O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

Mashqlar:  
1. Quyidagi matritsalar bilan berilgan 
𝐴 + 𝜆𝐵
 dastalarni regulyar yoki 
singulyar ekanligini aniqlang.   
a)
𝐴 = (
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
)
              В=
(
−2
8
6
−4 10
6
4
−8 −4
)
 
b)
𝐴 = (
3
0
8
3
−1
6
−2
0
−5
)
             В=
(
13
16
16
−5 −7 −6
−6 −8 −7
)
        
c)
А = (
−4 2 10
−4 3
7
−3 1
7
)
                  В=
(
7
−12 −2
3
−4
0
−2
0
−2
)
        
d)
А = (
4
6
0
−3 −5 0
−3 −6 1
)
                В=
(
0
3
3
−1
8
6
2
−14 −10
)
        
e)
А = (
9
22 −6
−1 −4
1
8
16 −5
)
             В=
(
8
30
−14
−5 −19
9
−6 −23
11
)
        
f)
А = (
4
5
−2
−2 −2
1
−1 −1
1
)
              В=
(
−1
1
1
−5
21
17
6
−26 −21
)
 
g)    
А = (
1 −1 2
3 −3 6
2 −2 4
)
                 В=
(
3
7
−3
−2
−5
2
−4 −10
3
)
 
2. Yuqorida xosil qilingan dastalarni kanonik ko’rinishga keltiring va ularni 
minimal indiksini aniqlang. 
 
 
 
 
 

---

 
89 
IV BOB MANFIYMAS ELEMENTLI MATRITSALAR 
 
Ushbu  bobda  manfiymas  elementli  haqiqiy  matritsalarning  xossalari 
o’rganiladi.   Bunday  matritsalar   extimollar  nazariyasidagi  Markov zanjirlarini 
o’rganishda  va sistemalar  kichik tebranishlar nazariyasida keng qo’llaniladi. 
 
§1.    Umumiy xossa 
Ta’rif 4.1
:   haqiqiy elementli to’g’ri to’rtburchakli 
n
k
m
i
a
A
ik
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
,



 
matritsa  manfiymas  (
0

A
)  yoki  musbat 
0

A
deyiladi,  agarda  uning  barcha 
elementlari manfiymas 
)
0
(

ik
a
 yoki musbat 
)
0
(

ik
a
 bo’lsa. 
Ta’rif 4.2:
   
n
k
i
ik
a
A
1
,


  kvadrat  matritsa  yoyiluvchi  deyiladi,  agarda 
barcha  1,2,…,n  indekslarni  qandaydir  ikkita  qo’shimcha  sistemaga 
m
i
i
i
,...
,
2
1
  va 
)
(
,...
,
2
1
n
y
m
k
k
k
y


 
bo’linishida,  umumiy  indekslardan  boshqa  holda 
)
,...
2
,
1
;
,..,
2
,
1
(
0
y
m
a
k
i







 bo’lsa. 
Aks holda A matritsa yoyilmaydigan matritsa deyiladi. A kvadrat matritsa  
qatorlarini o’rinalmashtirish  deganda satrlarni o’rin almashtirish bilan birga  A 
matritsa ustunlarini ham huddi shunday o’rin almashtirishni tushunamiz. 
  
Yoyiluvchi  va  yoyilmaydigan  matritsalar  ta’rifini  quyidagicha  ifodalash 
ham mumkin. 
Ta’rif  4
.
2

: 
n
k
i
ik
a
A
1
,


  matritsa  yoyiluvchi  deyiladi,  agarda  uni 
qatorlarining    o’rinlarini  almashtirib,  quyidagi    ko’rinishga  keltirish  mumkin 
bo’lsa; 
D
B
A
0
0
~

, 
bu  yerda  B  va  D  kvadrat  matritsalar.  Aks  holda  A  matritsa  yoyilmaydigan 
deyiladi. 

---

 
90 
A – n o’lchovli kvadrat matritsa 
n
e
e
e
,...,
,
2
1
 bazisli  n-o’lchovli 
n
R
 fazodagi 
A
 chiziqli operatorga mos kelsin. Matritsada qatorlarni o’rin almashtirish bazis 
vektorlarni  qayta    nomerlashga  mos  keladi,  ya’ni 
n
e
e
e
,...,
,
2
1
  ba’zisdan  yangi 
n
j
n
j
j
e
e
e
e
e
e






,...,
,
2
2
1
1
  bazisga  o’tish  mos  keladi,  bu  yerda 


n
j
j
j
,...
,
2
1
 
indekslarni  qandaydir    o’rin  almashtirish,  bunda  A  matritsa    unga  o’xshash 
bo’lgan 
AT
T
A
1
~


 matritsaga o’tadi. (T-almashtiruvchi matritsaning har bir satr 
va  ustunining  bitta  elementi  birga  teng  bo’lib,  qolgan  elementlari  nollardan 
iborat). 
n
R
    fazoning  v-  o’lchovli  qism  fazosi  deganda 
v
k
k
k
e
e
e
,...,
,
2
1
  bazisli 
ixtiyoriy  qism fazoni tushunamiz. 


v
k
k
k




...
1
2
1
 
T a ’ r i f 4.
2

:
     
n
k
i
ik
a
A
1
,


matritsa yoyiluvchi deyiladi, faqat va faqata 
shu    holdaki,  agar  bu  matritsaga  mos 
A
  operator  vkoordinatali  qism fazoga  ega bo’lsa. 
Lemma  4.1
.  agar 
0

A
  matritsa  yoyilmaydigan  bo’lib,  n  –  o’lchovli 
bo’lsa, u holda  
                                                 
0
)
(
1



n
A
E
                                             (4.1) 
I s b o t i.
     Lemmani isbotlash uchun, ixtiyoriy y>0 (vector ustun) uchun 
0
)
(
1



y
A
E
n
 
ekanligini  ko’rsatish    yetarli.    Bu  tengsizlik  isbotlanadi,  agarda  biz 
0

y
  va 
0

g
  shartda   
y
A
E
z
)
(


  har    doim  y  ga  nisbatan  kichik nomli    koordinataga 
ega ekanligini ko’rsatsak, teskarisini faraz qilamiz. U holda g va z vektorlar bir 
xil  nolli koordinataga ega bo’ladi.  Umumiylikni buzmasdan, 
,
0
u
y

 
0
v
z

   (u>0, v>0) 
bu yerda u va v ustunlar bir xil o’lchovli, deb olamiz. 
22
21
12
11
A
A
A
A
A

 
deb olib,  quyidagiga ega bo’lamiz: 
 

---

 
91 

0
u
22
21
12
11
A
A
A
A
 
0
u
0
v

, 
bundan  
0
21

u
A
 
bo’lib,  u>0 bo’lgani  uchun 
0
21

A
 kelib chiqadi. Bu tenglik A matritsaning 
yoyiluvchi emasligiga ziddir.  
A  matritsaning quyidagi darajasini qaraymiz: 

q
A
n
k
i
ik
a
1
,

    (q=1,2…) 
u holda yuqoridagi lemmadan quyidagi natija kelib chiqadi. 
Natija:
    
Agar A>0 yoyilmaydigan matritsa bo’lsa, u holda i,k indekslar 
juftligi uchun shunday 
q 
 butun musbat son mavjudki, unda  
                                                         
0

q
ik
a
                                              (4.2) 
bo’ladi. Shu bilan birga q sonini har doim quyidagicha oraliqda tanlash mumkin 
                              
)
3
.
4
(
,
'
,
,
'
,
1








lsa
bo
k
i
agar
m
q
lsa
bo
k
i
agar
m
q
 
bu yerda m- A matritsaning 
)
(


 ko’phadning darajasi. 
 
§2.     Yoyilmaydigan manfiymas matritsaning  spektral xossasi 
Teorema  4.1.
   
