(3.32)
bularning darajalari mos ravishda
ε
1
≤
ε
2
≤
ε
3
≤ ⋯
ε
p
(3.33)
bo`ladi.
Umumiy xolda fundamental yechimlar qatori
B
A
dastaning berilishi
bilan bir qiymatli aniqlanmaydi. Ammo ikkita har xil fundamental yechimlar
qatori har doim bitta ε
1
,
ε
2
,
ε
3
… ,
ε
p
darajalar qatoriga ega bo’ladi. Xaqiqatan,
(3.32) bilan birga
p
~
,
...
,
~
,
~
2
1
darajali
.
.
.
,
~
,
~
2
1
x
x
fundamental yechimlar
qatorini qaraymiz. (3.33) darajalar ichida
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
1
1
n
n
n
g
va shunga o`xshash
.
.
.
,
~
,
~
2
1
qatorda
.
.
.
~
.
.
.
~
~
.
.
.
~
2
1
1
1
1
~
~
~
n
n
n
bo`lsin.
77
Ko`rinib turibdiki,
.
~
1
1
Ihtiyoriy
1
~
,
.
.
.
,
2
,
1
~
n
i
x
i
ustun
1
2
1
,
.
.
.
,
,
n
x
x
x
ustunlar chiziqli kambinatsiyasidan iborat, chunki aks
xolda (3.32) qatordagi
1
1
n
x
yechimni kichikroq darajali
1
~
x
yechim
bilan almashtirilishi mumkin bo`ladi. Aksincha, xar bir
1
,
.
.
.
,
2
,
1
n
i
x
i
ustun
1
2
1
~
~
,
.
.
.
,
~
,
~
n
x
x
x
ustunlar chiziqli kambinatsiyasidan iborat
bo`ladi. Shuning uchun
1
1
~
n
n
va
1
~
1
1
1
~
n
n
. Xuddi shunday muloxaza
yuritib,
2
2
~
n
n
va
1
2
1
2
~
~
n
n
ni xosil qilamiz va xokozo.
(3.32) fundamental qatordagi xar bir
k
x
yechim
B
A
matritsa
ustunlari orasida
k
darajali chiziqli bog`lanishni beradi
.
,
.
.
.
,
2
,
1
p
k
Shuning uchun
p
,
.
.
.
,
,
2
1
sonlar
B
A
dasta ustunlari uchun minimal
indekslar deyiladi. Xuddi shunday
B
A
dasta satrlari uchun
q
,
...
,
,
2
1
minimal indekslar kiritiladi. Bunda
0
x
B
A
tenglama
0
y
B
A
T
T
tenglama bilan almashitirilib,
q
,
...
,
,
2
1
sonlar transponirlangan
T
T
B
A
dasta ustunlari uchun minimal indeks sifatida aniqlanadi.
Qat’iy ekvivalent dastalar bitta va faqat bitta minimal indeksga ega.
Haqiqatan, 2 ta
B
A
va
Q
P
B
A
( P va
Q
xosmas kvadrat matritsalar)
o`xshash dastalar berilgan bo`lsin. Birinchi dasta uchun (3.31) tenglamani
o`ngdan P matritsaga ko`paytirib, quyidagicha yozamiz:
0
1
x
Q
Q
B
A
P
Bundan ko`rinadiki, (3.31) tenglamaning barcha yechimlari chapdan
1
Q
ga
ko`paytirilgandan so`ng
0
x
Q
B
A
P
tenglama yechimlarining to`la sistemasini beradi.
Shuning uchun
B
A
va
Q
p
B
A
dastalar ustunlar uchun bir xil minimal
indekslarga ega.
Satrlar uchun minimal indekslarni ustma-ust tushishi transponirlangan
dastalarga o`tish bilan ko`rsatiladi.
78
Kanonik kvazidiogonal matritsalar
0
0
1
1
,
,
...
,
,
,
.
.
.
,
,
B
A
L
L
L
L
O
h
T
T
p
g
g
ta
q
h
ta
(3.34)
uchun minimal indekslarni xisoblaymiz.
0
0
B
A
(3.6) normal formaga ega
bo`lgan regulyar dasta.
Kvazidional matritsa ustunlari (satrlari) uchun minimal indekslarning
to`la sistemasi, mos alohida diagonal bloklar minimal indekslar
sistemalarini birlashtirish bilan hosil qilinadi.
L
matritsa ustuni uchun faqat
bitta
indekisga ega, satri uchun esa bitta
indeksga ega bo`lib, bu
matritsa ustunlari chiziqli bog`liq emas.
0
0
B
A
regulyar dasta umuman
minimal indekslarga ega emas. Shuning uchun (3.34) matritsa ustunlari uchun
p
g
g
,
.
.
.
,
0
.
.
.
1
2
1
satrlari uchun
q
h
h
,
.
.
.
,
0
.
.
.
1
2
1
minimal indekslarga ega.
L
matritsa elementar bo`luvchilarga ega emas, chunki maksimal
tartibli minorlari 1ga yoki
teng bo`ladi. Bu tasdiq
T
L
matritsa uchun ham
o`rinli. Shuningdek kvazidiogonal matritsa elementar bo`luvchilari uchun
alohida olingan diagonal bloklri elementar bo`luvchilarni birlashtirib hosil
qilinadi, shuning uchun (3.34)
matritsa elementar bo`luvchilaari uchun
0
0
B
A
regulyar yadrosi elementar bo`luvchilari bilan ustma-ust tushadi.
(3.34) dastaning kanonik formasi minimal indeslar
q
p
,...,
,
,
,
.
.
.
,
2
1
1
va bu dastalar yoki unga qat’iy ekvivalent bo`lgan
B
A
dasta elementar
bo`luvchilari bilan to`la aniqlanadi. Shuningdek, bir xil kanonik formaga
ega bo`lgan ikkita dasta o`zaro qat’iy ekvivalent bo`ladi. U holda biz
quyidagi teoremani isbotladik:
Teorema 3.5.
(Kroneker teoremasi) Ixtiyoriy bir xil m
x
n o`lchovli
to`g`ri to`rtburchakli matritsalarning
B
A
va
1
1
B
A
dastalari qat’iy
79
ekvivalent bo`lishi uchun bu dastalar bir xil minimal indekslarga va bir xil
elementar (chekli yoki cheksiz) bo`luvchilarga ega bo`lishi zarur va yetarli.
Misol
tariqasida
2
0
,
2
,
1
,
0
3
2
1
3
2
1
minimal
indekslarga va
3
2
2
,
2
,
elementar bo`luvchilarga ega bo`lgan
B
A
dastaning kanonik formasini yozamiz:
2
0
1
2
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
§6. Kvadratik formalarining singulyar dastasi.
Quyidagi ikkita kompleks kvadratik formalar berilgan bo`lsin:
n
k
i
k
i
ik
n
k
i
k
i
ik
x
x
b
x
x
B
x
x
a
x
x
A
1
1
,
,
,
,
,
(3.36)
bular
x
x
B
x
x
A
,
,
kvadratik formalar dastasini tashkil qiladi. Bu
formalar dastasiga
B
B
A
A
B
A
T
T
,
simmetrik matritsalar dastasi mos
keladi. Agar
x
x
B
x
x
A
,
,
kvadratik formalar dastasida o`zgaruvchilarni
0
T
Tz
x
chiziqli almashtirishni qo`llasak, u holda
z
z
B
z
z
A
,
~
,
~
almashtirilgan formalar dastasiga quyidagi matritsalar dastasi mos keladi.
T
B
A
T
B
A
T
~
~
(3.37)
bu yerda
n
T
tartibli, o`zgarmas, xosmas kvadrat matritsa.
80
Ikkita (3.37) ayniyat bilan bog`langan
B
A
va
B
A
~
~
matritsalar
dastalari o`zaro kongruyent deyiladi.
Ma`lumki,
kongruyentlik
matritsalar
dastalarining
qat`iy
ekvivalentligini maxsus xususiy holi bo`ladi. Agar matritsalar simmetrik
( yoki kososimmetrik) bo`lsa, kongruyentlik tushunchasi qat’iy ekvivalentlik
tushunchasi bilan ustma-ust tushadi.
Teorema 3.6.
Ikkita qat’iy ekvivalent kompleks simmetrik (yoki
kososimmetrik) matritsalar dastasi o`zaro kongruyent bo`ladi.
Isboti.
. Ikkita
B
A
va
B
A
~
~
~
qat’iy ekvivalent simmetrik
(yoki kososimmetrik ) matritsalar dastasi berilgan bo`lsin;
0
,
0
;
~
~
,
~
Q
P
Q
P
T
T
(3.38)
Transponirlangan matritsalarga o`tib , quyidagini xosil qilamiz:
.
~
T
T
P
Q
.
(3.39)
(3.38) va (3.39) dan quyidagini topamiz:
T
T
Q
P
QP
1
1
(3.40)
1
T
QP
U
(3.41)
deb olib, (2.40) ni quyidagicha yozamiz:
T
U
U
(3.42)
(3.42) dan quyidagilar kelib chiqadi:
.
.
.
,
1
,
0
,
k
U
U
k
T
k
va umumiy xolda
T
S
S
(3.43)
bu yerda
U
f
S
(3.44)
f
ga nisbatan ixtiyoriy ko`phad. Faraz qilaylik bu ko`phad
shunday tanlanganki, unda
.
0
S
U holda (3.43)dan quyidagini topamiz:
1
S
S
T
(3.45)
uchun olingan ifodani (3.38) ga qo`yib, quyidagiga ega bo`lamiz:
81
Q
S
PS
T
1
~
(3.46)
Bu munosabat konkruent almashtirish bo`lishi uchun quyidagi tenglik
bajarilishi kerak:
Q
S
PS
T
1
buni quyidagicha yozish mumkin:
U
QP
S
T
1
2
Ammo
f
sifatida
U
matritsa spektorida
interpolyatsion ko`phadni
olsak,
U
f
S
bu tenglamani qanoatlantiradi. Buni qilish mumkin, chunki
ko`p qiymatli
U
matritsa spektrida bir qiymatli tarmoqqa ega,
shuningdek
0
U
Bundan keyin (3.46) tenglik kongruentlik sharti bo`ladi:
Q
QP
SQ
T
T
T
T
T
1
~
(3.47)
Bu isbotlangan teorema va teorema 3.5. dan quyidagi natija kelib
chiqadi:
Natija3.1:
Ikkita
x
x
B
x
x
A
,
,
va
x
x
B
x
x
A
,
~
,
~
kvadrat formalar
dastasi
0
T
Tz
x
almashtirish bilan bir-biriga o`tkaziladi, shunda va
faqat shunda, qachonki
B
A
va
B
A
~
~
simmetrik matritsalar dastalari bir
xil elementar bo`luvchilarga va bir xil minimal indekslarga ega bo`lsa.
Eslatma
. Simmetrik matritsalar dastasi uchun satrlar va ustunlar bir
xil minimal indekslarga ega, ya`ni
p
p
q
p
,
...
,
,
,
2
2
1
1
(3.48)
Quyidagicha savol qo`yamiz : Ikkita
n
k
i
k
i
ik
n
k
i
k
i
ik
x
x
b
x
x
B
x
x
a
x
x
A
1
1
,
,
,
,
,
ixtiyoriy kompleks kvadratik formalar berilgan. Qanday shartlar bajarilganda
0
T
Tz
x
o`zgaruvchilarni xosmas almashtirish bilan bu formalarni
bir vaqtning o`zida.
82
n
i
i
i
z
a
1
2
va
2
1
1
z
b
n
i
i
(3.49)
Kvadratlar yig`indisiga keltirish mumkin?
Shunga o`xshash savolni ikkita
x
x
A
,
va
x
x
B
,
Ermit formalar uchun
ham qo`yish mumkin, ammo bu holda (3.49) ni o`rniga quyidagini yozish
kerak bo`ladi.
n
i
i
i
i
z
z
a
1
va
i
i
n
i
i
z
z
b
1
(3.50)
bu yerda
i
a
va
n
i
b
i
,
.
.
.
,
2
,
1
haqiqiy sonlar .
Faraz qilaylik,
x
x
A
,
va
x
x
B
,
kvadratik formalar ko`rsatilgan
xossalarga ega bo`lsin. U holda
B
A
matritsalar dastasi quyidagi dioganal
matritsalar dastasi kongurent bo`ladi:
n
n
b
a
b
a
b
a
,
.
.
.
,
,
2
2
1
1
(3.51)
i
i
b
a
dioganal ko`phadlarning
n
r
r
tasi aynan no`lga teng emas
bo`lsin. Umumiylikni buzmasdan quyidagicha deb olamiz:
.
,
.
.
.
,
1
,
0
,
.
.
.
,
0
1
1
n
r
n
i
b
a
b
a
b
a
i
i
r
n
r
n
n
n
r
n
r
n
b
a
b
a
B
A
,
.
.
.
,
1
1
0
0
deb olib, (3.51) ni quyidagicha yozamiz:
0
0
,
B
A
O
ta
r
n
(3.52)
(3.52)ni (3.34) bilan solishtirib, ko`ramizki, bu holda barcha minimal
indekslar nolga teng. Bundan tashqari barcha elementlar bo`luvchilar
birinchi darajaga ega.
Biz quyidagi teoremaga keldik;
Teorema 3.7.
Ikkita
x
x
A
,
va
x
x
B
,
kvadratik formalar bir vaqtda
o`zgaruvchilarni almashtirish bilan kvadlar yigindisiga keltirilishi mumkin,
faqat va faqat shu holda , qachonki,
B
A
matritsalar dastasida barcha
elementar bo`luvchilar birinchi darajali bo`lib , barcha minimal indekslar
nolga teng bo`lsa.
83
Umumiy holda , ikkita
x
x
A
,
va
x
x
B
,
kvadratik formalarni qandaydir
kanonik ko`rinishga keltirish uchun
B
A
matritsalar dastasini unga qat’iy
ekvivalent bo`lgan simmetrik matritsalar kanonik dastasi bilan almashtirish
kerak .
B
A
simmetrik matritsalar dastasi
0
,
.
.
.
,
0
,
0
,
.
.
.
,
0
,
0
1
2
1
p
g
g
minimal
indekslarga
va
s
u
u
u
,
.
.
.
,
,
2
1
cheksiz
va
t
c
t
c
c
,
.
.
.
,
,
2
1
1
1
chekli elementar bo`luvchilarga ega bo`lsin .U
holda (3.30) kanonik formada
p
p
g
g
q
p
h
g
,
....
,
,
,
1
1
bo`ladi .
(3.30) da har ikkita
L
va
T
L
ko`rinishdagi dioganal bloklarni bitta
O
L
L
O
T
dioganal blok bilan,
u
u
u
H
E
N
ko`rinishdagi har bir blokni
0
0
...
0
1
0
0
...
1
0
..
..
...
..
..
0
1
...
0
0
1
0
...
0
0
0
0
...
1
..
..
...
..
..
1
...
0
0
1
0
...
0
0
~
u
u
u
u
V
N
V
N
(3.53)
qat’iy ekvivalentlik simmetrik blok bilan almashtiramiz.
Bundan tashqari, (2.30) dagi
t
t
c
c
t
c
c
H
E
H
E
E
J
,
.
.
.
,
1
1
1
(3.54)
(
J
-Jordon matritsasi) regulyar dioganal blok o`rniga, unga qat’iy
ekvivalentlik bo`lgan
t
t
c
c
Z
Z
,
.
.
.
,
1
1
(3.55)
dastani olamiz. Bu yerda
t
i
H
E
V
Z
i
i
i
c
c
i
c
c
i
i
i
i
i
,
.
.
.
,
2
,
1
,
0
0
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
0
(3.56)
B
A
dasta quyidagi simmetrik dastaga qat’iy ekvivalent.
84
t
c
t
c
u
u
T
T
Z
Z
N
N
O
L
L
O
O
L
L
O
O
B
A
S
p
p
g
g
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
~
~
1
1
1
1
1
(3.57)
Ikkita
x
x
A
,
va
x
x
B
,
kompleks koyffitsientli kvadratik formalar
0
T
z
T
x
o`zgaruvchilarni almashtirish bilan (3.57) tenglik bilan
aniqlangan
z
z
A
,
~
va
z
z
B
,
~
kanonik ko’rinishga bir vaqtda keltirilish
mumkin.
Dostları ilə paylaş: |