O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

Frobenius 
teoremasining 
isboti
. 
Fiksirlangan 
haqiqiy 


)
0
(
0
,...,
,
2
1



x
x
x
x
x
n
 vektor uchun 
i
i
n
i
x
x
Ax
r
)
(
min
1



   
 










n
k
k
ik
i
n
i
x
a
Ax
1
,...
2
,
1
,
 
deb olamiz, bunda  minimumni aniqlashda 
0

i
x
 uchun i indeksning qiymatlari 
yo’qotiladi. Ma’lumki, 
0

x
r
 va 
x
r
  
Ax
gx

 
tengsizlikni qanoatlantiruvchi g haqiqiy sonlarning eng kattasi bo’ladi. 
 
Biz 
x
r
  funksiya  qandaydir  z>0  vektorda  o’zining  eng  katta  r  qiymatiga 
erishishini isbotlaymiz: 
                                  




i
i
n
i
x
x
x
z
x
Ax
r
r
r
)
(
min
max
max
1
0
0







                                 (4.7) 
x
r
  ning  aniqlanishidan  kelib  chiqadiki, 
0

x
 


0

x
  vektorni 
0


  songa 
ko’paytirganda 
x
r
  o’zgarmaydi.  Shuning  uchun 
x
r
  funksiya  maksimumini 
izlashda  
0

x
,       
 




n
i
i
x
x
x
1
2
1
,
 
shartni  qanoatlantiruvchi  x  vektorlardan  tuzilgan  M  yopiq  to’plam  bilan 
chegaralanish mumkin. 
Agar 
x
r
 funksiya  M  to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda  maksimumning 
mavjudligi  ta’minlanadi.  Ammo 
x
r
  funksiya  ixtiyoriy  x>0  nuqtada  uzluksiz 
bo’lib,    koordinatalaridan  biri  nolga  aylanadigan  M  to’plamning  chegaraviy 

---

 
94 
nuqtalarida  uziladigan  bo’lishi  mumkin.  Shuning  uchun  M  to’plam  o’rniga  
quyidagi ko’rinishdagi y vektorlardan tuzilgan N to’plamni kiritamiz: 
)
(
)
(
1
M
x
x
A
E
y
n




 
N  to’plam  M  to’plam  kabi  chegaralangan va yopiq bo’lib,  lemma4.1 
ga asosan musbat vektorlardan tuzilgan. 
bundan tashqari,  
Ax
x
r
x

 
 tengsizlikning ikkala tomonini 
0
)
(
1



n
A
E
 ga ko’paytirib, quyidagini hosil 
qilamiz: 
                                
Ay
y
r
x

  


)
)
(
(
1
x
A
E
y
n



                                       
bundan, 
y
r
 ni aniqlanishiga ko’ra  quyidagini topamiz: 
y
x
r
r

 
shuning  uchun 
x
r
  ning  maksimumini  izlashda  M  to’plamni  faqat  musbat 
vektorlardan  tuzilgan    N    to’plam  bilan  almashtirishimiz  mumkin.  N 
chegaralangan,  yopiq  toplamda 
x
r
  funksiya  uzluksiz  bo’lib,  qandaydir  z>0 
vektorda o’zining eng katta qiymatiga erishadi. 
                                                    
r
r
z

                                                   (4.8)          
Shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy z>0 vektorni ekstremal deb ataymiz. 
Endi quyidagilarni isbotlaymiz:  
1)  (4.7)  tenglik  bilan  aniqlangan  r  son  musbat    va  A  matritsaning  
harakteristik soni bo’ladi;  
2) ixtiyoriy z ekstremal vektor bo’ladi, ya’ni  
                                              r>0, z>0,    Az=rz.                                              (4.9) 
 
Haqiqatan,  agar   
)
1
,
...
,
1
,
1
(




n
u

  bo’lsa,  u  holda 





n
k
ik
n
i
u
a
r
1
1
min
.  Ammo 
bu  holda 
0

u
r
,  chunki  yoyilmaydigan  matritsaning  birorta  ham  satri  faqat   
nollardan iborat bo’lishi mumkin emas. Demak, r>0, chunki 
x
r
r

. 
 
Agar 

---

 
95 
                                      
z
A
E
x
n
1
)
(



                                                   (4.10) 
bo’lsin.  U holda lemma4.1 asosan x>0 faraz qilaylik, 
0


rz
Az
. U holda (4.1),  
(4.8) va (4.10) dan  quyidagini ketma-ketni hosil qilamiz: 
0
,
0
)
(
)
(
,
0
1








rx
Ax
rz
Az
A
E
rz
Az
n
 
oxirgi  tengsizlik  r  sonini  aniqlanishiga  zid,  chunki  bu  tengsizlikdan  yetarli 
kichik 
0


  uchun 
0
)
(



x
r
Ax

  ya’ni 
r
r
r
x




  kelib  chiqadi.  Demak, 
Az=rz. Ammo bu holda  
z
r
z
A
E
x
n
n
1
1
)
1
(
)
(
0







 
bo’lib, bundan 
0

z
 kelib chiqadi. 
Endi barcha harakteristik sonlar modullari r dan ortmasligini ko’rsatamiz. 
                                 
)
0
(


y
y
Ay

                                                     (4.11) 
bo’lsin. (4.11) ning   ikkala tomonidan modulga o’tib,  
                                  



Ay
y

                                                 
                 (4.12) 
ni hosil qilamiz. Bundan, 
r
r
y




 
faraz qilaylik, r harakteristik son qandaydir y  vektorga mos kelsin: 
)
0
(


y
ry
Ay
 
u holda (4.11) va (4.12) da 
r


 deb olib, xulosa qilamizki, 

y
-ekstremal vektor 
bo’lib, 
0


y
,  ya’ni 
0
),
,...,
,
(
2
1


i
n
y
y
y
y
y
  (i=1,2,…,n).  bundan  kelib 
chiqadiki,  r  harakteristik  songa  faqat  bitta  xos  yo’nalish  mos  keladi,  chunki, 
ikkita  chiziqli  bog’liqmas  z  va  z
1
  vektorlar  bo’lgan  holda  biz  shunday  c  va  d 
sonlarni  tanlashimiz  mumkin  bo’ladiki,  unda 
1
dz
cz
y


  xos  vektor  nolli 
koordinataga ega bo’ladi, isbotlanganga ko’ra bu mumkin emas. 
 
A
E


 harakteristik matritsa uchun quyidagi matritsani kiritamiz: 
1
1
,
)
)(
(
)
(
)
(






A
E
B
B
n
k
i
ik




, 
bu  yerda 
)
(


-A  matritsaning  harakteristik  ko’phadi, 
)
(

ik
B
esa 
)
(


 
aniqlovchidagi 
ki
ki
a


  elementning  algebraic  to’ldiruvchisi.  R  harakteristik 
songa faqat bitta 
0
,...,
0
,
0
),
,...,
,
(
2
1
2
1




n
n
z
z
z
z
z
z
z
 xos vektor mos kelishidan 

---

 
96 
kelib  chiqadiki, 
0
)
(

r
B
  va 
B(r)
  matritsaning  ixtiyoriy  nolmas  ustunida  barcha 
elementlar noldan farqli va bir xil ishorali bo’ladi. U holda bu hol B(r) matritsa 
satrlari uchun ham o’rinli, chunki A matritsa uchun yuritilgan mulohazalarni A
T
-
transponarlangan matritsa uchun ham yuritish mumkin. Bundan kelib chiqadiki, 
barcha 
)
(
r
B
ik
)
,...,
2
,
1
,
(
n
k
i

 noldan farqli va bitta 

 ishorali. Shuning uchun  







n
i
ii
T
r
B
r
1
0
)
(
)
(


, 
ya’ni  
0
)
(


r
T
 va r son 
)
(


 harakteristik ko’phadning oddiy ildizi. 
 
Shunday  qilib,  r  son 
...
)
(



n


  ko’phadning  maksimal  ildizi,  u  holda 
)
(


 ko’phad 
r


 da o’sadi. Shuning uchun  
0
)
(


r
T
  va 
1


   ya’ni 
                                      
)
,
...
,
2
,
1
,
(
0
)
(
n
k
i
r
B
ik


                                           (4.13) 
teoremaning ikkinchi qismini isbotlashda quyidagi lemmadan foydalanamiz: 
 
Lemma4.2.
    Agar 
n
k
i
ik
a
A
1
,


  va 
n
k
i
ik
c
C
1
,


  ikkita  bir  xil  n-o’lchovli 
matritsalar bo’lib, A- yoyilmaydigan matritsa va  
                                                
A
C


                                                          (4.14) 
bo’lsa, u holda C matritsaning 

 harakteristik soni bilan A matritsa r maksimal 
harakteristik soni o’rtasida  
                                             
r


                                                            (4.15) 
tengsizlik o’rinli.  (4.15) munosabatda tenglik belgisi  faqat va faqat  
                                         
1


DAD
e
C
i

                                                  (4.16) 
dagina o’rinli bo’lishu mumkin, bu yerda  
r
e
i



, 
D-elementlari moduli bo’yicha birga teng bo’lgan dioganal matritsa (D
+
=E).