O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti



Yüklə 3,17 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə25/73
tarix31.12.2021
ölçüsü3,17 Mb.
#81127
1   ...   21   22   23   24   25   26   27   28   ...   73
5b1794a00c79b

n
n
n
D
D
i
D
D
i
 
shu    bilan    birga   




,
k
D
  va   




,
j
i
  lar   

  va 

  larga      nisbatan    bir  jinsli   
ko`phadlardir.    Invaryant      ko`phadlarni   
K
  maydonda      keltirilmaydigan      bir  


 
64 
jinsli    ko`phadlarga    yoyib,           
B
A



  dastani   
K
  maydondagi  

 

,
.
.
.
2
,
1
,





l
 elementar   bo`luvchilarini   hosil   qilamiz. 





,
l
da 
1


 deb  olib, 
B
A


 dastani  
 


l
  elementar   bo`luvchisiga  
kelamiz.    Aksincha  ,   
B
A


  dastaning    har    bir   

q
darajali 
 


l
  elementar   
bo`luvchisidan  
















l
l
q
,
 
formula  yordamida  





,
l
  elementar   bo`luvchini  hosil  qilamiz .Shunday 
qilib, 
B
A



    dastaning   
q

    ko`rinishdagidan      boshqa      barcha      elementar   
bo`luvchilarini   hosil   qilishimiz   mumkin.     
q

 korinishdagi  elementar   bo`luvchilar  faqat   va  faqat 
0

B
 dagina   
mavjud   bo`lib , ular  
B
A


 dasta   uchun    “cheksiz”   elementar   bo`luvchilar  
degan   nom  bilan   ataladi.  
    
B
A


  va 
1
1
B
A


        dastalarning    qat’iy    ekvivalentligidan   
B
A



  va 
1
1
B
A



      dastalarning    ham    qa`tiy    ekvivalentligi      kelib    chiqadi,    shuning  
uchun  
B
A


 va 
1
1
B
A


 qa`tiy  ekvivalent  dastalarda  nafaqat  “chekli” , balki 
“cheksiz”  elementar   bo`luvchilar  ham  ustma-ust  tushadi.  
    
Endi  bizga  barcha  elementar  bo`luvchilari  ustma-ust  tushgan   
B
A


 
va 
1
1
B
A


        regulyar        dastalar    berilgan    bo`lsin.    Bir    jinsli    parametrlarni   
kiritib,   
B
A



  va 
1
1
B
A



    larni    xosil    qilamiz.    Bu    parametrlarni  
quyidagicha  almashtiramiz: 
                 










~
~
~
~
2
1
2
1




                    


0
1
2
2
1






 
Yangi  parametirlarda  dastalar  
1
1
~
~
~
~
,
~
~
~
~
B
A
B
A






  ko`rinishda  yozib,  bu yerda                            
.
~
,
~
1
1
1
1
1
1
1
B
A
B
B
A
B








 
   
B
A



 va 
1
1
B
A



  dastalarining    reguiyarligidan  kelib  chiqadiki,  
1

 
va 
1

  larni   
0
~
,
0
~
1


B
B
    shatlarni    qanoatlantiradigan          qilib  tanlash  
mumkin.  Shuning    uchun    teorema  3.1  ga    asosan   
B
A
~
~
~
~



  va 
1
1
~
~
~
~
B
A



  
dastalar,  demak  
B
A



 va 
1
1
B
A



  yoki  
B
A


 va 
1
1
B
A


    dastalar  ham  


 
65 
qa`tiy    ekvivalentdir.    Shunday    qilib,      biz  teorema  3.1  ning      quyidagi  
ummumlashganiga  keldik.   
 
