O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti


§7. Differensial tenglamalarga tadbiqlar



Yüklə 3,17 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə29/73
tarix31.12.2021
ölçüsü3,17 Mb.
#81127
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   73
5b1794a00c79b

§7. Differensial tenglamalarga tadbiqlar. 
Olingan  natijalarni  quyidagi  o’zgarmas  koeffitsientli,  n  ta  noma’lum 
funktsiyali,  birinchi  tartibli  m  ta  chiziqli  differensial  tenglamalar  sistemasini 
integrallashga tadbiqini qaraymiz. 
   
 
  








n
k
i
n
k
k
ik
k
ik
m
i
t
f
dt
dx
b
x
a
1
1
,
.
.
.
,
2
,
1
,
  
 
        (3.58) 
yoki   matritsa yozuvida  
   
 
 
 
 
t
f
dt
dx
B
Ax


 
 
 
 
        (3.59) 
bu  yerda  
,
,
1
,
,
1
,
,
n
k
m
i
b
B
a
A
ik
ik




 




T
n
T
n
f
f
f
f
x
x
x
x
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
2
1
2
1


 
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
2
1
    noma`lum      funktsiyalar  bilan  o’zgarmas  koyffitsentli  chiziqli 
xosmas matritsalar   
                          




O
Q
z
z
z
z
Qz
x
T
n



,
,
.
.
.
,
,
1
 
                 (3.60) 
Orqali bog’langan yangi 
n
z
z
z
,
.
.
.
,
,
1
1
 funksiyalarni kiritamiz. 
(3.59)  tenglamada 
x
  ning  o`rniga   
Qz
    ni  qo’yib,  (3.59)  ni  chapdan 
P
ga 
ko’paytirib quyidagini xosil qilamiz. 
                            
 
,
~
~
~
t
f
dt
dz
B
z
A


 
 
 
 
 
        (3.61) 
bu yerda  
                 


n
f
f
f
Pf
f
PBQ
B
PAQ
A
~
,
.
.
.
,
~
,
~
~
,
~
,
~
2
1




                    (3.62) 


 
85 
Shu bilan  birga  
B
A


 va 
B
A
~
~


 matritsalar dastalari bir biri bilan qat’iy 
ekvivalent:  
                       


Q
B
A
P
B
A





~
~
 
 
 
                           (3.63) 
  
P
 va 
Q
 matritsalarni shunday tanlaymizki, unda 
B
A
~
~


 dasta quyidagicha 
kanonik kvazidioganal formaga ega bo’lsin:  
     
 
 


E
J
N
N
L
L
L
L
O
B
A
s
q
h
p
d
u
u
T
T











,
,
...
,
,
,
...
,
,
,
.
.
.
,
,
~
~
1
1
1
 
       (3.64) 
(3.64)  ning  dioganal  bloklariga  mos  differensial  tenglamalar  sistemasi 
2






s
h
q
d
p
v
 ta aloxida sistemalarga ajraladi.   
                                 
,
~
f
z
O


 
 
 
 
 
 
        (3.65) 
        


g
p
i
f
z
dt
d
L
i
i
i
g
E












,
.
.
.
,
2
,
1
,
~
1
1
 
 
 
 
        (3.66) 
            


h
q
j
f
z
dt
d
L
j
g
p
j
g
p
T
j
h
E
















,
.
.
.
,
2
,
1
,
~
1
1
                            (3.67) 
            
 


s
k
f
z
dt
d
N
k
h
q
g
p
k
h
q
g
p
k
i
,
.
.
.
,
2
,
1
,
~
1
1


















 
 
        (3.68) 
                              
v
v
f
z
dt
d
J
~






 
   
 
 
                           (3.69) 
bu  yerda 
                           
f
v
f
f
f
z
v
z
z
z
~
.
.
.
~
2
~
1
~
,
.
.
.
2
1


   
 
                  (3.70) 
   








.
.
.
,
~
~
,
.
.
.
,
,
~
,
.
.
.
,
~
,
~
~
,
,
.
.
.
,
,
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1






h
g
h
g
f
f
z
z
f
f
f
f
z
z
z
z
         (3.71) 
va  xakozo 
,
dt
d
B
A
dt
d









      agar     
 
B
A





  bo`lsa.    
    
       (3.72) 


 
86 
Shunday  qilib,  (3.59)  sistemani  integrallash,  umumiy  xolda  (3.65)-(3.69) 
xususiy  sistemalarni  integrallashga  keltiriladi.  Bu  sistemalarda 
B
A


   
matritsalar dastasi mos ravishda 
E
J
N
L
O
u




,
,
L
,
,
)
(
T
 ko’rinishlarga ega. 
1. (3.65) sistemada qarama-qarshilik bo’lmasligi uchun         
0
~
1

f
 
ya`ni  
                               
0
~
,
.
.
.
,
0
~
1


h
f
f
 
 
 
 
 
        (3.73) 
bo’lishi  zarur  va  yetarli.  Bu  xolda 
1
z
  ustunni  tashkil  etuvchi 
g
z
z
z
,
...
,
,
2
1
  
noma’lum funktsiyalar sifatida t ning ixtiyoriy funktsiyasini olish mumkin. 
2.  (3.66) sistema quyidagi ko’rinishdagi sistemani ifodalaydi: 
                                
f
z
dt
d
L
~








   
   
                                     (3.74) 
yoki  yoyilgan yozuvda   
                      
 
 
 
t
f
z
dt
dz
t
f
z
dt
dz
t
f
z
dt
dz
E
E
E
~
,
.
.
.
,
~
,
~
1
2
3
2
1
2
1







                  (3.75) 
Bunday  sistemalar  har  diom  birgalashgan  bo’ladi.  Agar 
)
(
1
t
z


  sifatida  t 
ning  ixtiyoriy  funktsiyani  olsak,  u  xolda  (3.75)  dan  ketma-ket  kvadraturalarda 
barcha qolgan 
1
1
,
...
,
,
z
z
z



 noma’lum funktsiyalarni aniqlaymiz: 
3. (3.67) sistema quyidagi ko’rinishdagi sistemani ifodalaydi: 
                                                 
f
z
dt
d
~
L
T








                                           (3.76) 
yoki yoyilgan yozuvda 
                       
)
(
~
~
,
)
(
~
,
...
),
(
~
),
(
~
1
1
2
1
2
1
1
t
f
z
t
f
z
dt
dz
t
f
z
dt
dz
t
f
dt
dz













       (3.77)             
 (3.77) ning  birinchisidan   boshqa  barcha   tenglamalaridan   bir  qiymatli   
ravishda  
1
,
.
.
.
,
,
1
z
z
z



 larni  aniqlaymiz: 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
1
1
.
.
.
~
~
,
.
.
.
,
~
~
,
~
3
2
1
























dt
f
d
dt
f
d
f
z
dt
f
d
f
z
t
f
z
    
         (3.78) 
1
z
 uchun  hosil  qilingan  ifodani  birinchi   tenglamaga  qo`yib ,  birgalashganlik  
shartini  hosil  qilamiz: 


 
87 
   
 
 
0
~
1
.
.
.
~
~
~
1
2
3
2
2
1











dt
f
d
dt
f
d
dt
f
d
f
 
 
 
        (3.79) 
   4. (3.68)  sistema  quyidagi   ko`rinishdagi  sistemani  ifodalaymiz: 
   
 
 
 
 
f
z
dt
d
N
u
~







 
 
 
 
       (3.80) 
yoki  yoyilgan  yozuvda 
   
.
~
,
~
,
.
.
.
,
~
,
~
1
1
2
2
3
1
1
2
u
u
u
u
u
f
z
f
z
dt
dz
f
z
dt
dz
f
z
dt
dz









  
       (3.81)   
Bundan   yechimlarni  ketma-ket  bir  qiymatli  aniqlaymiz: 
 
 
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
~
1
.
.
.
~
~
~
,
.
.
.
,
~
~
,
~














u
u
u
u
u
u
u
u
u
dt
f
d
dt
f
d
dt
f
d
f
z
dt
f
d
f
z
f
z
          (3.82) 
   5. (3.69)  sistema  quydagi  sistemani  ifodalaydi: 
   
 
 
 
f
dt
dz
J
z
~


 
 Bunday  sistemaning  umumiy  yechimi  quydagicha  bo`ladi: 
   
 
 
 
 



d
f
e
e
z
t
t
J
t
J






0
0
   
 
 
       (3.84) 
bu yerda 
0
z
- ixtiyoriy  elementli  ustun  bo`lib ,  noma`lum  funktsiyani  
0

t
dagi    boshlangich  qiymati  bo`ladi. 
    (3.61)    sistemadan      (3.59)    sistemaga    teskari    o`tish    (3.60)    va  (3.62)  
fo`rmulalar    bilan    amalga  ohiriladi    Bunda    har    bir 
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
2
1
  funksiyalar 
n
z
z
z
,
.
.
.
,
,
2
1
 funksiyalarning  chiziqli  kombinatsiyasidan  iborat   bo`lib , har  bir  
 
 
t
f
t
f
m
~
,
.
.
.
,
~
1
    funkiyalar   
 
 
t
f
t
f
m
,
.
.
.
,
1
    funksiyalar    orqali    (o`zgarmas  
koeffitsientlar  bilan )chiziqli  ifodalanadi. 
 O`tkazilgan    taxlil    ko`rsatadiki  ,   (3.58)    sistema      birgalashgan    bo`lishi  
uchun  ,  umumiy    holda  ,  tenglamalarning        o`ng    tomonlari    o`rtasida    ba`zi  
aniq  chiziqli  chekli  va diferensial  bog’lanishlar bajarilishi   shart . 
      Agar  bu  shartlar  bajarilsa , u  holda  sistemaning   umumiy  yechimi   
chiziqli    ihtiyoriy      o`zgarmaslar      kabi    ihtiyoriy      funksiyalarni      o`zida   
saqlaydi . 


 
88 
       Birlashganlik   sharti  xarakteri  va yechimlari xarakteri (xususiy  holda  
ihtiyoriy    o`zgarmaslar    va    ihtiyoriy    funksiyalar  soni  )   
B
A


    dastaning  
minimal  indekslari    va      elementar    bo`luvchilari    bilan    aniqlanadi  ,chunki  
(3.65) –(3.69)   differensial   tenglamalar   sistemalarining  kanonik  formasi  bu  
indekskar  va bo`luvchilarga  bog`liq. 

Yüklə 3,17 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   73




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə