O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

Teorema 4.
6

.
  Agar mos  ravishda  r  va  r
1 
 maksimal harakteristik sonli 
A  va  A
1
  manfiymas  matritsalar  berilgan  bo’lsa,  u  holda 
1
A
A

  tengsizlikdan 
1
r
r

    tengsizlik  kelib  chiqadi.    Agar  A    yoyilmaydigan  matritsa  bo’lsa, 
1
r
r

 
bo’ladi. 
Isboti.
  A  –yoyilmaydigan  matritsa  bo’lsin.    U  holda  A
1
    ham 
yoyilmaydigan  matritsa bo’ladi. A
1
 matritsaning r
1
 harakteristik soni uchun xos 
vektorini x bilan belgilaymiz: 

---

 
106 
)
0
(
1
1


x
x
r
x
A
 
bundan, 
                                       


x
A
A
rx
Ax
x
r
r
)
(
1
1





                      (4.53) 
ammo 
0
)
(
1


x
A
A
.  Shuning  uchun  agar  x  A  matritsaning  r  harakteristik  soni 
uchun xos vektor bo’lmasa,  u holda qandaydir 
)
1
(
n
i
i


  indeksda 


0
)
(
1
1




i
i
x
A
A
x
r
r
 
ya’ni, yana 
1
r
r

  bo’ladi. 
 
Yoyiluvchi  matritsa  bo’lgan  holda 
B
A
A




  va 
0
,
0
,
1
1







B
B
A
A
 
matritsalarni  kiritamiz,  u  holda 
0
1





vaA
A
A
  bo’ladi.  Shuning  uchun 


1
r
r

 
mos  ravishda   


1
vaA
A
  matritsalarning  maksimal  harakteristik  sonlari. 
0


  da 
limitga  o’tsak, 


1
vaA
A
  lar  mos  ravishda 
1
A
va
A
da, 


1
r
r

  tengsizlik 
1
r
r

 
tengsizlikka o’tadi. 
Mashqlar:
    Manfiymas  elementli  matritsalar  uchun  muhim  bo’lgan  1-7 
tasdiqlarni isbotlang. 
   
  
 
 
§4
.  
Yoyiluvchi matritsaning normal formasi. 
  
Ixtiyoriy 
n
k
i
ik
a
A
1
,


  yoyiluvchi  matritsani  qaraymiz..  uning  qatorlarini 
almashtirib, quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin; 
                                      
𝐴 = ‖
   
𝐵 𝑂
  𝐶 𝐷
 ‖
  
                                                     
(4.54) 
bu yerda B,D-kvadrat matritsalar. 
Agar  B  va  D  matritsalar  yoyiluvchi  bo’lsa,  uni    (4.54)ga  o’xshash  
ko’rinishda    tasvirlash    mumkin,    shundan  so’ng    A  matritsa  quyidagi  
ko’rinishni oladi: 
𝐴 = ‖
𝐾 𝑂 𝑂
𝐻 𝐿
𝑂
𝐹 𝐺 𝑀
‖
 
Agar K,L,M  matritsalarning  qandaydir biri yoyiluvchi bo’lsa, yuqoridagi 
jarayonni yana davom ettirish mumkin. Qatorlarni almashtirish natijasida biz A
 

---

 
107 
matritsada uchburchak bloklar (formasi) ko’rinishini beramiz: 
                               
𝐴 = ‖
𝐴
11
𝑂
… . 𝑂
𝐴
21
𝐴
22
… . 𝑂
.
𝐴
𝑆1
.
𝐴
𝑠2
. .
… . 𝐴
𝑠𝑠
‖
                              (4.55) 
bu yerda dioganaldagi bloklar yoyilmaydigan kvadrat matritsalardir. 
Dioganaldagi 
𝐴
𝑖𝑖
(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠)
 blok matritsalar ajralgan deyiladi, agarda  
𝐴
𝑖𝑘
= 0(𝑘 = 1,2, … , 𝑖 − 1, 𝑖 + 1, … , 𝑠)
 
bo’lsa.  (4.55)  matritsada    blokli  qatorlarni  o’rinlarini  almashtirib,    barcha  
ajralgan  bloklarni  bosh  dioganal  bo’ylab  birinchi  o’ringa  qo’yamiz.  Shundan 
so’ng A matritsa quyidagi ko’rinishni oladi: 
                          
s
g
s
sg
s
s
g
g
g
g
g
g
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
...
...
...
...
....
...
...
...
...
0
...
...
0
...
0
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
0
...
0
0
...
0
1
,
2
1
1
,
1
2
,
1
1
,
1
2
1






                    (4.56) 
u yerda 
𝐴
1
, 𝐴
2
, … , 𝐴
𝑠
 yoyilmaydigan matritsalarhar bir qatordagi,  
𝐴
𝑓1
, 𝐴
𝑓2
, … , 𝐴
𝑓,𝑓−1
(𝑓 = 𝑔 + 1, . . , 𝑠)
, 
matritsaning hech bo’lmaganda bittasi noldan farqli.  
 
(4.56)  matritsani yoyiluvchi A matritsaning normal formasi deb ataymiz. 
Teorema 4.7.
  
A ≥ 0
 matritsaning r maksimal harakteristik  soniga faqat 
va  faqat  shu  holda  musbat  xos    vektor  mos  keladi,  qachonki  A  matritsaning 
(4.64) normal formasida: 
1.
𝐴
1
, 𝐴
2
, … , 𝐴
𝑔
 matritsaning  har biri o’zining r harakteristik soniga ega: 
    
2. 𝑔 < 𝑠 𝑑𝑎 𝐴
𝑔+1,
𝐴
𝑔+2
, … 𝐴
𝑠
  matritsalarning  birortasi  ham  bunday 
xossaga ega emas. 
Isboti. 
R-maksimal harakateristik soniga z>0 musbat xos vektor mos kelsin. 
Bloklarga  bo’lish bilan mos ravishda (4.56) da z ustunni 
𝑧
𝑘
(𝑘 = 1,2, … , 𝑠)
 
qismlarga ajratamiz. U holda 

---

 
108 
                                      
𝐴𝑧 = 𝑟𝑧  (𝑧 > 0)
                                            (4.57) 
tenglik quyidagi ikkita tengliklar sistemasiga  almashadi: 
                                        A
i
z
i
= rz
i
    (i = 1,2, … , g)
                                       (4.57
|
)
   
                        
∑
A
jh
z
h
+
j−1
 h=1
A
j
z
j
= rz
j
, (j = g + 1, . . , s)
                   
(4.57
||
)
   
(4.57
|
)
    da  kelib  chiqadiki,  r  har  bir 
𝐴
1
, 𝐴
2
, … , 𝐴
𝑠
    matritsaning  harakteristik 
soni bo’ladi. (4.57
||
)
 dan quyidagini topamiz: 
                     𝐴
𝑗
𝑧
𝑗
≤ 𝑟𝑧
𝑗
, 𝐴
𝑗
𝑧
𝑗
≠ 𝑟𝑧
𝑗
, (𝑗 = 𝑔 + 1, … , 𝑠)
                     (4.58) 
𝑟
𝑗
  bilan 
𝐴
𝑗
(𝑗 = 𝑔 + 1, . . , 𝑠)
  matritsaning  maksimal  harakteristik  sonini 
belgilaymiz. U holda (4.58)dan quyidagini topamiz: 
𝑟
𝑗
≤ 𝑚𝑎𝑥
(𝐴
𝑗
𝑧
𝑗
)𝑖
𝑧
𝑖
𝑗
≤ 𝑟, (𝑗 = 𝑔 + 1, . . , 𝑠)
 
ikkinchi  tomondan 
𝑟
𝑗
= 𝑟
    tenglik  (4.58)  ning  ikkinchi  munosabatiga  ziddir. 
shuning uchun   
                                 𝑟
𝑗
< 𝑟    (𝑗 = 𝑔 + 1, … , 𝑠)
                                       (4.59) 
endi  aksincha,   
𝐴
𝑖
   (𝑖 = 1,2, … , 𝑔)
  matritsalarning  r  gat  eng  maksimal  xos 
qiymati  berilgan  bo’lsin, 
𝐴
𝑗
(𝑗 = 𝑔 + 1, . . , 𝑠)
  matritsalar  uchun  esa  (4.59)  
tengsizliklar  o’rinli.  U  holda  izlanayotgan    (4.57)  tenglikni 
 (4. 57
′
)
  va  
(4. 57
′′
)
  tengliklar  sistemasi  bilan  alamashtirib, 
(4. 57
′
)
  dan 
𝐴
𝑖
   (𝑖 =
1,2, … , 𝑔)
  matritsaning   
𝑧
𝑖
    musbat  xos  ustunlarni  aniqlashimiz  mumkin. 
Shundan so’ng,(4.57
||
)  dan 
𝑧
𝑗
  (𝑗 = 𝑔 + 1, . . , 𝑛)
 ustunlarni topamiz: 
            𝑧
𝑖
= (𝑟𝐸
𝑗
− 𝐴
𝑗
)
−1
− ∑
𝐴
𝑗𝑘
𝑧
ℎ
   (𝑗 = 𝑔 + 1, . . , 𝑠)
𝑗−1
𝑘=1
            (4.60) 
bu yerda  
𝐸
𝑗
 shu tartibli birlik matritsa bo’lib, 
𝐴
𝑗
 kabi 
(𝑗 = 𝑔 + 1, . . , 𝑠)
 
𝑟
𝑗
< 𝑟(𝑗 − 𝑔 + 1, … , 𝑠)
  
bo’lgani uchun 
                          
(𝑟𝐸
𝑗
− 𝐴
𝑗
)
−1
> 0  (𝑗 = 𝑔 + 1, … 𝑠)
                            (4.61) 

---

 
109 
(4.60)  formulalar  bilan  aniqlangan   
𝑧
𝑔+1
, … , 𝑧
𝑠
  ustun  musbat  ekanligini 
induktiv usul bilan isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy 
𝑗 (𝑔 + 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛)
 da 
𝑧
1
, 𝑧
2
, … , 𝑧
𝑗−1
 ustunning musbatligidan 
𝑧
𝑗
> 0
  kelib chiqishini ko’rsatamiz. 
Haqiqatan, bu holda  
∑ 𝐴
𝑗𝑘
𝑧
𝑘
    ≥ 0      
𝑗−1
𝑘=1
∑ 𝐴
𝑗𝑘
𝑧
𝑘
    ≠ 0 
𝑗−1
𝑘=1
 
bo’lib,  buni (4.61) bilan birgalikda qarasak (4.60) ga asosan kelib chiqadi. 
Shunday  qilib, 
𝑧 = ‖
𝑧
𝑖
.
𝑧
𝑠
‖
      musbat  ustun  A  matritsaning  r  harakteristik  soni 
uchun xos vektor bo’ladi.