O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

Lemmaning isboti. 
 C  matritsaning 

 harakteristik soniga mos  keluvchi 
xos vektorni y bilan belgilaymiz: 
)
0
(






y
y
C
 
(4.14) va (4.17) dan  
                                        






Ay
y
C
y

                                              (4.18) 

---

 
97 
shuning uchun  
r
r
y




 
 
Endi 
r


 holni  taxlil qilamiz. Bu holda (4.18)dan kelib chiqadiki, 

y
 A 
matritsa  uchun  ekstremal  vektor,  demak 
0


y
  va 

y
 
A  matritsaning  r 
harakteristik soniga mos xos vektor. Shuning uchun (4.18) quyidagi ko’rinishni 
oladi: 
                                     
0
,








y
ry
y
C
Ay
                                        (4.19) 
Bundan, (4.14) ga asosan 
                                       
A
C


                                                                    (4.20) 
)
,...,
,
2
,
1
(
),
,....,
,
(
2
1
n
j
e
y
y
y
y
y
y
j
i
j
j
n




 bo’lsin.  


n
i
i
i
e
e
e
D




,...,
,
2
1
 
dioganal matritsa olamiz. 
U holda   


Dy
y
 
Buni (4.17) ga qo’yib, 


i
re

 deb olib, quyidagini topamiz: 
                                   



ry
Fy
                                                             (4.21) 
Bu yerda   
                                   
CD
D
e
F
i
1




                                                         (4.22) 
(4.19) va (4.21) dan  
                               






Ay
y
C
Fy
                                                 (4.23) 
ammo (4.22) va (4.20) ga asosan 
A
C
F




 
shuning uchun (4.23) dan , 




y
F
Fy
 
0


y
 bo’lgani uchun bu tenglik 


F
F
 dagina, ya’ni  
A
CD
D
e
i



1

 
da o’rinli bo’ladi. Bundan  
1


DAD
e
C
i

 

---

 
98 
lemma isbotlandi. 
 
Teoremaning isbotiga qaytamiz. Isbotlangan  lemmani r maksimal moduli 
h  ta  har  xil  harakteristik  sonlarga  ega  bo’lgan  oyilmaydigan  A  matritsaga  
qo’llaymiz: 
)
2
....
(
,...,
,
1
2
1
0
1
1
0
1
1
0
























h
i
h
i
i
h
re
re
re
 
U  holda  C=A  va 
k



  deb  olib,  ixtiyoriy  k=0,1,…,h-1  uchun  quyidagiga  ega 
bo’lamiz: 
                                            
1


k
k
i
AD
D
e
A
k

                                            (4.24) 
bu  yerda  D
k
-dioganal  matritsa bo’lib,  
E
D
k


. 
 
z
 A matritsaning 
r
 maksimal harakteristik songa mos musbat xos vector 
bo’lsin: 
                                        
)
0
(


z
rz
Az
                                                  (4.25) 
u holda  
                                     
z
D
y
k
k

   
0



z
y
k
                                      (4.26) 
deb olib, (4.25) dan 
                              
k
k
k
y
y
A


  
)
1
,..,
1
,
0
,
(



h
k
re
k
i
k


              (4.27) 
Oxirgi  tenglikdan  ko’rinadiki, 
1
1
0
,
...
,
,

h
y
y
y
  vektorlar  A  matritsaning 
1
1
0
,...,
,

h



 
harakteristik sonlar uchun xos vektorlar bo’ladi. 
(4.24)  dan  kelib  chiqadiki  nafaqat 
r

0

  balki, 
1
1
0
,...,
,

h



  lar  A  matritsaning 
oddiy  harakteristik  sonlari  bo’ladi.  Shuning  uchun 
k
y
  xos  vektorlar  va 
)
1
,...,
2
,
1
,
0
(


h
k
D
k
    matritsalar  o’zgarmas  skalyar  ko’paytuvchi  aniqligida 
aniqlanadi. 
1
1
0
,...,
,

h
D
D
D
    matritsalarni  bir  qiymatli  aniqlash  uchun  bu 
matritsaning birinchi dioganal elementlarini birga teng qilib tanlaymiz. U holda 
                                             
E
D

0
 va 
0


z
y

 . 
(4.24) dan quyidagi kelib chiqadi: 
)
1
,...,
1
,
0
,
(
1
1
1
)
(






h
k
j
D
AD
D
D
e
A
j
k
k
j
i
k
j



 
bundan, yuqoridagi kabi xulosa qilamizki, 

---

 
99 
z
D
D
k
j
1

 
vektor A matritsani 
)
(
k
j
i
re



 harakteristik soniga mos xos vektori bo’ladi. 
Shuning  uchun 
)
(
k
j
i
e



  son 
l
i
e

  sonlarning  biri  bilan, 
1

k
j
D
D
  matritsa  esa 
j
D
 
matritsaning biri bilan ustma-ust tushadi, ya’ni qandaydir 
2
1
,
e
e
 larda  
2
1
)
(
)
(
,






i
i
i
i
e
e
e
e
k
j
e
k
j




, 
,
1
e
k
j
D
D
D

,   
2
1
e
k
j
D
D
D


 
Shunday  qilib, 
1
1
0
,...,
,

h
i
i
i
e
e
e



    songa  mos  va  dioganal 
1
1
0
,...,
,

h
D
D
D
 
matritsalar o’zaro izomorf  multiplikativ abel gruppalarini tashkil etadi. 
Har  qanday  h  ta  har  xil    elementli  chekli  gruppada    ixtiyoriy  elementning  h-
darajasi  gruppaning  birlik  elementiga  teng.  Shuning  uchun 
1
1
0
,...,
,

h
i
i
i
e
e
e



 
lar  birning  h-darajali  ildizlari  bo’ladi.  Shuningdek  , birning  hta  har  xil  ildizlari 
mavjud va 





2
,...,
0
1
2
1
0





h
 u holda  
)
1
,..,
1
,
0
(
2



h
k
k
k


 
va  
                           
)
1
...,
1
,
0
,
(
2
1





h
k
e
e
e
i
k
i
k
i
k





                             (4.28) 
                          
)
1
...,
2
,
1
,
0
(
,



h
k
r
k
k


                                           (4.29) 
 
1
1
0
,...,
,

h



  sonlar (4.4)  tenglamaning to’la yechimlar sistemasini tashkil etadi. 
(4.28) mos ravishda quyidagicha ega bo’lamiz: 
                         
)
1
,...
2
,
1
,
0
,
(
,
1




h
k
D
D
D
D
k
k
                                         (4.30) 
Endi (4.24) tenglikdan k=1 da 
                                          
1
2


DAD
e
A
h
i

                                               (4.31) 
hosil bo’ladi. Bundan kelib chiqadiki, A matritsa 
h
i
e

2
 ga ko’paytirilganda 
o’xshash matritsaga o’tadi, demak, A matritsada harakteristik sonlarning to’la 
 

---

 
100 
sistemasi 
h
i
e

2
 ga ko’paytirilganda o’zi-o’ziga o’tadi. 
E
D
h

 
ekanligidan  ko’rinadiki,  d  ning  dioganalidagi  barcha    elementlari  birning  h-
darajali  ildizlari  bo’ladi.    A  dagi  (mos  ravishda  D  dagi)  qatorlarni  o’rin 
almashtirish    bilan  D  matritsa    quyidagi  kvazidioganal    ko’rinishga  kelishi 
mumkin: 
                                 


1
1
1
1
0
0
,...,
,



s
s
E
E
E
D



                                   (4.32) 
bu yerda 
1
1
0
,...,
,

s
E
E
E
 -birlik matritsalar va  
h
n
e
p
p
i
p
p




2
,


 
(
p
n
-butun son, p=0,1,…,s-1, 0=n
0
1
<…s-1
h
s

. 
A matritsani quyidasicha  blok ko’rinishida yozib, 
                         
𝐴 = ‖
𝐴
11
𝐴
12
… 𝐴
1𝑠
𝐴
21
𝐴
22
… 𝐴
2𝑠
. .
𝐴
𝑠1
. .
𝐴
𝑠2
. .
…
. .
𝐴
𝑠𝑠
‖
                                     (4.33) 
                         
)
,...,
,
2
,
1
,
(
1
1
s
q
p
A
A
pq
p
q
pq







   
i
h
e


2

            (4.34) 
Bundan ixtiyoriy p va q da  






1
1
p
q
   yoki 
0

pq
A
. 
p=1  deb  olamiz.  Barcha 
n
A
A
A
1
13
12
,...,
,
  matritsalar  bir  vaqtda  nolga 
aylanishi  mumkin  emas, u  holda 
)
1
(
,...,
,
0
0
1
0
2
0
1









s
  yechimlardan  biri 

  ga  
teng  bo’lishi  kerak.  Bu  faqat 
1
1

n
  dagina  mumkin.  U  holda 




0
1
  va 
0
...
1
13
11




s
A
A
A
  huddi  shunday  (4.34)da  p=2  deb  olib, 
2
2

n
  va 
0
...
2
22
21




s
A
A
A
 va hakozo. Natijada quyidagini  hosil qilamiz: 
 

---

 
101 
𝐴 = ‖‖
0
𝐴
12
0 … 0
0
0
𝐴
23
… 0
. .
0
𝐴
𝑠1
. .
0
𝐴
𝑠2
. .
0
𝐴
𝑠3
. .
.
…
. .
𝐴
𝑠−1,𝑠
𝐴
𝑠𝑠
‖
‖
 
shunday qilib, 
1
1

n
,
2
2

n
,…,
1
1



s
n
s
. Ammo p=s da (4.34) tenglikning o’ng 
tomonida  quyidagi ko’paytuvchi turadi: 
)
,..,
2
,
1
(
2
)
(
1
1
s
q
e
i
h
s
q
p
q








 
bu  sonlardan  biri 
i
h


2

  ga  teng  bo’lishi  kerak.  Bu  faqat  s=h  va  q=1  dagina 
mumkin, demak, 
0
...
2



ss
s
A
A
 shunday qilib,  


1
1
2
2
1
0
,...,
,
,



h
h
E
E
E
E
D



 
 va A matritsa (4.5) ko’rinishga ega. 
Frobenus teoremasi to’la isbotlandi.