O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti



Yüklə 3,17 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə28/73
tarix31.12.2021
ölçüsü3,17 Mb.
#81127
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   73
5b1794a00c79b
                                              
(3.32) 
bularning  darajalari  mos  ravishda 
                         ε
1

ε
2

ε
3
≤ ⋯
ε
p  
 
                                                   (3.33)
 
bo`ladi.    
Umumiy  xolda  fundamental  yechimlar  qatori 
B
A


  dastaning  berilishi 
bilan  bir  qiymatli  aniqlanmaydi.  Ammo  ikkita  har  xil  fundamental  yechimlar 
qatori  har  doim  bitta    ε
1
,
ε
2
,
ε
3
… ,
ε
p  
darajalar  qatoriga  ega  bo’ladi.  Xaqiqatan, 
(3.32)  bilan  birga 
p



~
,
...
,
~
,
~
2
1
    darajali   
   
.
.
.
,
~
,
~
2
1


x
x
fundamental    yechimlar  
qatorini  qaraymiz.  (3.33)  darajalar  ichida 
   
 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
1
1







n
n
n
g




 
va  shunga  o`xshash  
.
.
.
,
~
,
~
2
1


qatorda 
   
 
.
.
.
~
.
.
.
~
~
.
.
.
~
2
1
1
1
1
~
~
~







n
n
n




 
bo`lsin.  


 
77 
Ko`rinib    turibdiki, 
.
~
1
1



    Ihtiyoriy   
  

1
~
,
.
.
.
,
2
,
1
~
n
i
x
i


    ustun   
   
 



1
2
1
,
.
.
.
,
,
n
x
x
x
    ustunlar    chiziqli  kambinatsiyasidan    iborat,      chunki  aks  
xolda    (3.32)    qatordagi 
 

1
1

n
x
    yechimni      kichikroq    darajali   
 

1
~
x
  yechim   
bilan  almashtirilishi  mumkin  bo`ladi.  Aksincha,  xar  bir 
  

1
,
.
.
.
,
2
,
1
n
i
x
i


 
ustun     
   
 



1
2
1
~
~
,
.
.
.
,
~
,
~
n
x
x
x
    ustunlar    chiziqli    kambinatsiyasidan    iborat  
bo`ladi.  Shuning    uchun   
1
1
~
n
n

  va   
1
~
1
1
1
~



n
n


  .  Xuddi  shunday      muloxaza  
yuritib, 
2
2
~
n
n

 va  
1
2
1
2
~
~



n
n


 ni  xosil  qilamiz  va  xokozo. 
  (3.32)    fundamental    qatordagi    xar    bir 
 

k
x
  yechim 
B
A


    matritsa  
ustunlari    orasida 
k

  darajali    chiziqli    bog`lanishni    beradi 


.
,
.
.
.
,
2
,
1
p
k

 
Shuning    uchun 
p



,
.
.
.
,
,
2
1
  sonlar 
B
A


    dasta    ustunlari    uchun      minimal  
indekslar  deyiladi.  Xuddi   shunday  
B
A


 dasta  satrlari  uchun  
q



,
...
,
,
2
1
   
minimal    indekslar    kiritiladi.    Bunda   


0


x
B
A

    tenglama 


0


y
B
A
T
T

 
tenglama    bilan    almashitirilib, 
q



,
...
,
,
2
1
sonlar    transponirlangan   
T
T
B
A


 
dasta  ustunlari  uchun  minimal indeks  sifatida  aniqlanadi. 
Qat’iy  ekvivalent  dastalar  bitta  va  faqat  bitta  minimal  indeksga  ega. 
Haqiqatan, 2 ta 
B
A


  va  


Q
P
B
A


 ( P va  

Q
xosmas  kvadrat  matritsalar) 
o`xshash   dastalar    berilgan   bo`lsin. Birinchi   dasta    uchun  (3.31)   tenglamani  
o`ngdan P matritsaga   ko`paytirib, quyidagicha  yozamiz: 
   
 
 
 


0
1



x
Q
Q
B
A
P

 
Bundan  ko`rinadiki, (3.31)  tenglamaning  barcha  yechimlari  chapdan  
1

Q
ga  
ko`paytirilgandan  so`ng 
   
 
 
 


0


x
Q
B
A
P

  
tenglama  yechimlarining  to`la  sistemasini  beradi. 
Shuning  uchun 
B
A


  va  


Q
p
B
A


 dastalar  ustunlar  uchun  bir  xil minimal  
indekslarga  ega. 
Satrlar    uchun    minimal  indekslarni    ustma-ust    tushishi    transponirlangan  
dastalarga o`tish  bilan ko`rsatiladi. 


 
78 
 
Kanonik kvazidiogonal matritsalar 
   
 
 
















0
0
1
1
,
,
...
,
,
,
.
.
.
,
,
B
A
L
L
L
L
O
h
T
T
p
g
g
ta
q
h
ta





 
        (3.34) 
uchun minimal  indekslarni  xisoblaymiz.


0
0
B
A

(3.6) normal  formaga ega  
bo`lgan  regulyar  dasta. 
Kvazidional    matritsa    ustunlari    (satrlari)  uchun    minimal    indekslarning  
to`la    sistemasi,    mos    alohida    diagonal    bloklar    minimal    indekslar  
sistemalarini  birlashtirish  bilan  hosil  qilinadi. 

L
 matritsa  ustuni  uchun  faqat  
bitta 

    indekisga    ega,  satri    uchun  esa    bitta   

    indeksga    ega    bo`lib,    bu  
matritsa  ustunlari  chiziqli  bog`liq  emas. 


0
0
B
A

 regulyar  dasta  umuman  
minimal indekslarga  ega emas. Shuning uchun  (3.34) matritsa  ustunlari  uchun   
   
 
 
p
g
g





,
.
.
.
,
0
.
.
.
1
2
1





 
satrlari  uchun 
q
h
h





,
.
.
.
,
0
.
.
.
1
2
1





 
minimal  indekslarga   ega. 
      

L
  matritsa    elementar    bo`luvchilarga    ega    emas,    chunki    maksimal 
tartibli  minorlari 1ga  yoki  


 teng bo`ladi. Bu  tasdiq  
T
L

 matritsa uchun ham  
o`rinli.    Shuningdek    kvazidiogonal    matritsa    elementar    bo`luvchilari    uchun  
alohida   olingan diagonal   bloklri   elementar  bo`luvchilarni  birlashtirib   hosil  
qilinadi,    shuning  uchun    (3.34) 


matritsa    elementar    bo`luvchilaari    uchun  
0
0
B
A


 regulyar  yadrosi  elementar  bo`luvchilari  bilan  ustma-ust  tushadi.  
 (3.34)  dastaning  kanonik  formasi  minimal   indeslar   
q
p





,...,
,
,
,
.
.
.
,
2
1
1
  
va  bu  dastalar  yoki unga  qat’iy  ekvivalent  bo`lgan  
B
A


 dasta  elementar  
bo`luvchilari      bilan    to`la    aniqlanadi.    Shuningdek,    bir    xil  kanonik  formaga 
ega  bo`lgan    ikkita    dasta    o`zaro    qat’iy    ekvivalent    bo`ladi.    U    holda  biz  
quyidagi  teoremani isbotladik: 
 
Teorema  3.5. 
(Kroneker    teoremasi)  Ixtiyoriy    bir    xil    m
x
n      o`lchovli  
to`g`ri  to`rtburchakli    matritsalarning   
B
A


  va 
1
1
B
A


  dastalari    qat’iy 


 
79 
ekvivalent  bo`lishi  uchun  bu  dastalar  bir  xil minimal indekslarga  va  bir xil  
elementar (chekli  yoki  cheksiz)  bo`luvchilarga ega  bo`lishi zarur  va  yetarli. 
   
  Misol 
 
tariqasida 
2
0
,
2
,
1
,
0
3
2
1
3
2
1












 
minimal  
indekslarga    va   


3
2
2
,
2
,




    elementar    bo`luvchilarga    ega    bo`lgan 
B
A


 
dastaning  kanonik  formasini  yozamiz: 
                  
 














































2
0
1
2
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0











 
 
   
 
§6. Kvadratik formalarining singulyar  dastasi.
 
   Quyidagi  ikkita  kompleks    kvadratik  formalar   berilgan  bo`lsin: 
   
 
 






n
k
i
k
i
ik
n
k
i
k
i
ik
x
x
b
x
x
B
x
x
a
x
x
A
1
1
,
,
,
,
,
   
 
        (3.36) 
bular   
 
 
x
x
B
x
x
A
,
,


    kvadratik    formalar    dastasini    tashkil    qiladi.  Bu   
formalar  dastasiga 


B
B
A
A
B
A
T
T



,

 simmetrik  matritsalar  dastasi  mos  
keladi.  Agar 
 
 
x
x
B
x
x
A
,
,


    kvadratik    formalar    dastasida    o`zgaruvchilarni 


0


T
Tz
x
  chiziqli    almashtirishni    qo`llasak,    u    holda 
 
 
z
z
B
z
z
A
,
~
,
~


 
almashtirilgan  formalar  dastasiga  quyidagi  matritsalar dastasi mos  keladi. 
   
 


T
B
A
T
B
A
T





~
~
 
 
 
 
 
        (3.37) 
bu  yerda  


n
T
tartibli,  o`zgarmas,  xosmas  kvadrat  matritsa. 


 
80 
 Ikkita    (3.37)  ayniyat    bilan    bog`langan 
B
A


va 
B
A
~
~


matritsalar  
dastalari  o`zaro  kongruyent  deyiladi. 
  Ma`lumki, 
kongruyentlik 
matritsalar 
 
dastalarining 
 
qat`iy   
ekvivalentligini  maxsus  xususiy holi  bo`ladi. Agar  matritsalar  simmetrik   
( yoki  kososimmetrik) bo`lsa, kongruyentlik  tushunchasi  qat’iy  ekvivalentlik  
tushunchasi  bilan ustma-ust  tushadi. 
Teorema  3.6.
  Ikkita    qat’iy  ekvivalent  kompleks    simmetrik  (yoki 
kososimmetrik) matritsalar dastasi  o`zaro kongruyent  bo`ladi. 
Isboti. 
.  Ikkita   
B
A




va   
B
A
~
~
~




qat’iy  ekvivalent    simmetrik 
(yoki  kososimmetrik )  matritsalar  dastasi  berilgan  bo`lsin; 
                      


0
,
0
;
~
~
,
~













Q
P
Q
P
T
T
 
 
      (3.38) 
Transponirlangan  matritsalarga  o`tib , quyidagini  xosil  qilamiz: 
   
 
 
.
~
T
T
P
Q



.  
 
 
 
 
        (3.39) 
(3.38) va  (3.39)  dan quyidagini  topamiz: 
   
 
 





T
T
Q
P
QP
1
1
   
 
 
 
        (3.40) 
   
 
 
1


T
QP
U
   
 
 
 
 
        (3.41) 
deb  olib, (2.40)  ni  quyidagicha  yozamiz:  
   
 
 



T
U
U
   
 
 
 
 
        (3.42) 
(3.42)  dan  quyidagilar  kelib  chiqadi: 
   
 
 


.
.
.
,
1
,
0
,




k
U
U
k
T
k
 
va  umumiy  xolda 
   
 
 



T
S
S
   
 
 
 
 
        (3.43) 
bu  yerda 
   
 
 
 
U
f
S

 
 
 
 
 
 
        (3.44) 
 



f
ga    nisbatan    ixtiyoriy    ko`phad.  Faraz    qilaylik    bu    ko`phad  
shunday  tanlanganki, unda 
.
0

S
 U  holda  (3.43)dan  quyidagini  topamiz: 
   
 
 
1




S
S
T
 
 
 
 
 
        (3.45) 

uchun  olingan ifodani  (3.38) ga  qo`yib, quyidagiga  ega bo`lamiz: 


 
81 
   
 
 
Q
S
PS
T
1
~




 
 
 
 
 
        (3.46) 
  Bu  munosabat  konkruent    almashtirish  bo`lishi  uchun    quyidagi    tenglik  
bajarilishi  kerak: 
   
 
 
 
Q
S
PS
T
1


 
buni  quyidagicha   yozish  mumkin: 
   
 
 
U
QP
S
T



1
2
 
Ammo 
 

f
 sifatida  
U
 matritsa  spektorida  

 interpolyatsion  ko`phadni 
olsak, 
 
U
f
S

  bu tenglamani  qanoatlantiradi.  Buni  qilish   mumkin, chunki  
ko`p    qiymatli 

   
U
  matritsa    spektrida    bir  qiymatli    tarmoqqa    ega, 
shuningdek 
0

U
 
   Bundan keyin (3.46) tenglik  kongruentlik  sharti  bo`ladi: 
   
 
 












Q
QP
SQ
T
T
T
T
T
1
~
 
 
        (3.47) 
    Bu  isbotlangan    teorema  va  teorema  3.5.    dan    quyidagi    natija    kelib  
chiqadi: 
 
Natija3.1:
  Ikkita  
 
 
x
x
B
x
x
A
,
,


  va  
 
 
x
x
B
x
x
A
,
~
,
~


   kvadrat formalar  
dastasi   


0


T
Tz
x
  almashtirish    bilan    bir-biriga    o`tkaziladi,  shunda    va  
faqat  shunda,  qachonki  
B
A


va 
B
A
~
~


 simmetrik  matritsalar  dastalari  bir 
xil  elementar  bo`luvchilarga   va  bir  xil  minimal  indekslarga  ega  bo`lsa. 
Eslatma
.  Simmetrik    matritsalar    dastasi    uchun    satrlar    va    ustunlar    bir  
xil  minimal  indekslarga   ega, ya`ni 
   
   
   
p
p
q
p










,
...
,
,
,
2
2
1
1
 
 
 
        (3.48) 
 Quyidagicha  savol  qo`yamiz : Ikkita 
   
 
 






n
k
i
k
i
ik
n
k
i
k
i
ik
x
x
b
x
x
B
x
x
a
x
x
A
1
1
,
,
,
,
,
   
ixtiyoriy  kompleks  kvadratik  formalar  berilgan. Qanday  shartlar  bajarilganda  


0


T
Tz
x
  o`zgaruvchilarni    xosmas    almashtirish    bilan    bu    formalarni   
bir  vaqtning  o`zida. 


 
82 
   
 
 


n
i
i
i
z
a
1
2
     va       
2
1
1
z
b
n
i
i


   
 
 
        (3.49) 
Kvadratlar  yig`indisiga  keltirish  mumkin? 
Shunga  o`xshash  savolni  ikkita 
 
x
x
A
,
 va 
 
x
x
B
,
 Ermit  formalar  uchun  
ham  qo`yish  mumkin, ammo  bu  holda (3.49) ni  o`rniga   quyidagini  yozish  
kerak  bo`ladi. 
   
 
 


n
i
i
i
i
z
z
a
1
     va       
i
i
n
i
i
z
z
b


1
 
 
 
        (3.50) 
bu  yerda  
i
a
  va  




n
i
b
i
,
.
.
.
,
2
,
1
haqiqiy    sonlar . 
  Faraz    qilaylik, 
 
x
x
A
,
  va 
 
x
x
B
,
    kvadratik    formalar    ko`rsatilgan  
xossalarga  ega  bo`lsin.  U  holda  
B
A

 matritsalar  dastasi  quyidagi  dioganal  
matritsalar dastasi  kongurent  bo`ladi: 
   
 
 


n
n
b
a
b
a
b
a






,
.
.
.
,
,
2
2
1
1
   
 
       (3.51) 
i
i
b
a


  dioganal    ko`phadlarning   


n
r
r

  tasi  aynan    no`lga    teng    emas  
bo`lsin.  Umumiylikni   buzmasdan  quyidagicha  deb  olamiz: 


.
,
.
.
.
,
1
,
0
,
.
.
.
,
0
1
1
n
r
n
i
b
a
b
a
b
a
i
i
r
n
r
n











 
   
 


n
n
r
n
r
n
b
a
b
a
B
A











,
.
.
.
,
1
1
0
0
 
deb  olib, (3.51) ni  quyidagicha  yozamiz: 
   
 
 
 











0
0
,
B
A
O
ta
r
n

   
 
