiy sonlar (2.18) ning birinch
tengligidan
n
k
t
s
k
k
,
1
,
1
2
2
kelib chiqadi. Shuning uchun shunday
n
k
k
,
1
,
xaqiqiy sonlar mavjud bo`lib,
n
k
t
s
k
k
k
k
,
1
,
sin
,
cos
bo`ladi. Bu ifodalarni (2.19) ga qo`yib, (2.17) ga asosan quydagini hosil
qilamiz.
,
,
.
.
.
,
1
1
iS
i
i
e
O
e
e
O
D
n
(2.20)
43
bu yerdan
1
2
1
,
.
.
.
,
,
O
O
S
n
(2.20) dan
T
S
S
S
ekanligi kelib
chiqadi.
Teorema 2.2.
U
-unitar matritsani xar doim quydagi ko`rinishda
tasvirlash mumkin:
,
Re
iS
U
(2.21)
bu yerda
R
-xaqiqiy ortogonal matritsa,
S
-xaqiqiy simmetrik matritsa, yani
T
S
S
S
R
R
R
,
1
(2.22)
Isboti.
(2.21) formuladan
T
iS
T
R
e
U
(2.23)
kelib chiqadi. (2.21) va (2.23) ni xadlab ko`paytirib, (2.22) ga asosan
ni xosil qilamiz
iS
T
e
U
U
2
(2.24)
tenglikdan lemma 2 ga asosan
S
ni aniqlash mumkin. Shundan so`ng
R
matritsani
iS
Ue
R
(2.25)
ko`rinishda aniqlaymiz. U holda
T
iS
T
U
e
R
bo`lib, (2.24), (2.25) va (2.26)
dan
E
Ue
U
e
R
R
iS
T
iS
T
kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan, (2.25) ga asosan,
R
ikkita unitary matritsalar
ko`paymasidan iborat, demak,
R
-unitar matritsa bo`lib, u bir vaqitning
o`zida ham ortogon, ham unitar matritsa bo`ladi. Bundan
R
ning xaqiqiy
matritsa ekanligi kelib chiqadi. (2.25) formulani (2.21) ko`rinishda yozish
mumkin.
Dostları ilə paylaş: |