Teorema 3.2.  
B
A


  va 
1
1
B
A


        dastalar   qa`tiy    ekvivalent   bo`lishi  
uchun    bir    xil    va    faqat    bir    xil    (“chekli”  va    “cheksiz”)    elementar  
bo`luvchilarga  ega  bo`lishi  zarur  va  yetarlidir.  
Yuqorida  ko`rilgan  misolda  (3.3)  dastalar bir  xil  “chekli”   elementar  
bo`luvchilarga  ega    ammo  “cheksiz”        elementar  bo`luvchilari  xar-xil,    ya`ni   
birinchi    dasta    bitta   
2

  elementar    bo`luvchiga,    ikkinchisi    esa    ikkta 


,
  
elementar  bo`luvchilarga  ega.  Shuning  uchun  bu dastalar  qa`tiy  ekvivalent  
emas.  
Endi 
B
A


 ixtiyoriy  regulyar  dasta  bo`lsin.  U  holda   shunday c soni  
mavjudki,    unda   
0


сB
A
  bo`ladi.    Berilgan    dastani   


,
1
B
с
A



  bu  yerda  
,
0
,
1
1



A
сB
A
A
    ko`rinishda    tasvirlaymiz.    Bu    dastani    chapdan   
1
1

A
  ga  
ko`paytirib   quyidagi ko`rinishdagi  dastalarni   xosil  qilamiz. 
         




 

1
1
0
0
1
0
1
1
,
,
J
сJ
E
J
сJ
E
J
J
с
E
B
A
с
E















 
(3.4) 
bu yerda


B
A
J
J
1
1
1
0
,


 matritsaning kvazidiogonal  normal  formasi, 

0
J
Jordon  
nil`potent  matritsasi  va  
.
0
1

J
 
   (3.4)  ning    o`ng    tomonidagi    birinchi    dioganal    biokni 
1
0
)
(


J
c
E
  ga 
ko’paytiramiz. Bu yerda 
𝜆 
oldidagi koeffisiyent  nil`potent  (qandaydir  darajasi  
nolga  teng)  matritsa.  Shuning  uchun   o`xshash  almashtirish  bilan bu dastani  
quyidagi ko`rinishga    keltirish  mumkin.  
 
   
 
 
 


 
 
 


i
i
i
s
i
i
i
H
E
N
N
N
N
J
E






,
,
.
.
.
,
,
ˆ
ˆ
2
1
0
 
          (3.5) 
 
Teorema3.3.
 Ixtiyiriy  
B
A


  dasta  quyidagicha  kvazidiogonal  kanonik  
ko`rinishga keltirilishi  mumkin.  
 
 
 
 
 


 
 
 


i
i
i
s
i
i
i
H
E
N
E
J
N
N
N





,
,
,
.
.
.
,
,
2
1
   
         (3.6) 
bu  yerda  birinchi  s ta  dioganal  blok  
B
A


dastaning  
s
i
i
i



,
.
.
.
,
,
2
1
 cheksiz  
elementar  bo`luvchilarga  mos  kelib,  oxirgi  
E
J


 dioganal  blok   berilgan   
dastaning  chekli  elementar  bo`luvchilari  bilan  bir  qiymatli  aniqlanadi.  


 
66 
 
 
§3. Singulyar  dastalar. Keltirish  xaqida  teorema.
 
n
m

    o`lchovli   


B
A

matritsalarning singulyar    dastasini   qaraylik. 
r
 
bilan  dastaning  rangini,  ya`ni  aynan nolga teng  bo`lmagan  minorlarning  eng  
yuqori  tartibini   belgilaymiz. Dastaning  singulyarligidan  kelib  chiqadiki,   xar  
doim  
n
r

  yoki  
m
r

  bo`ladi. 
n
r

 bo`lsin, u  holda  





B
A
matritsaning  
ustunlari  chiziqli  bog`langan bo`ladi,   
ya`ni 
 
 
 
 
 


,
0


X
B
A

 
 
 
 
 
(3.7) 
bu  yerda 

x
izlanayotgan    ustun,    tenglama    nolmas    yechimga    ega.  Bu  
tenglamaning        xar  bir    nolmas      yechimi   





B
A
matritsaning    ustunlari  
orasidagi  qandaydir     chiziqli  bog`lanishni  ifodalaydi. Biz  (3.7)  tenglamani  
faqat   

  ning      ko`pxadlari      bo`ladigan.   
 

x
  yechimlarni    qarash    bilan  
chegaralanamiz.  Bunday      yechimlar    ichidan    eng      kichik   

  darajalisini  
olamiz. 
 
 


0
1
.
.
.
2
2
1
0















x
x
x
x
x
x
 
 
 
(3.8) 
   Bu  yechimni    (3.7)    tenglamaga    qo`yib,   

  darajaning      oldidagi    
koeffitsentlarni  nolga  tenglab,  quydagilarni  xosil  qilamiz: 
 
,
0
,
0
,
.
.
.
,
0
,
0
,
1
2
1
1
0
0











Bx
Ax
Bx
Ax
Bx
Ax
Bx
Ax
 
 
(3.9) 
Bu  tengliklar  sistemasini  
 


x
x
x
x
1
,
.
.
.
,
,
,
2
1
0


 ustun   elementlariga  nisbatan    
chiziqli  birjinsli    tenglamalar  sistemasi  sifatida  qarab,   shunday   xulosaga  
kelamizki,  bu  sistema  koyffitsiyentlaridan  tuzilgan  quyidagi  matritsa.  
                      



 

 

1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.








B
O
O
A
O
O
O
B
O
O
A
B
O
O
A
B
A
M
M
 
     
                  (3.10) 


n
1





 rangga  ega.  Shu  bilan  birga 

  sonining   minimallik  xossasiga  
ko`ra  quyidagi  matritsalarning 
 


 
67 
 

 

 



B
O
O
A
O
O
O
A
B
O
O
A
M
B
O
A
B
O
A
M
B
A
M
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
,
1
1
0




 
                (3.10`) 
1
1
,
.
.
.
,




  ranglar  uchun    quyidagi   tengliklar   o`rinli. 
 
 
 
.
,
.
.
.
,
2
,
1
1
0
n
n
n









 
Shunday    qilib, 

  son   


n
k
k
1



    munosabatni      qanoatlantiruvchi   
K
 
indeksning  eng  kichik  qiymati. 
Teorema 3.4.
  Agar (3.7)   tenglama  
0


  minimal  darajali  yechimga  
ega    bo`lsa,    u    holda    berilgan 
B
A


    dasta    quyidagi    dastaga    qa`tiy  
ekvivalent   boladi.  
 
 
                   
B
A
L
ˆ
ˆ
0
0



  
 
 
 
        (3.11) 
bu  yerda  
 
 
 
 















1
1
.
.
.
0
0
0
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.
0
1









L
   
 
 
       (3.12) 


B
A

matritsalarning        shunday      dastasiki,    unga  mos    (3.7)ga    o`hshash   
tenglama  

 dan  kichik  darajali  yechimga  ega  emas. 
Isboti. 
  Teoremaning    isbotini    quyidagi    uch    bosqichda    amalga  
oshiramiz. 
     1. Berilgan  
B
A


  dastani   quyidagi  
 
 
 
 
         
B
A
F
D
L
0





 
    
 
                  (3.13) 
dastaga    qa`tiy    ekvivalentligini    ko`rsatamiz    bu    yerda   

,
ˆ
,
ˆ
,
,
B
A
F
D
mos  
o`lchovli  to`g`ri  to`rtburchakli  o`zgarmas   matritsalar.   
     2.  


0
ˆ
ˆ


x
B
A

  tenglama  

 dan  kichik  darajali  yechimga  ega  emasligini  
ko`rsatamiz. 


 
68 
     3.  (3.13)    dastani    (3.11)    kvazidiogonal    ko`rinishga    keltirish    mumkin  
ekanligini  ko`rsatamiz.  
   1.    Isbotning    birinchi    qismini    geometrik    shakilda    amalga    oshiramiz.  
Buning    uchun   
B
A


-matritsalar    dastasi    o`rniga   
n
R
    fazoni     
m
R
    fazoga  
akslantiruvchi   
B
A


operatorlar      dastasini    qaraymiz    va    bu    fazolarning    
tanlangan    bazislarida  
B
A


  operator (3.13) formaga  egaligini  ko`rsatamiz. 
    (3.7)  tenglama  o`rniga    quyidagi  vektor  tenglamani   
 
 
 
 
 


0


x
B
A

  
 
 
 
       (3.14) 
va  vektor  yechimni  
 
 
 
 
 







x
x
x
x
x
1
.
.
.
2
2
1
1
0






 
                 (3.15) 
olamiz.    Bu    holda    (3.9)    tengliklar      quyidagi      vektor      tengliklar    bilan  
almashadi. 
 
 
0
,
,
.
.
.
,
,
,
0
1
1
2
0
1
0









x
B
x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
A
         (3.16) 
    Quyidagi  vektorlarni  chiziqli  bog`liqmasligini  isbotlaymiz:  
 
 
 
 
 

x
A
x
A
x
A
,
.
.
.
,
,
2
1
  
 
 
       (3.17) 
Bundan,   
 
 
 
 
 

x
x
x
,
.
.
.
,
,
1
0
 
 
 
 
       (3.18) 
vektorlarni   chiziqli  bog`liqmasligi  kelib   chiqadi. 
   Xaqiqatan,  
0
0

x
A
 
0
.
.
.
1
1
0
0






x
a
x
a
x
a
  tenglikdan 
0
.
.
.
1
1
0
0






x
A
a
x
A
a
x
A
a
  tenglikni   
xosil      qilamiz.    (3.17)    vektorlarni    chiziqlik      bog`liq    emasligidan  
0
.
.
.
1
1





a
a
a
  kelib    chiqadi.    Ammo   
,
0
0

x
  chunki,    aks    xolda   
 


x
1
  
(3.14)  tenglamani 
1


 darajali  yechimi  bo`lib  qoladi,   bu   bo`lishi  mumkin  
emas(

ni minimal  darajali ekanligiga  zid).   Shuning  uchun  
.
0
0

a
   
       Agar   mos   ravishda  
𝑅
𝑚
 va  
𝑅
𝑛
 da  yangi  bazislar   uchun,   (13.17)   va  
(3.18)      vektorlarni    birinchi      bazis    vektorlar    deb    qabul    qilsak,    u    holda  


 
69 
(3.16)  ga   ko`ra  yangi  bazisda 
A
 va 
B
 operatorlarga   quyidagi  matritsalar  
mos  keladi. 
 
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
0
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
1
0
0
0
...
0
1
0
~
1












A
 
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
0
0
...
0
0
...
...
...
...
...
1
0
...
0
0
0
1
...
0
0
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
...
0
1
~
1












B
 
u  holda 




B
A
~
~
matritsa  (3.13)  ko`rinishga  ega   bo`ladi.   
Barcha  avvalgi    muxokamalar    asoslangan    bo`ladi,   agarda     biz    (3.17)  
vektorlarni    chiziqli    bog’liq    emasligini    ko’rsata    olsak.    Teskarisini    faraz  
qilamiz,  ya’ni  




1
h
x
A
h
(3.17)  qatordagi  ozidan  avvalgi  vektorlar  orqali  
chiziqli  ifodalangan   birinchi  vektor  bo’lsin, 
 
 
 
1
2
1
1
2
1
.
.
.
x
A
x
A
x
A
x
A
h
h
h
h










  
    (3.16) ga  ko’ra  bu   tenglikni   quyidagicha  yozishimiz  mumkin: 
 
 
 
,
.
.
.
0
3
2
2
1
1
1
x
B
x
B
x
B
x
B
h
h
h
h











 
ya’ni  
 
 
 
 
0
*
1


h
x
B
 
bu  yerda 
 
 
 
,
.
.
.
0
1
3
2
2
1
1
1
*
x
x
x
x
x
h
h
h
h
h













 
yana  (3.16) ga  ko’ra  
 
 
 


,
.
.
.
*
*
2
0
2
2
1
2
1










h
h
h
h
h
x
B
x
x
x
B
x
A


 
bu  yerda  
  
 
 
,
.
.
.
0
2
2
1
2
2
*
x
x
x
x
h
h
h
h










 
  Bu  jarayonni  davom  ettirib,  quydagi  vektorlarni  xosil   qilamiz: 
 
          
0
0
0
1
1
1
0
3
3
1
3
3
*
*
*
,
,
.
.
.
,
.
.
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
h
h
h
h














 
Natijada  quydagi  tengliklar  hosil  bo`ladi: 


 
70 
 
 
0
,
,
,
.
.
.
,
,
0
*
*
*
*
*
*
0
1
1
2
1
1







x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
h
h
h
   
        (3.19) 
(3.19) dan  kelib  chiqadiki,  
 
 
 
 
 















0
1
.
.
0
0
1
1
1
0
*
*
*
*
*
x
x
x
x
x
x
h
h


 
(3.14)  tenglamani 



1
h
 darajadan    ortmaydigan  nolmas  yechimi  bo`lib,  
qarama-qarshilikka  kelamiz.  
Shunday  qilib  (3.17) vektorlar  chiziqli  bo`liq  emas.  
      2.    Endi 


0
ˆ
ˆ
ˆ


x
B
A

    tenglamani   

dan    kichik    darajali    yechimga    ega  
emasligini isbotlaymiz.  Avval  etiborimizni 
0

y
L

 tenglama  (3.7)   tenglama  
kabi      eng    kichik    darajali    nolmas    yechimga    ega    ekanligiga    qaratamiz.  
Bunga  
0

y
L

 tenglamani   
 
 
,
0
,
.
.
.
,
0
,
0
1
3
2
2
1












y
y
y
y
y
y
 
 
 


 
1
,
.
.
.
,
2
,
1
,
1
,
,
.
.
.
,
,
1
1
1
1
2
1











k
y
y
y
y
y
y
k
k
k
T
  
oddiy    tenglamalar  sistemasi    bilan    almashtirib    ishonch    xosil    qilishimiz  
mumkin.   
        Ikkinchi  tomondan,   agar  dasta  (3.13)  ,,uchburchak’’  ko`rinishga  ega  
bo`lsa,  u  holda  bu  dastaga  mos  keluvchi 



.
.
.
,
2
,
1

k
M
k
 matritsalar ham 
satr    va    ustunlarini    kerakli    almashtirishlardan    so`ng    quydagi  uchburchak  
ko`rinishga  keltirilishi  mumkin:  
 
 
 
 
 




B
A
M
O
F
D
M
L
M
k
k
k
ˆ
ˆ





 
 
 
 
        (3.20) 
1



k
 da  bu  matritsaning  barcha  ustunlari,  jumladan  
 


L
M
1

 matritsaning  
ustunlari  chiziqli  bog`liq  emas.  Ammo   
 


1
1







L
M
   tartibli   kvadrat  
matritsa.    Shuning    uchun   


B
A
M
ˆ
ˆ
1




  matritsaning        ham    barcha    ustunlari  
chiziq`li  bog`liq  emas  bo`lib, 


0
ˆ
ˆ
ˆ


x
B
A

  tenglama   

 dan   kichik     darajali  
yechimga  ega  bo`lmaydi.  
        3. (3.13)  dastani  unga  qat’iy  ekvivalent  bo’lgan   quyidagi   dasta  bilan   
almashtiramiz:  
 


 
71 
 


B
A
O
X
L
B
A
Y
F
D
L
E
O
X
E
B
A
O
F
D
L
E
O
Y
E
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
4
3
2
1

















        (3.21) 
bu      yerda   
4
3
2
1
,
,
,
E
E
E
E
  mos    ravishda   
1
,
1
,
,








n
m
    tartibli      birlik  
kvadrat      matritsalar,   

Y
X
,
mos    o`lchovli,    ixtiyori    to`g`ri    to`rtburchakli  
matritsalar.  Teorema  to`la  isbotlangan  bo`ladi,  agarda  
X
 va 
Y
 matritsalarni  
                                 


B
A
Y
F
D
X
L
ˆ
ˆ







 
 
  
 
       (3.22) 
matritsali      tenglikni    qanoatlantiradigan      qilib    tanlash    mumkin      ekanligini  
ko`rsata  olsak.  
    