 
       (3.52) 
(3.52)ni    (3.34)  bilan  solishtirib,  ko`ramizki,  bu    holda   barcha   minimal  
indekslar    nolga    teng.    Bundan  tashqari  barcha    elementlar    bo`luvchilar  
birinchi  darajaga  ega. 
   Biz  quyidagi  teoremaga  keldik
  
Teorema  3.7.
  Ikkita 
 
x
x
A
,
  va 
 
x
x
B
,
    kvadratik    formalar    bir    vaqtda  
o`zgaruvchilarni  almashtirish  bilan  kvadlar  yigindisiga  keltirilishi  mumkin, 
faqat    va    faqat    shu    holda  ,  qachonki, 
B
A


  matritsalar    dastasida    barcha  
elementar  bo`luvchilar  birinchi  darajali  bo`lib ,  barcha  minimal   indekslar  
nolga  teng  bo`lsa.     


 
83 
Umumiy  holda , ikkita   
 
x
x
A
,
 va 
 
x
x
B
,
  kvadratik   formalarni  qandaydir  
kanonik  ko`rinishga   keltirish  uchun 
B
A


 matritsalar  dastasini  unga qat’iy 
ekvivalent  bo`lgan simmetrik  matritsalar   kanonik  dastasi  bilan  almashtirish  
kerak . 


B
A

 simmetrik  matritsalar dastasi  
0
,
.
.
.
,
0
,
0
,
.
.
.
,
0
,
0
1
2
1






p
g
g





 
 minimal 
 
indekslarga 
 
va 

s
u
u
u



,
.
.
.
,
,
2
1
cheksiz 
 
va

 



t
c
t
c
c









,
.
.
.
,
,
2
1
1
1
 chekli  elementar  bo`luvchilarga  ega  bo`lsin .U  
holda    (3.30)      kanonik    formada   
p
p
g
g
q
p
h
g










,
....
,
,
,
1
1
    bo`ladi  . 
(3.30)    da    har    ikkita   

L
  va 
T
L

    ko`rinishdagi    dioganal    bloklarni    bitta  






O
L
L
O
T


  dioganal  blok   bilan, 
 
 
 
u
u
u
H
E
N



  ko`rinishdagi  har  bir  blokni 
 
 
 
 
 
 



















0
0
...
0
1
0
0
...
1
0
..
..
...
..
..
0
1
...
0
0
1
0
...
0
0
0
0
...
1
..
..
...
..
..
1
...
0
0
1
0
...
0
0
~
u
u
u
u
V
N
V
N


          (3.53) 
qat’iy  ekvivalentlik  simmetrik  blok  bilan  almashtiramiz.  
     Bundan   tashqari,  (2.30) dagi   
   


 
 


 
 


t
t
c
c
t
c
c
H
E
H
E
E
J











,
.
.
.
,
1
1
1
   
        (3.54) 
(
J
-Jordon    matritsasi)    regulyar    dioganal    blok    o`rniga,    unga    qat’iy  
ekvivalentlik  bo`lgan  
                                
 
 


t
t
c
c
Z
Z


,
.
.
.
,
1
1
 
 
 
 
              (3.55) 
dastani   olamiz.  Bu  yerda 
 
 


 
 




t
i
H
E
V
Z
i
i
i
c
c
i
c
c
i
i
i
i
i
,
.
.
.
,
2
,
1
,
0
0
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
0

















     (3.56) 
B
A


 dasta  quyidagi  simmetrik  dastaga  qat’iy  ekvivalent.  


 
84 
 
 
 
 
 












t
c
t
c
u
u
T
T
Z
Z
N
N
O
L
L
O
O
L
L
O
O
B
A
S
p
p
g
g







,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
~
~
1
1
1
1
1
   
(3.57) 
 Ikkita   
 
x
x
A
,
  va   
 
x
x
B
,
    kompleks    koyffitsientli    kvadratik    formalar


0


T
z
T
x
  o`zgaruvchilarni    almashtirish    bilan  (3.57)  tenglik    bilan 
aniqlangan     
 
z
z
A
,
~
  va   
 
z
z
B
,
~
    kanonik  ko’rinishga  bir  vaqtda  keltirilish 
mumkin. 
 

Yüklə 3,17 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   73




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə