O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

Teorema 4. 3. 
 A manfiymas matritsa har doim r manfiymas harakteristik 
songa  egaki,  unda    A    matritsaning  barcha  harakteristik  ildizlarining  moduli  r 
dan  ortmaydi.  Bu  r  maksimal  harakteristik  songa 
0

y
  manfiymas  xos  vektor 
mos keladi: 

---

 
102 
)
0
,
0
(



y
y
ry
Ay
 
Isboti.
  A matritsa uchun (4.35) o’rinli bo’lsin. 
m
A
 matritsaning maksimal 
harakteristik sonini  
 
m
r
  bilan unga mos normalangan musbat xos vektorni 
 
m
y
 
bilan belgilaymiz: 
                    
m
A
 
m
y
=
 
m
r
 
 
 


,...
,
2
,
1
;
0
,
1



m
y
g
y
y
m
m
m
m
                     (4.36) 
u holda (4.35)  dan kelib chiqadiki, quyidagi limit mavjud: 
 
r
r
m

lim
 
bu yerda  r - A matritsaning harakteristik soni. 
 
0

m
r
 va 
 
)
(
0
m
m
r


, bu yerda 
)
(
0
m

-
m
A
 matritsaning ixtiyoriy harakteristik soni (m=1,2…) ekanligidan limitga 
o’tib, quyidagini hosil qilamiz: 
                                      
0
,
0



r
r
                                                     (4.37) 
bu  yerda 
0

-  A  matritsaning  ixtiyoriy  harakteristik  soni.  Bu  limitik  o’tishdan  
(4.35) bilan birga quyidagi hosil bo’ladi: 
                                               
 
0

r
B
                                                      (4.38) 
normalangan 
xos 
vektorlar 
 
...)
2
,
1
(

m
y
m
 
ketma-ketligidan 
qandaydir 
normalangan  y vektorga yaqinlashuvchi 
 
)
1
(

p
y
p
m
 qism ketma-ketlik ajratish 
mumkin. (4.36) tenglikdan limitga o’tib,  quyidagini hosil qilamiz: 
)
0
,
0
(



y
y
ry
Ay
 
teorema isbotlandi. 
Manfiymas  elementli  matritsalar  uchun  muhim  bo’lgan  qator  tasdiqlarni 
qarab chiqamiz: 
1.Agar   
n
k
i
ik
a
A
1
,


-r  maksimal  harakteristik  sonli  manfiymas  matritsa 
bo’lsa, u holda  
                               




r
A
E
d
d
A
E











,
0
,
0
1
1
                            (4.39) 
haqiqatan, 
0


r

da  
                                 










0
1
1
0
j
j
j
A
A
E


                                                (4.40) 

---

 
103 
yoyilma o’rinli, shuning uchun 
                                












0
2
1
0
)
1
(
j
j
j
A
j
A
E
d
d



                                    (4.41) 
2.Agar  A – r maksimal harakteristik sonli manfiymas matritsa bo’lib, 
 

B
  va 
 

C
 mos ravishda uning yopishgan va keltirilgan yopishgan 
matritsalari bo’lsa, u holda  
                                
r


 da 
 
,
0


B
  
 
0


C
                                             (4.42) 
bo’lib, 
  
  







1
A
E
B
,  
  
  




1



A
E
C
 
va                                                                                                                 
                               
r


 da 
 
,
0



 
0



                                                (4.43) 
  ekanligidan, (4.39) dan (4.42) kelib chiqadi. 
3.Agar A yoyilmaydigan, r maksimal harakteristik sonli matritsa bo’lsa, u  
holda  
                           
r


  da 


0
1



A
E

, 


0
1



A
E
d
d


,                            (4.44) 
                          
r


  da  
 
,
0


B
 
 
0


C
                                              (4.45) 
         4.
r

-A manfiymas matritsaning taribi n dan kichik bo’lgan bosh minorning 
harakteristik soni bo’lib, r-A matritsaning maksimal harakteristik soni bo’lsa, 
                                                  
r
r


                                                        (4.46) 
bo’ladi. Agar (n-1)-tartibli minor uchun 
r
r


 bo’lsa, u holda  
 
A
E





                                                    
 
harakteristik aniqlovchi uchun 
                                         
r
r




 da 
 
0



                                              (4.47) 
tengsizlik o’rinli. 
Agar A –yoyilmaydigan matritsa bo’lsa, u holda (4.46) da tenglik belgisi 
bo’lmaydi, ya’ni 
r
r


 bo’ladi. 
Agar  A  –yoyilmaydigan  matritsa  bo’lsa, u  holda  xech  bo’lmaganda  bitta 
bosh minor uchun (4.46) da tenglik belgisi o’rinli, ya’ni 
r
r


 bo’ladi. 
5.Agar 
0

A
 yoyiluvchi matritsa bo’lib, 

---

 
104 
△ (𝑟) = |
𝑟 − 𝑎
11
−𝑎
12
… −𝑎
1𝑛
−𝑎
21
𝑟 − 𝑎
22
… −𝑎
2𝑛
. .
−𝑎
𝑛1
. .
−𝑎
𝑛2
. .
…
. .
𝑟 − 𝑎
𝑛𝑛
|
 
harakteristik aniqlovchisining qandaydir bosh minori nolga aylansa, u holda shu 
minorni o’rab turuvchi minor xususiy holda (n-1)-tartibli bosh minorlardan biri 
 
 
 



nn
B
B
B
,...,
,
22
11
 
nolga aylanadi. 
6.
0

A
 matritsa faqat va faqat 
)
...,
2
,
1
(
0
)
(
n
i
r
B
ii


 
munosabatlardan birida tenglik belgisi o’rinli bo’lsa, yoyiluvchi bo’ladi. 
7.Agar  r-A>0  matritsaning  maksimal  harakteristik    soni  bo’lsa,  u  holda 
ixtiyoriy 
r


  da 
A
E
A




  harakteristik  matritsaning  barcha  bosh  minorlari 
musbat, ya’ni 
)
,..,
2
,
1
;
....
1
,
(
,
0
....
,
...
,
2
1
2
1
2
1
n
p
n
i
i
i
r
i
i
i
i
i
i
A
p
p
p


















                (4.48) 
bo’ladi. 
Lemma 4.3.
  (Kotelyanskiy lemmesi). 
Agar 
n
k
i
ik
g
G
1
,


  haqiqiy  matritsada  dioganalda  yotmagan  barcha 
elementar manfiy yoki nolga teng, 
                        
)
,....,
2
,
1
.
,
(
0
n
k
i
k
i
g
ik



      
                                      
 (4.49) 
bosh minorlar ketma-ketligi ega musbat 
                         
0
....
12
....
12
...,
,
0
12
12
,
0
1
1
11






















n
n
G
G
G
g
                      (4.50) 
bo’lsa, u holda G matritsaning bosh minorlari musbat, 
)
,..,
2
,
1
;
....
1
(
0
....
,
...
,
2
1
2
1
2
1
n
p
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
G
p
p
p















 
bo’ladi. 

---

 
105 
Teorema  4.4.
   

  haqiqiy  son 
0
1
,



n
k
i
ik
a
A
  matritsaning  r  maksimal 
harakteristik sonidan katta, 


r
 bo’lishi uchun 

ning bu qiymatida 
A
E
A
k



 
ketma-ketligi musbat,
 

− 𝑎
11
> 0,
 
                              
|

− 𝑎
11
−𝑎
12
−𝑎
21

− 𝑎
22
| > 0,
 
 
                 
, … , |

− a
11
−a
12
… a
1n
−a
21

− a
22
… a
2n
.
−a
n1
.
−a
n2
. .
…

− a
nn
|
                    (4.51) 
  
bo’lishi zarur va yetarli. 
Teorema  4.5.
    Dioganalda  yotmagan  elementlari  manfiymas  bo’lgan 
0
1
,



n
k
i
ik
c
C
 haqiqiy matritsaning barcha harakteristik sonlari manfiy haqiqiy 
qismga ega bo’lishi uchun 
      
C
11
< 0, |
C
11
C
12
C
21
C
22
| > 0, … , (−1)
n
|
C
11
C
12
… C
1n
C
21
C
22
… C
2n
.
C
n1
.
C
n2
.
…
.
C
nn
|
     (4.52) 
tengsizlik bajarailishi zarur va yetarli. 
Teorema  4.6.
          A-manfiymas  matritsaning  ixtiyoriy  lementi  o’sganda 
uning  maksimal  harakteristik  soni    kamaymaydi.  U  qat’iy  o’sadi,  agarda  A 
yoyilmaydigan matritsa bo’lsa.