O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti



Yüklə 3,17 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə20/73
tarix31.12.2021
ölçüsü3,17 Mb.
#81127
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   73
5b1794a00c79b

Isboti. 
  1. 
T
K
  va  
K
 matritsalar  bir  xil  elementar  bo`luvchilariga  ega. 
Ammo 
K
K
K
T
,


    ning    elementar        bo`luvchilari   
.
.
.
,
,
2
1


    larni    
.
.
.
,
,
2
1




larga    almashtirib  xosil  qilinadi.  
       2.    
K
  matritsaning  nol  xarakteristik   soniga  

  ko`rinishdagi  elementar  
bo`luvchilari  
1
b
  ta, 
2

  ko`rinishdagilari  
2
b
  ta,  va  xakozo  bo`lsin. Umuman  
r
b
  barcha  
p

  ko`rinishdagi  elementar  bo`luvchilarni  belgilaymiz.  
,
.
.
.
,
,
4
2
b
b
  
larni  juft  son  ekanini  isbotlaymiz.  
       
K
    matritsaning   
d
    defekti    nol      xarakteristik    sonlarga    mos    keluvchi,  
chiziqli  bog`lanmagan  xos  vektorlar  soniga  teng, ya`ni  
.
.
.
,
,
2


 ko`rinishdagi  
elementan  bo`luvchilar  soniga  teng.  Shuning  uchun   
.
.
.
2
1





d
 
 
 
 
 
        (2.51) 
Teorma 2.6 ga  asosan  
K
  matritsa  rangi  juft  son  bo`lib,  
,
r
n
d


  u  
holda  
d
 son  n  soni  qanday  juftlikka  ega  bo`lsa,  xuddi   shu  juftlikka  ega.  
Shunday  tasdiqni   
.
.
.
,
,
5
3
K
K
    matritsalarning   
.
.
.
,
,
5
3
d
d
    defektlariga    nisbatan  
ham    aytish    mumkin,    chunki    kososimmetrik    matritsaning    toq      darajalari  
yana  kososimmetrik  matritsa  bo`ladi.  Shuning  uchun  
.
.
.
,
,
,
5
3
1
d
d
d
d

lar  bir  
xil  juftlikka  ega.  
Ikkinchi    tomondan   
K
    matritsani  m  darajaga    ko`targanda    bu   
matritsaning  xar  bir  
p

  elementar  bo`luvchisi  pelementar    bo`luvchilarga      yoyiladi,   
m
p

    da  esa  m  ta    elementar  
bo`luvchilarga  yoyiladi.    Shuning    uchun   
.
.
.
,
,
3
K
K
  matritsaning   

  ning   
darajalari    bo`lgan    elementar    bo`luvchilari    soni    quyidagi    formulalar    bilan  
aniqlanadi:  


 
51 




.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
5
4
3
2
,
.
.
.
3
2
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
3






















d
b
d
 
 
        (2.52) 
(2.51)  ni (2.52)  bilan  birga  qarab,  barch  
.
.
.
,
,
,
5
3
1
d
d
d
d

  sonlar  bir  xil  
juftlikka  egaligidan,  
,
.
.
.
,
,
4
2


  lar   juft  sonlar  deb  xulosa  qilamiz. 
Teorema  2.8. 
    Teorema  2.7.    dagi    1.    va  2.        cheklashlarni  
qanoatlantiruvchi    ixtiyoriy    berilgan    elementar    bo`luvchilarga    ega    bo`lgan  
kososimmetrik  matritsa  mavjud.  
Isboti. 
    Avval    ikkita   


P
0



  va      elementar    bo`luvchilarga    ega  
bo`lgan 2p  tartibli.  
 