X
F
D
,
,
    matritsalar    elementlari    uchun,    shundek 
Y
  matritsa    satirlar    va 
B
A
ˆ
,
ˆ
 matritsalar  ustunlari  uchun  quyidagicha   belgilashlar  kiritamiz: 
 
 
,
1
,
1
,
1
,
1
,
,
1
,
,
,












j
n
k
i
x
X
f
F
d
D
jk
ik
ik
 
 
 
 






1
2
1
1
2
1
2
1
,
.
.
.
,
,
ˆ
,
,
.
.
.
,
,
ˆ
,
,
.
.
.
,
,









n
n
T
b
b
b
B
a
a
a
A
y
y
y
Y
 
U    holda    (3.22)  matritsali    tenglamani    quyidagi      skalyar        tenglamalar  
sistemasi bilan  almashtirish  mumkin: 
 
 
    
1
.
.
.
,
2
,
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
1
3
3
3
3
3
4
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
1
2




















































n
k
v
y
a
y
f
d
x
x
v
y
a
y
f
d
x
x
v
y
a
y
f
d
x
x
v
y
a
y
f
d
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
   
 
        (3.23) 
    Bu tengliklarning  chap tomonida  

ga nisbatan  chiziqli  ikkixadlar turibdi.  
Bu birinchi  
1


ta  ikkixadning   ozod  xadi keyingi   ikkixaddagi 

 oldidagi  
koyfitsientga      teng.    U  holda  tengliklarning    o`ng    tomoni    ham    shu    shartni  
qanoatlantirishi    kerak.    Shuning    uchun    quyidagi      tengliklar  o’rinli    bo’lishi  
kerak: 
 
 
 
1
,
.
.
.
,
2
,
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
,
1
1
2
3
3
2
1
2
2
1



















n
k
d
f
v
y
a
y
d
f
v
y
a
y
d
f
v
y
a
y
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
 
 
 
 
        (3.24) 


 
72 
Agar    (3.24)    tengliklar    o’rinli    bo’lsa  ,    u    holda    (3.23)  dan   
X
  
matritsaning  elementlarini   aniqlash  mumkin  bo`ladi.  
Endi    (3.24)   
Y
    matritsaning      elementlariga      nisbatan    tenglamalar  
sistemasi,  ixtiyoriy  
ik
d
 va 
ik
f


1
,
.
.
.
,
2
,
1
,
.
.
.
,
2
,
1






n
k
i
 da har  doim  
yechimga    ega    ekanligini    ko`rsatish    qoldi.    Xaqiqatan, 
.
.
.
,
,
,
4
3
2
1
y
y
y
y


 
noma’lum    elementlar      oldidagi    koeffitsentlardan    tuzilgan      matritsa  
transponirlangandan  so’ng ,  quyidagi  korinishda  yozilishi  mumkin. 
 
 
 
 

 

 

1
ˆ
.
.
.
ˆ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ˆ
.
.
.
ˆ
ˆ
.
.
.
ˆ


B
O
O
A
O
O
O
B
O
O
A
B
O
O
A
 
Ammo    bu    matritsa   


B
A
ˆ
ˆ

to`gri    to`rtburchak    matritsalar      dastasi  
uchun  
2


M
   matritsadan  iborat  bo`lib, uning  rangi  



1
1





n
 ga  teng,  
chunki      isbotlanganiga    ko`ra 


0
ˆ
ˆ


x
B
A

    tenglama   

  dan      kichik    darajali  
yechimga ega  emas.  Shunday  qilib,  (3.24) tenglamalar  sistemasining  rangi  
tenglamalar    soniga    teng,    bunday    sistema      ixtiyoriy    ozod    xadlarda  
birgalashgan  bo`ladi.  
  Teorema  to`la  isbotlandi. 
 
Yüklə 3,17 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   21   22   23   24   25   26   27   28   ...   73




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə