Isboti.
1.
T
K
va
K
matritsalar bir xil elementar bo`luvchilariga ega.
Ammo
K
K
K
T
,
ning elementar bo`luvchilari
.
.
.
,
,
2
1
larni
.
.
.
,
,
2
1
larga almashtirib xosil qilinadi.
2.
K
matritsaning nol xarakteristik soniga
ko`rinishdagi elementar
bo`luvchilari
1
b
ta,
2
ko`rinishdagilari
2
b
ta, va xakozo bo`lsin. Umuman
r
b
barcha
p
ko`rinishdagi elementar bo`luvchilarni belgilaymiz.
,
.
.
.
,
,
4
2
b
b
larni juft son ekanini isbotlaymiz.
K
matritsaning
d
defekti nol xarakteristik sonlarga mos keluvchi,
chiziqli bog`lanmagan xos vektorlar soniga teng, ya`ni
.
.
.
,
,
2
ko`rinishdagi
elementan bo`luvchilar soniga teng. Shuning uchun
.
.
.
2
1
d
(2.51)
Teorma 2.6 ga asosan
K
matritsa rangi juft son bo`lib,
,
r
n
d
u
holda
d
son n soni qanday juftlikka ega bo`lsa, xuddi shu juftlikka ega.
Shunday tasdiqni
.
.
.
,
,
5
3
K
K
matritsalarning
.
.
.
,
,
5
3
d
d
defektlariga nisbatan
ham aytish mumkin, chunki kososimmetrik matritsaning toq darajalari
yana kososimmetrik matritsa bo`ladi. Shuning uchun
.
.
.
,
,
,
5
3
1
d
d
d
d
lar bir
xil juftlikka ega.
Ikkinchi tomondan
K
matritsani m darajaga ko`targanda bu
matritsaning xar bir
p
elementar bo`luvchisi pelementar bo`luvchilarga yoyiladi,
m
p
da esa m ta elementar
bo`luvchilarga yoyiladi. Shuning uchun
.
.
.
,
,
3
K
K
matritsaning
ning
darajalari bo`lgan elementar bo`luvchilari soni quyidagi formulalar bilan
aniqlanadi:
51
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
5
4
3
2
,
.
.
.
3
2
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
3
d
b
d
(2.52)
(2.51) ni (2.52) bilan birga qarab, barch
.
.
.
,
,
,
5
3
1
d
d
d
d
sonlar bir xil
juftlikka egaligidan,
,
.
.
.
,
,
4
2
lar juft sonlar deb xulosa qilamiz.
Teorema 2.8.
Teorema 2.7. dagi 1. va 2. cheklashlarni
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy berilgan elementar bo`luvchilarga ega bo`lgan
kososimmetrik matritsa mavjud.
Isboti.
Avval ikkita
P
0
va elementar bo`luvchilarga ega
bo`lgan 2p tartibli.
,
,
,
,
0
0
0
p
p
pp
H
H
E
E
H
E
H
E
J
(2.53)
Kvazidiogonal matritsa uchun kososimmetrik matritsani topamiz.
Buning uchun shunday
T
almashtirish matritsasini izlaymizki, unda
1
0
T
J
T
pp
matritsa kososimmetrik, ya`ni
0
0
1
1
0
T
T
pp
T
pp
T
J
T
T
J
T
yoki
0
0
0
W
J
J
W
T
pp
pp
(2.54)
tenglik o`rinli bo`lib,
W
kososimmetrik matritsa
T
matritsa bilan
iW
T
T
T
2
(2.55)
tenglik orqali bog`langan.
W
matritsani xar biri
p
tartibli bo`lgan to`rtta kvadratik blokka
ajratamiz:
22
21
12
11
W
W
W
W
W
U holda (2.54) ni quydagicha tasvirlash mumkin
0
0
0
0
0
22
21
12
11
0
0
0
0
22
21
12
11
W
W
W
W
H
E
H
E
H
E
H
E
W
W
W
W
T
T
(2.56)
52
(2.56) matritsani tenglamaning chap tomonidagi blok matritsalar ustidagi
amallarni bajarib, quydagi to`rtta matritsani tenglamalar sistemasini xosil
qilamiz:
0
2
,
0
,
0
,
0
2
0
22
22
21
21
12
12
0
11
11
H
E
W
W
H
H
W
W
H
H
W
W
H
H
E
W
W
H
T
T
T
T
(2.57)
Malumki, agar
A
va
B
matritsalar umumiy xarakterstik sonlarga
ega bo`lmasa
0
XB
AX
tenglama faqat
0
X
yechimga ega. Shunung
uchun (2.57) ning 1- va 4- tenglamalaridan
0
22
11
W
W
kelib chiqadi.
(2.57) ning 2- va 3- tenglamalari ustida teorema 2.5 ning isbotidagidek
muloxaza yuritib,
0
0
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
0
1
0
.
.
.
0
12
V
W
(2.58)
ni aniqlaymiz.
W
ning simmetrik matritsa ekanligidan
V
W
W
12
21
ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib,
p
V
V
V
W
2
0
0
(2.59)
Ammo §3 da ko`rsatilganidek (2.55) tenglama qanoatlantiradi, agarda
,
2
2
p
p
iV
E
T
(2.60)
bo`lsa. Bundan
p
p
iV
E
T
2
2
1
2
1
(2.61)
Demak, izlanayotgan kososimmetrik matritsa quydagi formula bilan
topiladi:
53
pp
p
p
pp
pp
pp
p
p
pp
p
p
pp
J
V
V
J
i
J
J
iV
E
J
iV
E
K
T
0
2
2
0
0
0
2
2
0
2
2
0
2
1
2
1
(2.62)
pp
J
0
va
p
V
2
larning o`rniga (2.53) va (2.59) dagi mos blok matritsalarni
qo`yib, quydagini topamiz:
H
H
VH
HV
V
i
VH
HV
V
i
H
H
V
V
E
H
H
E
H
H
i
H
H
H
H
K
T
T
T
T
T
T
pp
0
0
0
2
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
(2.63)
ya`ni
.
0
1
...
0
0
.
0
0
...
2
1
.
...
0
0
.
0
0
...
.
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
0
.
...
0
1
.
2
...
.
0
0
.
...
1
0
.
2
...
.
0
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
0
0
...
2
.
0
1
...
0
0
0
0
...
0
.
1
0
...
0
0
...
...
...
.
...
.
...
...
...
...
...
2
...
0
0
.
0
0
...
0
1
2
...
0
0
.
0
0
...
1
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
i
i
i
i
i
i
i
i
K
pp
(2.64)
Endi
q
bitta elementar bo`luvchiga ega bo`lgan
q
tartibli
q
K
kososimmetrik matritsani quramiz, bu yerda
q
toq son. Izlanayotgan
kososimmetrik matritsa quydagi matritsaga o`xshash bo`ladi.
0
0
...
0
0
0
1
0
...
0
0
0
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
0
...
0
1
0
q
J
(2.65)
1
T
TJ
K
q
q
(2.66)
deb olib, kososimmetrik shartidan quydagini topamiz:
54
,
0
1
1
W
J
J
W
q
q
(2.67)
bu yerda
1
2
iW
T
T
T
(2.68)
Bevosita tekshirib ko`rib, ishonch xosil qilish mumkin,
0
0
...
1
...
...
...
...
0
1
...
0
1
0
...
0
1
q
V
W
matritsa (2.67) tenglamani qanoatlantiradi.
1
W
ni bunday tanlab, (2.68) dan
quydagini topamiz:
q
q
q
q
iV
E
T
iV
E
T
2
1
,
1
(2.69)
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
V
J
J
i
J
J
iV
E
J
iV
E
K
T
T
2
(2.70)
mos xisoblashlarni bajarib, quydagini topamiz:
0
.
.
.
1
0
0
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
1
0
.
.
.
0
.
.
.
.
.
0
.
.
.
0
1
0
.
.
.
1
0
2
i
K
q
(2.71)
Teorema 2.7 dagi shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy elementar
bo`luvchilar.
sonlar
toq
q
q
q
v
k
u
j
v
q
p
j
p
j
k
j
j
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
2
,
1
,
,
.
.
.
,
2
,
1
,
,
2
1
(2.72)
berilgan bo`lsin.
U holda kvazidiogonal kososimmetrik matritsa.
v
i
i
i
q
q
p
p
p
p
K
K
K
K
K
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
~
1
1
1
1
(2.73)
55
bo`ladi.
Natija2.3.
Ixtiyoriy kompleks kososimmetrik
K
matritsa (2.64),
(2.71), (2.73) formulalar bilan aniqlangan
K
~
normal formaga ega bo`lgan
kososimmetrik matritsa ortogonal-o`xshashdir, ya`ni shunday kompleks
ortogonal
O
matritsa mavjudki, unda
1
~
O
K
O
K
(2.74)
Eslatma.
Agar
K
xaqiqiy kososimmetrik matritsa bo`lsa, u holda quydagi
chiziqli elementar bo`luvchilarga ega:
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
1
1
ta
v
u
u
i
i
i
i
j
xaqiqiy sonlar. Bu holda (2.73) da
1
,
1
k
q
p
j
deb olib, xaqiqiy
kososimmetrik matritsa normal ko`rinishni hosil qiladi:
0
,
.
.
.
,
0
,
0
0
,
.
.
.
,
0
0
~
1
1
i
i
K
Dostları ilə paylaş: |