120
Endi quyidagi kuchsizlangan Adamar shartlari bajarilsin:
𝐻
𝑖
= |𝑎
𝑖𝑖
| − ∑
|𝑎
𝑖𝑗
| ≥ 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛)
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑖
(5.13)
U holda har bir dioganal element o’zining satri uchun kuchsiz domirlovchi
bo’ladi.
Faraz qilaylik, A matritsa xos va Ax=0 bo’lib,
𝑥 = (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
) ≠ 0
vektor ustun
|
x
|
k
maksimal ustunli P ta
𝑥
𝑘
elementlarga ega va avval p
bo’lsin x vector koordinatalarini qayta nomerlab, modul bo’yicha maksimal
bo’lganlarini birinchi p ta koordinatalarga keltiramiz:
|𝑥
1
| = |𝑥
2
| = ⋯ = |𝑥
𝑝
| > |𝑥
𝑗
|, (𝑗 = 𝑝 + 1, … , 𝑛)
Bunda Ax=0 tenglik saqlanadi, agarda A matritsaning satr va ustunlarida
qandaydir almashtirishni amalga oshirsak. Shundan so’ng quyidagini yozish
mumkin:
𝑎
𝑘𝑘
𝑥
𝑘
= − ∑ 𝑎
𝑘𝑗
𝑥
𝑗
(𝑘 = 1,2, … , 𝑝)
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑘
bundan,
|𝑎
𝑘𝑘
||𝑥
𝑘
| ≤ (∑|𝑎
𝑘𝑗
|)|𝑥
𝑘
| + ∑ |𝑎
𝑘𝑗
||𝑥
𝑗
|
𝑛
𝑗=𝑝+1
≤ |𝑥
𝑘
| ∑|𝑎
𝑘𝑗
|
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑘
,
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑘
(5.14)
(𝑘 = 1,2, … , 𝑛)
Buni
|
x
|
k
ga qisqartirib, quyidagini hosil qilamiz:
|𝑎
𝑘𝑘
| ≤ ∑
|𝑎
𝑘𝑗
|
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑘
(𝑘 = 1,2, … , 𝑛)
(5.15)
bu munosabatni (5.13) ga qo’yib, xulosa qilamizki (5.15) va (5.14) da tenglik
belgisi o’rinli bo’ladi. Bu esa
faqat
∑ |𝑎
𝑘𝑗
| = 0 𝑘 = (𝑝 + 1, . . , 𝑛)
𝑛
𝑗=𝑝+1
dagina bajariladi, ya’ni
121
𝐴 = (𝐴
1
0⏞
𝑝 𝑡𝑎
𝐴
3
𝐴
4
)
(5.16)
ko’rinishda bo’ladi.
Ammo (5.16) ko’rinishdagi matritsa yoyiluvchi deyiladi. Shunday qilib,
p
Agar p=n bo’lsa, u holda barcha (5.15) munosabatlarda (5.13)da tenglik
belgisi o’rinli bo’ladi.
Biz
bunday xulosaga, A –xos matritsa deb olib, keldik.
Shunday qilib, quyidagi Adamar teoremasiga aniqlik kirituvchi quyidagi
teoremani isbotladik.
Dostları ilə paylaş: