O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti



Yüklə 3,17 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə38/73
tarix31.12.2021
ölçüsü3,17 Mb.
#81127
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   ...   73
5b1794a00c79b

Teorema  4.8.
     
A ≥ 0
  matritsa  faqat  va  faqat  shu  holda  primitive 
bo’ladiki, qachonki A matritsaning qandaydir darajasi musbat bo’lsa: 
                                          𝐴
𝑝
> 0  (𝑝 > 1)
                                              (4.64) 
Isboti.
   Agar 
𝐴
𝑝
> 0  
bo’lsa, u holda A matritsa yoyilmaydigan bo’ladi, 
chunki  A  matritsaning  yoyiluvchanligidan 
𝐴
𝑝
  matritsaning  yoyiluvchanligi 
kelib  chiqadi.  A  matritsa  uchun  hq1  bo’ladi,  chunki,  aks  holda 
𝐴
𝑝
  musbat 
matritsa  

1
𝑝
,

2
𝑝
, … ,


𝑝
 
h  ta 
𝑟
𝑝
  maksimal  mudulli  harakteristik  sonlarga  ega  bo’ladi.  Bu  perron 
teoremasiga ziddir.  
Endi aksincha  bo’lsin, ya’ni A primitiv matritsa berilgan bo’lsin. 
                                      𝐴
𝑝
= ∑
1
(𝑚
𝑘
−1)!
𝑠
𝑘=1
[
𝐶(

)

𝑝
𝜑
𝑘
(

)
]

=

k
𝑚
𝑘
−1
                  (4.65) 
bu yerda  


 
111 
𝜑(

) = (



1
)
𝑚
1
(



2
)
𝑚
2
… . (



𝑠
)
𝑚
𝑠
  (
f
j



, j = f da)
 
A-matritsaning minimal ko’phadi,  
𝜑
𝑘
(

) =
𝜑(

)
(
k



)
𝑚𝑘
(𝑘 = 1,2, … , 𝑠)
 
𝐶(

)
 
esa keltirilgan, yopishgan matritsa  
𝐶(

) = (
)
(
)
1





A
E
)
 
bu holda  
                          

1
= r > |

2
| > ⋯ > |

s
|, m = 1
                            (4.66) 
 deb olish mumkin bo’lib,  
𝐴
𝑝
=   
𝐶(𝑟)
𝜑(𝑟)
́   𝑟
𝑝
− ∑
1
(𝑚
𝑘
− 1)!
𝑠
𝑘=1
[
𝐶(

)

𝑝
𝜑
𝑘
(

)
]
k



𝑚
𝑘
−1
 
bo’ladi. Bundan (4.65) ga asosan 
                                            lim
𝑝→∞
𝐴
𝑝
𝑟
𝑝
=
𝐶(𝑟)
𝜑(𝑟)
́
                                           (4.67) 
bo’ladi. 
Ikkinchi tomondan C(r)>0  va 
𝜑(𝑟)
́
> 0
. Shuning uchun  
lim
𝑝→∞
𝐴
𝑝
𝑟
𝑝
> 0
 
bo’lib, qandaydir 1 dan boshlab, 
𝐴
𝑝
>0 bo’ladi. 
Eslatma.
    Agar  A  matrirsa  primitive  va 
𝐴
𝑝
> 0
  bo’lsa,  u  holda  barcha 
m>p uchun 
𝐴
𝑚
> 0 bo

ladi, 
 A matritsa nolli qatorni o’zida saqlamaydi. 
Natija.
    Primitiv  matritsaning  darajasi  har  doim  yoyilmaydigan  va 
primitiv  bo’ladi. 
Lemma4.4
.    agar  A-primitiv  matritsa  bo’lsa,  u  holda  ixtiyoriy  ikkita 
𝑖
,k 
indekslar uchun shunday 
𝑖, 𝑖
1
, 𝑖
2
, … , 𝑖
𝑠
, 𝑘 (𝑠 ≥ 0)
 indekslar zanjiri  mavjudki, 
unda  
𝑎
𝑖𝑖
1
> 0, 𝑎
𝑖
1𝑖2
> 0, … , 𝑎
𝑖
𝑠
𝑘
> 0
 


 
112 
bo’ladi.  
Bunday zanjirlarni A matritsada 
𝑖
 dan k ga olib boradi deb aytamiz. S+1 
son  zanhirning  uzunligi  deyiladi. 
𝑖
  dan  k  ga  olib  boruvchi  eng  qisqa  zanjirda 
barcha zanjirlar juft-jufti bilan har xil bo’ladi. 
Lemmani isbotlash uchun 
𝑠 ≥ 0
 deb olish yetarli bo’lib, unda  
   
0
1
,
1
1





n
k
i
s
ik
s
a
A
 
bo’lishi kerak.   U holda  

𝑎
𝑖𝑖
1
𝑛
𝑖
1
,𝑖
2
,…,𝑖
𝑠=1
𝑎
𝑖
1𝑖2
…..
𝑎
𝑖
𝑠
𝑘
− 𝑎
𝑖𝑘
𝑠+1
> 0
 
va barcha qo’shiluvchilar manfiymas, u holda ularning hech bo’lmaganda bittasi  
musbat bo’ladi. U so’ralayotgan indekslar zanjirini beradi. 
Teorema 4.9.
  
 
Agar 
A ≥ 0
    -yoyilmaydigan  matritsa  bo’lib,  uning 
qandaydir  darajasi 
A
q
  yoyiluvchi  bo’lsa,  u  holda 
A
q
  daraja  to’la  yoyiluvchi, 
ya’ni 
A
q
  ni  qatorlarini 
A
q
  daraja  to’la  yoyiluvchi,  ya’ni   
A
q
  ni  qatorini 
almashtirib, quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin: 
                                        A
q
= {A
1
, A
2
, … , A
d
, }
                                      (4.68) 
bu  yerda
 A
1
, A
2
, … , A
d
-yoyilmaydigan  matritsalar.  Bu  matritsalar  bir  xil 
maksimal harakteristik songa ega.  Shu bilan birga d son q va h sonlarning eng 
katta  umumiy  bo’luvchisi  bo’lib,  bu  yerda  h  son  A  matritsaning  imprimitivlik 
indeksi. 
  
Isboti.
    A matritsa yoyilmaydigan bo’lgani uchun Fobenus teoremasiga 
ko’ra,  r  maksimal  harakteristik  songa  a  va  A
T
    matritsalarning  musbat  xos 
vektorlari mos keladi. Ammo bu musbat vektorlar 
q
r


 harakteristik songa 
A
q
 
va (A
q
)
T
 matritsalar  uchun ham xos  vektorlar bo’ladi.  Shuning uchun ham A

 
darajaga teorem 4.7
|
  ni qo’llab, bu darajani (4.68)  ko’rinishda tasvirlaymiz. Bu 
yerda 
 𝐴
1
, 𝐴
2
, … , 𝐴
𝑑
  lar  yoyilmaydigan  matritsalar  bo’lib, 
q
r
  maksimal 


 
113 
harakteristik songa ega bo’ladi. Ammo A matritsa  r maksimal modulli quyidagi 
h ta harakteristik songa ega : 
𝑟, 𝑟𝜀, … , 𝑟𝜀
ℎ−1
(𝜀 = 𝑒
2𝜋

𝑖
)
,  
shuning uchun
 A

 matritsa ham quyidagi h ta maksimal modulli harakteristik 
ega; 
𝑟
𝑞
, 𝑟
𝑞
𝜀
𝑞
, … , 𝑟
𝑞
𝜀
𝑞(ℎ−1)
 
bo’lib,  d  ta  son 
𝑟
𝑞
  ga  teng  bo’ladi.  Bu  faqat  d  son  q  va  h  larning  eng  katta 
umumiy bo’luvchisi bo’lgandagina mumkin. Teorema isbotlandi. 
Agar teorema4.9 da q=h deb olsak, quyidagi natijani hosil qilamiz. 
Natija.
  
 Agar A-h impitivlik indeksli  impitiv matritsa bo’lsa, u holda 
A
h
  daraja  bir  hil  maksimal  harakteristik  songa  ega  bo’lgan  h  ta  primitive 
matritsalarga yoyiladi. 
 

Yüklə 3,17 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   ...   73




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə