O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§
4. Matritsalar  singulyar  dastasining  kanonik  formasi.
 
 
Matritsaning  
n
m

 o`lchovli  singulyar  dastasi 
B
A


 berilgan  bo`lsin.  
Avval  bu  dastani    ustunlari    va    satirlari    orasida    o’zgarmas    koyffisentli    
chiziqli  bog’langanlari  yo’q  deb  faraz  qilamiz.   
        Dastaning  rangi  
n
r

  bo`lsin,  ya`ni  
B
A


  dastaning  ustunlari  chiziqli  
bog’langan  bo’lsin.  Bu  holda  


0


x
B
A

                                                  
tenglama  
1

  minimal  darajali  nolmas  yechimga  ega  bo’ladi.  U  holda   

---

 
73 
teorema  3.4  ga    asosan        berilgan  dastani    quyidagi    ko`rinishga    keltirish  
mumkin: 
,
1
1
1







B
A
O
O
L


 
bu      yerda   


 
0
1
1
1


x
B
A

      tenglama   
1

  da    kichik    darajali    yechimga    ega   
emas.   
      Agar  tenglama 
2

  minimal      darajali    nolmas    yechimga    ega    bo`lsa,    u  
holda  
1
1
B
A


  dastaga  teorema 3.4 ni    qo’llab  berilgan dastani 
 
 
 
 











2
2
2
1
B
A
O
O
O
L
O
O
O
L



 
ko`rinishga   keltiramiz. 
      Bu  jarayonni  davom   ettirib, berilgan  dastani  quyidagicha  kvazidioganal  
ko`rinishga  keltiramiz:  
 
 
 
p
p
p
B
A
O
o
O
L
O
O
L
O
O
O
L





.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
 
 
 
 
 
        (3.25) 
bu    yerda     


 
0
.
.
.
0
2
1






p
p
p
p
x
B
A




    tenglama      esa  nolmas  
yechimga    ega    emas,  ya`ni   
p
p
B
A


  matritsaning    ustunlari      chiziqli  
bog`lanmagan.   
Agar 
p
p
B
A


  dastaning    satrlari    chiziqli    bog`langan  bo`lsa,    u  holda  
transponirlangan     
T
p
T
p
B
A


  dasta    (3.25)      ko`rinishga      keltirilishi    mumkin  
bo`lib, 
p



,
.
.
.
,
,
2
1
  sonlar    o`rniga   
p
r
r




.
.
.
0
2
1
  sonlar    olinadi.  
Ammo    bu    holda    berilgan 
B
A


  dasta      quyidagicha    kvazidioganal  
ko`rinishga  almashtiriladi. 

---

 
74 
                  
0
0
.
.
.
.
.
.
2
1
2
1
B
A
L
L
L
L
L
L
q
p








                             (3.26)
 
bu    yerda 
𝐴
0
+ 𝜆𝐵
0 
dastaning    satrlari    ham,    ustunlari    ham    chiziqli  
bog`lanmagan,  ya`ni 
𝐴
0
+ 𝜆𝐵
0 
 regulyar  dasta  bo`ladi.   
Endi    umumiy    holni    qaraymiz,    ya`ni    berilgan  dastaning    satrlari    va  
ustunlari    o`zgarmas    koyffitsientli    chiziqli    bog`lanish    bilan    bog`langan  
bo`lishi  mumkin.   
(𝐴 + 𝜆𝐵)𝑥 = 0         𝑣𝑎           (𝐴
𝑇
+ 𝜆𝐵
𝑇
)𝑦 = 0
 
Tenglamalar  o`zgarmas    bog`lanmagan    yechimlari      maksimal    sonini    mos  
ravishda    g  va  h  bilan    belgilaymiz.  Bu    tenglamalarning      birinchisi    o`rniga  
teorema 3.4 ning  isbotidagidek 
(𝐴 + 𝜆𝐵)𝑥 = 0 
 vektor  tenglamani  qaraymiz.   
Bu    yerda 
𝐴  𝑣𝑎  𝐵  
lar 
𝑅
𝑛
  fazoni 
𝑅
𝑚
  fazoga    akslantiruvchi    operatorlar.      Bu 
tenglamaning    chiziqli      bog`lanmagan    o`zgarmas    yechimlarini   
𝑒
1
, 𝑒
2
, …   ,
𝑒
𝑔
  
  orqali  belgilab, ularni 
𝑅
𝑛
 
fazoning  birinchi  bazis   vektorlari  deb  qabul  
qilamiz.      U    holda    mos 
𝐴̃ + 𝜆𝐵̃
      matritsadagi    birinchi  g  ta  ustunda    nollar  
turadi.  
                               
𝐴̃ + 𝜆𝐵̃ = (   0   
⏞
𝑔 𝑡𝑎
  , 𝐴̃ + 𝜆𝐵̃)
 .                                 (3.27) 
   Xuddi        shundek
  𝐴
̃
1
+ 𝜆𝐵̃
1
    dasta    ham    birinchi  h  ta    satrni    nolli  qilish  
mumkin.  U  holda  berilgan  dasta  quyidagi  ko`rinishni  oladi: 

---

 
75 
                            


0
0
0
0
0
B
A
ta
h
ta
g


 ,                                                (3.28)  
bu      yerda   
𝐴
0
+ 𝜆𝐵
0
    dastaning    satr    va    ustunlari    o`zgarmas    koyffitsientli  
chiziqli    bog`lanish    bilan    bog`lanmagan. 
𝐴
0
+ 𝜆𝐵
0
  dastaga      (3.26) 
ko`rinishdagi    tasvirlashni    qo`llash    mumkin.    Sunday    qilib,    eng    umumiy  
holda  A
+𝜆𝐵
    dasta    har  doim    quyidagi  kanonik      kvazidioganal    ko`rinishga   
keltirilishi  mumkin. 
 
{ℎ 𝑡𝑎 {   0   
⏞
𝑔 𝑡𝑎
 ,   𝐿
𝜀
𝑔+1
, …   , 𝐿
𝜀
𝑝
 , 𝐿
𝜂
ℎ+1
𝑇
 , …    , 𝐿
𝜂
𝑔
𝑇
, 𝐴
0
+ 𝜆𝐵
0
}}
           (3.29) 
  (3.29)    dagi 
𝐴
0
+ 𝜆𝐵
0
  regulya    dastani    uning    (3.6)    kanonik    ko`rinish  
bilan  almashtirib,  quydagi  kvazidiogonal  matritsani  xosil   qilamiz: 
 
             

 
 















E
J
N
N
L
L
L
L
O
h
s
g
h
ta
u
u
T
T
p
g
g
ta





,
,
...
,
,
,
...
,
,
,
.
.
.
,
,
1
1
1
       
       (3.30) 
bu      yerda    J    matritsa    Jordon  yoki    oddiy  normal    formada, 
𝑁
(𝑢)
= 𝐸
(𝑢)
+
𝜆𝐻
(𝑢)
 . 
(3.30) matritsa 
𝐴 + 𝜆𝐵
  dastaning  eng  umumiy  xoldagi  kanonik  
fo`rmasini  ifodalaydi.