(Perron  teoremasi).
 
n
k
i
ik
a
A
1
,


   
musbat  matritsa  har 
doim  r  haqiqiy  va    musbat  harakteristik  songa  ega  bo’lib,  u  harakteristik 
tenglamaning  oddiy  ildizi  bo’ladi    va  moduli  bo’yicha  barcha  harakteristik 
ildizlardan ortiq. Bu maksimal r harakteristik songa A matritsaning 
i
z
>0, (i=1,2, 
…,n)   koordinatali 
)
,...
,
(
2
1
n
z
z
z
z

 xos vaktori mos keladi. 
 
Musbat matritsa yoyilmaydigan manfiymas matritsaning xussiy ko’rinishi 
bo’ladi.    Frobenius  yoyilmaydigan  manfiymas  matritsaning    spektral  xossasini 
o’rganib, Perron teoremasini umumlashtirdi.  
 
Teorema4.2.  (Frobenius  teoremasi)
. 
Yoyilmaydigan  manfiymas 
n
k
i
ik
a
A
1
,


 matritsa har doim mos harakteristik tenglamani oddiy ildizi bo’lgan 
r  musbat  harakteristik  songa  ega.  Boshqa  barcha  harakteristik  ildizlarning 

---

 
92 
moduli r dan  ortmaydi. R  maksimal harakteristik  songa  musbat koordinatali z 
xos vektor mos keladi.  
  
Agar  shu  bilan  birga  A  matritsa    moduli  r  ga  teng  bo’lgan  h  ta 
1
1
0
,...,
,


h
r



 harakteristik sonlarga ega bo’lsa, u holda bu sonlarning  hammasi 
har xil bo’lib,  
                                     
0


h
h
r

                                                          (4.4) 
tenglamaning   ildizlari bo’ladi  va 

-kompleks  tekkislikdagi  nuqtalar  sistemasi 
sifatida  qaralayotgan, 
n
k
i
ik
a
A
1
,


  matritsaning 
1
1
0
,...,
,

h



    barcha 
harakteristik  sonlarning umumiy to’dasi bu tekkislikni 
h

2
 burchakka burganda 
o’zi  o’ziga  o’tadi,  h>1  da  qatorlarni  almashtirish  bilan  A  matritsani  quyidagi 
siklik ko’rinishga keltirish mumkin: 
 
                
𝐴 = ‖‖
0
     𝐴
12
0       …   0
0
0
 𝐴
22
 …   0
. .
0
𝐴
ℎ1
. .
0
0
       
. .
0
0
        . .
        …
        …
  
. .
𝐴
ℎ−1,ℎ
0
‖
‖
                 (4.5) 
 
bu yerda dioganal bo’ylab kvadrat matritsalar  joylashgan. 
Perron  teoremasi Frobenius  teoremasining xususiy holi  bo’lgani uchun, 
biz  Frobenius  teoremasini    isbotlaymiz.  Avval  nisbatan  ba’zi      belgilashlarni 
kelishib olamiz,  faqat va faqat 
                                      
)
,..,
2
,
1
;
,...
2
,
1
(
n
k
m
i
d
c
ik
ik



                               (4.6) 
holdagina  quyidagi tengsizlikni yozamiz 
D
C

   yoki 
C
D

 
bu  yerda    C  va  D    lar  bir  xil 
n
m

  o’lchovli,    to’g’ri  to’rtburchakli  matritsalar 
bo’lib, 
,
,
ik
ik
d
D
c
C


   (i=1,2,…m; k=1,2,..,n). 
 

---

 
93 
Agar  (4.6)  tengsizliklarda  tenglik  belgisini  tashlab  yuborsak,  u  holda  
quyidagini yozamiz:   
D
C

   yoki 
C
D

 
 
Xususiy  holda, 
)
0
(
0


C
C
  C  matritsaning    barcha  elementlari 
manfiymas  (mos ravishda musbat) ekanligini bildiradi. 
Bundan  tashqari, 

C
  bilan    modC,  ya’ni  C  matritsa  barcha  elementlarini  
ularning modullari bilan almashtirib hosil qilingan matritsani belgilaymiz.