 
 
,
,
,
,
0
0
0
p
p
pp
H
H
E
E
H
E
H
E
J









  
        (2.53)  
Kvazidiogonal  matritsa  uchun  kososimmetrik   matritsani  topamiz.  
     Buning  uchun  shunday  
T
 almashtirish  matritsasini  izlaymizki,  unda   
 
1
0

T
J
T
pp

 
matritsa  kososimmetrik,  ya`ni  
 
 
 
0
0
1
1
0




T
T
pp
T
pp
T
J
T
T
J
T


 
yoki 
                                          
 
 
 
0
0
0


W
J
J
W
T
pp
pp


   
                            (2.54) 
tenglik  o`rinli  bo`lib,  

W
kososimmetrik  matritsa  
T
  matritsa   bilan  
          
iW
T
T
T
2

   
 
 
 
        (2.55) 
tenglik  orqali  bog`langan.  
      
W
    matritsani    xar    biri   

p
tartibli    bo`lgan    to`rtta        kvadratik    blokka  
ajratamiz: 
                                               







22
21
12
11
W
W
W
W
W
 
U   holda  (2.54)  ni  quydagicha  tasvirlash  mumkin   
        
0
0
0
0
0
22
21
12
11
0
0
0
0
22
21
12
11


































W
W
W
W
H
E
H
E
H
E
H
E
W
W
W
W
T
T




        (2.56) 


 
52 
(2.56) matritsani  tenglamaning  chap  tomonidagi    blok  matritsalar  ustidagi  
amallarni  bajarib,  quydagi  to`rtta  matritsani   tenglamalar  sistemasini  xosil  
qilamiz:  




0
2
,
0
,
0
,
0
2
0
22
22
21
21
12
12
0
11
11










H
E
W
W
H
H
W
W
H
H
W
W
H
H
E
W
W
H
T
T
T
T


 
 
 
        (2.57) 
Malumki,   agar   
A
    va   
B
    matritsalar   umumiy      xarakterstik    sonlarga  
ega    bo`lmasa   
0


XB
AX
  tenglama    faqat   
0

X
    yechimga    ega.    Shunung  
uchun    (2.57)    ning    1-    va    4-    tenglamalaridan   
0
22
11


W
W
    kelib    chiqadi.  
(2.57)  ning  2-  va 3-   tenglamalari  ustida  teorema 2.5 ning    isbotidagidek  
muloxaza  yuritib,   
0
0
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
0
1
0
.
.
.
0
12


V
W
 
 
 
        (2.58) 
ni  aniqlaymiz.  
W
  ning  simmetrik  matritsa  ekanligidan   
V
W
W


12
21
 
ekanligi   kelib  chiqadi.  
  Shunday  qilib,   
 
p
V
V
V
W
2
0
0








   
 
 
                  (2.59) 
   Ammo  §3  da   ko`rsatilganidek  (2.55)   tenglama    qanoatlantiradi,  agarda 
         
 
 
,
2
2
p
p
iV
E
T


   
 
 
                  (2.60) 
bo`lsa.  Bundan   
  
 
 
 
 
 


p
p
iV
E
T
2
2
1
2
1



 
 
 
 
        (2.61) 
Demak,      izlanayotgan    kososimmetrik    matritsa    quydagi    formula    bilan  
topiladi: 


 
53 
 
 
 


 
 
 


 
 
   
   




pp
p
p
pp
pp
pp
p
p
pp
p
p
pp
J
V
V
J
i
J
J
iV
E
J
iV
E
K
T
0
2
2
0
0
0
2
2
0
2
2
0
2
1
2
1














       (2.62) 
  
 
pp
J
0

 va  
 
p
V
2
  larning  o`rniga  (2.53) va (2.59)  dagi  mos   blok  matritsalarni  
qo`yib,  quydagini  topamiz: 
  
 
















































H
H
VH
HV
V
i
VH
HV
V
i
H
H
V
V
E
H
H
E
H
H
i
H
H
H
H
K
T
T
T
T
T
T
pp
0
0
0
2
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0





   (2.63) 
ya`ni   
 
.
0
1
...
0
0
.
0
0
...
2
1
.
...
0
0
.
0
0
...
.
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
0
.
...
0
1
.
2
...
.
0
0
.
...
1
0
.
2
...
.
0
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
0
0
...
2
.
0
1
...
0
0
0
0
...
0
.
1
0
...
0
0
...
...
...
.
...
.
...
...
...
...
...
2
...
0
0
.
0
0
...
0
1
2
...
0
0
.
0
0
...
1
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
i
i
i
i
i
i
i
i
K
pp



















          (2.64) 
Endi   
q

    bitta    elementar    bo`luvchiga    ega    bo`lgan       

q
tartibli   
 
q
K
  
kososimmetrik      matritsani    quramiz,    bu    yerda   

q
toq    son.    Izlanayotgan  
kososimmetrik  matritsa  quydagi  matritsaga  o`xshash  bo`ladi.  
                
 
0
0
...
0
0
0
1
0
...
0
0
0
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
0
...
0
1
0



q
J
 
 
                  (2.65) 
 
                
 
 
1


T
TJ
K
q
q
   
 
 
                  (2.66) 
deb  olib,  kososimmetrik  shartidan  quydagini  topamiz: 


 
54 
 
 
 
,
0
1
1


W
J
J
W
q
q
  
 
 
                  (2.67) 
bu  yerda   
1
2
iW
T
T
T

   
 
 
 
                  (2.68) 
   Bevosita   tekshirib  ko`rib,  ishonch  xosil  qilish  mumkin,  
 
0
0
...
1
...
...
...
...
0
1
...
0
1
0
...
0
1


q
V
W
 
matritsa  (2.67)  tenglamani  qanoatlantiradi.  
1
W
 ni  bunday  tanlab,   (2.68)  dan  
quydagini  topamiz: 
             
 
 
 
 


q
q
q
q
iV
E
T
iV
E
T





2
1
,
1
   
                  (2.69) 
       
   
 


   
 


 
 
 
 
 
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
V
J
J
i
J
J
iV
E
J
iV
E
K
T
T












2
           (2.70) 
mos  xisoblashlarni  bajarib,  quydagini   topamiz: 
 
 
 
 
 
 
                    
 
0
.
.
.
1
0
0
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
1
0
.
.
.
0
.
.
.
.
.
0
.
.
.
0
1
0
.
.
.
1
0
2







i
K
q
 
                  (2.71) 
  
   Teorema  2.7    dagi    shartlarni    qanoatlantiruvchi    ixtiyoriy    elementar  
bo`luvchilar.  
                

 

sonlar
toq
q
q
q
v
k
u
j
v
q
p
j
p
j
k
j
j





,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
2
,
1
,
,
.
.
.
,
2
,
1
,
,
2
1





                (2.72) 
berilgan   bo`lsin.  
  U  holda  kvazidiogonal   kososimmetrik  matritsa. 
 




 
 


v
i
i
i
q
q
p
p
p
p
K
K
K
K
K
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
~
1
1
1
1



 
 
        (2.73) 


 
55 
bo`ladi.  
Natija2.3. 
Ixtiyoriy    kompleks    kososimmetrik   
K
    matritsa    (2.64), 
(2.71), (2.73)  formulalar  bilan  aniqlangan  
K
~
  normal  formaga  ega  bo`lgan  
kososimmetrik    matritsa      ortogonal-o`xshashdir,    ya`ni    shunday      kompleks   
ortogonal  
O
  matritsa  mavjudki,  unda  
  
1
~


O
K
O
K
  
 
 
 
        (2.74) 
Eslatma. 
Agar 

K
xaqiqiy  kososimmetrik   matritsa  bo`lsa,  u  holda  quydagi  
chiziqli  elementar  bo`luvchilarga  ega: 
                                    
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
1
1




ta
v
u
u
i
i
i
i














 

j

xaqiqiy    sonlar.    Bu    holda    (2.73)  da   
1
,
1


k
q
p
j
    deb    olib,    xaqiqiy  
kososimmetrik  matritsa  normal  ko`rinishni  hosil  qiladi:  
 









0
,
.
.
.
,
0
,
0
0
,
.
.
.
,
0
0
~
1
1
i
i
K




 

Yüklə 3,17 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   73




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə