O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

Teoerema 5.4.   (Fiddler teoremasi).
  Agar 
s
s

 o’lchovli G matritsa M 
–matritsa  bo’lsa, u holda 
n
n

 o’lchovli A matritsa regulyar bo’ladi. 
Isboti. 
Faraz  qilaylik 
0

A
    bo’lsin.  U  holda 
0

x
  da 
0

Ax
  bo’ladi. 
(5.21) va 


1
2
.
5

 ga asosan (5.26)ni hosil qilib, uni quyidagicha yozamiz: 
                            
)
,..,
2
,
1
(
0
0
1
1
1
s
x
A
x
A
s















                 
     (5.30) 
Avval  barcha 
0


x
  bo’lsin.  U  holda  (5.30)  da 

x
  oldidagi  koeffisientlarni 
ortirib,  ya’ni 
1
1



A
    ni  qandaydir 
1
1
~





A
G
  bilan  alamshtirib,  (5.30) 
tengsizliklardan quyidagi tengliklar sistemasini hosil qilamiz: 

---

 
127 
)
,..,
2
,
1
(
0
~
0
1
s
x
A
x
g
s













 
buni matritsali ko’rinishda quyidagicha yozamiz: 
0
~


G
, 
bu yerda 
𝐺 =
̃ (
𝐺̃
11
−|𝐴
12
|
… −‖𝐴
1𝑠
‖
−‖𝐴
21
‖
𝐺̃
22
… −|𝐴
2𝑠
|
− ‖
. .
𝐴
𝑠1
‖
. .
−‖𝐴
𝑠2
‖
. .
…
. .
𝐺̃
𝑠𝑠
)
, 


T
s
x
x
,.....,
0
1



. 
Bundan  
0
~

G
. 
Ikkinchi tomondan, M –matritsaning ta’rifiga ko’ra 
0
~


G
G
 
ekanligi kelib chiqadi. Biz 
0

A
 deb faraz qilib, qarama-qarshilikka keldik.    
 
Agar  qandaydir 
0


x
  bo’lsa,  u  holda  (5.30)    munosabatlardan  faqat 
0


x
 shartni qanoatlantiruvchi 

 qiymatlariga  moslarini olamiz. 
 
Yuqoridagi  mulohazalrni  so’zma-so’z  takrorlab, 
G
  ning  o’rniga  G 
matritsaning qandaydir bosh minorini olib, yana qarama-qarshilikka kelamiz. 
Teorema to’la isbotlandi. 
 
§5. Gershgoran doirasi  va boshqa lokallashtirish sohalari. 
n
k
i
ik
a
A
1
,


 
ixtiyoriy 
n
n

 o’lchovli, kompleks elementli matritsa bo’lib, 

 uning qandaydir 
harakteristik  soni  bo’lsin.  U  holda 
E
A


  xos    matritsa  bo’lib,  uning  uchun 
Adamarning    barcha  shartlari    bajarilishi  mumkin  emas,  ya’ni  quyidagi 
munosabatlardan xech bo’lmaganda bittasi  o’rinli bo’lishi kerak: 

---

 
128 
                                     
)
,..,
2
,
1
(
1
n
i
a
a
n
i
j
j
ij
ii







                                    (5.31) 
(5.31)  munosabatlarning har biri 

-kompleks tekkislikdagi 
ii
a
 markazli, 



n
i
j
j
ij
a
1
 
radiusli  qandaydir  doirani  aniqlaydi.  Biz  gershgorin  tomonidan    1931  yilda 
yaratilgan teoremaga keldik. 
 
Teorema 5.5.
  
(Gershgorin teoremasi).
 
 
n
k
i
ik
a
A
1
,


 
matritsaning  har  bir 

  harakteristik  soni  har  doim  (5.31)  doiralarning  birida 
joylashgan bo’ladi. 
Shunday  qilib,  (5.31)  Gershgorin  doiralari  barcha      harakteristik  sonlari 
yotadigan sohani beradi.  
 
Teorema 5.6
.  
 
1
,


s
A
A



 
blok  ko’rinishda  tasvirlangan 
n
n

  o’lchovli  A  matritsaning  har  bir 

 
harakteristik  soni  quyidagi  sohalarning  hech  bo’lmaganda  bittasiga  tegishli 
bo’ladi: 
                             







s
A
E
A






1
1
1
)
(
)
,..,
2
,
1
(
s


                       (5.32) 
Shuningdek,     
𝑥
𝛼
      quyidagi  sohalarning  hech    bo’lmaganda  bittasiga  tegishli 
bo’ladi: 
                            






1
1



E
A
)
,..,
2
,
1
(
,
1
s
A
s









               
)
2
3
.
5
(

 
bu yerda 

E
 birlik matritsa bo’lib, 

A
 matritsalar  bir xil tartibli 
)
,..,
2
,
1
(
s


. 
 
Fiddler  kriteriyasidan  kelib  chiqib,  qanday  lokallashtirish  sohasini  hosil 
qilish  mumkinligini  aniqlaymiz. 
s
c
c
c
,..,
,
2
1
  manfiymas  sonlar  shunday 
tanlanganki, unda  

---

 
129 
                     
𝐺 = (
𝑐
1
−‖𝐴
12
‖ … −‖𝐴
1𝑠
‖
−‖𝐴
21
‖
𝑐
2
… −|𝐴
2𝑠
|
− ‖
. .
𝐴
𝑠1
‖
. .
−‖𝐴
𝑠2
‖
. .
…
. .
𝑐
𝑠
)              
(5.33) 
matritsa  kuchsizlantirilgan  M  –  matritsa  bo’lsin,  ya’ni  dioganalda  yotmagan 
elementlari musbatmas bo’lib, barcha bosh minorlari manfiymas bo’lsin.  Faraz 
qilaylik, qandaydir 

 sonda quyidagi s ta tengsizlik bajarilsin: 
                                   






с
E
A




1
1
)
,..,
2
,
1
(
s


                     (5.34) 
u  holda,  (5.33)    matritsada   

C
ni 


1
1






E
A
  bilan  alamashtirib,  barcha 
dioganal elementlarni orttiramiz va M – matritsani hosil qilamiz: 
(
‖(𝐴
11
−

E
1
)
−1
‖
−1
−‖𝐴
12
‖
… −‖𝐴
1𝑠
‖
−‖𝐴
21
‖
‖(𝐴
22
−

E
2
)
−1
‖
−1
… −|𝐴
2𝑠
|
− ‖
. .
𝐴
𝑠1
‖
. .
−‖𝐴
𝑠2
‖
. .
…
. .
‖(𝐴
𝑠𝑠
−

E
s
)
−1
‖
−1
)      
 
ammo bu holda Fidler teoremasiga ko’ra 
0


E
A

 va 

 son A matritsaning 
harakteristik soni bo’lmaydi. 
Shuning uchun, A matritsaning ixtiyoriy 

 harakteristik soni uchun (5.34) 
tengsizlikning hech bo’lmaganda bittasi bajarilmaydi, ya’ni quyidagi 
munosabatlardan biri bajariladi: 
                           






с
E
A




1
1
)
,..,
2
,
1
(
s


                    (5.35) 
(5.35)  dagi  s  ta  sohani    birlashtirish,  maxsus  tanlangan 
s
c
c
c
,..,
,
2
1
  manfiymas 
parametrlarga bog’liq bo’lgan Fidlerning lokallashtirish sohasini tashkil qiladi. 
 
Teorema  5.7.(Fidler  teoremasi).
  Agar 
s
c
c
c
,..,
,
2
1
  manfiymas  sonlar 
shunday  tanlangan  bo’lib,  (5.33)  matritsa    kuchsizlangan  M  matritsa  bo’lsa,  u 
holda  A  matritsaning  har  bir 

  harakteristik  soni  s  ta  (5.35)  sohalarning  hech 
bo’lmaganda bittasiga tegishli bo’ladi. 
 
Misol sifatida quyidagi 4-tartibli simmetrik matritsani qaraymiz: 
 

---

 
130 
    
1
15
1
1
15
1
1
1
1
1
0
4
1
1
4
0







A
 
A-simmetrik matritsa bo’lgani uchun uning barcha harakteristik sonlari haqiqiy 
bo’ladi.  Shuning  uchun 

-kompleks  tekislikdagi  lokallashtirish  sohasi  o’rniga 

-haqiqiy o’qdagi sohalar  kesishishidan hosil bo’lgan kesmani qarash mumkin. 
 
I.   Gershgoren sohasi quyidagi segmantdan iborat bo’lib, 
16
18




 
bu segment Gershgorinning qolgan segmentlarini o’zida saqlaydi. 
II. A matritsani quyidagicha 4 ta blokka ajratamiz: 
 
𝐴 = (
𝐴
11
𝐴
12
𝐴
21
𝐴
22
)
,  
𝐴
11
= ‖0 4
4 0
‖
,    
𝐴
22
= ‖−1 15
15 −1
‖
, 
𝐴
21
= 𝐴
12
= ‖1 −1
1
1
‖
 
Bu holda  
(𝐴
11
−

E
1
)
−1
=
1

2
− 16
‖
−

−4
−4 −

‖
 
 
(𝐴
22
−

E
2
)
−1
=
1
(

+ 1)
2
− 15
2
‖−1 −

−1 −

−15
−15
‖
 
R
1
 va R
2
 fazolarning quyidagi uch xil ko’rinishdagi normalarini  qaraymiz: 
a)
 
 R
1
 va R
2 
da kubik normalarni; 
b)
 
 R
1
 da kubik,  R
2
 da esa oktaedrli normalarni 
c)
 
R
1
 da oktaedrli, R
2 
da esa kubik normalarni. 
a)
 
barcha bloklar bo’yicha normalar 
)
0
2
.
5
(

 formuladan aniqlanadi: 
2
12

A
,   
,
2
21

A
   
4
)
(
1
1
11






E
A
, 
15
1
)
(
1
2
22







E
A
 
Gershgorinning blokli sohasi 
2
4



,  
2
15
1




 

---

 
131 
Quyidagi 4 ta intervaldan iborat bo’ladi: 
                 
16
12
,
6
2
,
2
6
,
16
18















                         (IIa) 
b)
 
bu  holda 
1
1
1
11
)
(



E
A

  va   
1
1
2
22
)
(



E
A

  lar  uchun  ifodalar  
o’zgarmay qoladi, ammo 
4
2
,
1
max
max
max
2
1
2
1
2
0
1
2
1
12









i
i
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
A
 
Gershgorinning blokli sohasi 
1
4



,  
4
15
1




 
bo’lib, quyidagi 4 ta intervaldan iborat 
                 
18
10
,
5
3
,
3
5
,
12
20
















                        (IIb) 
c)
 
bu holni avvalgi holdan farqi shuki, bunda  
1
12

A
,   
,
4
21

A
 
bo’ladi. Shuning uchun Gershgorin sohasi. 
4
4



,  
1
15
1




 
bo’lib, quyidagi 3 ta intervalga bo’linadi: 
                           
15
17





 , 
15
8




,   
15
13



                                  (IIc)  
Bu sohalarning kesishmasi  lokallashtirish sohasini beradi: 
15
17





,   
,
5
3
,
3
5








 
III. Fidler kriteriyasini qo’llashda yana a), b), c) normalarni qaraymiz: 
𝐺 = (
𝑐
1
−‖𝐴
12
‖
−‖𝐴
21
‖
𝑐
) = ‖
𝑐
1
−2
−2
𝑐
2
‖      
0
4
2
1



c
c
G
 
1
c
 va 
2
c
 larning eng kichik qiymatlarini hosil qilish maqsadida 
1
c
4
2

c
 deb 
olamiz.  
1
4
c



,  
2
15
1
c




                                 
Fiddler sohasi 
1
c
 
2
2


c
 da (IIa) soha bilan, 
,
1
1

c
 
4
2

c
 da (IIb) soha bilan, 
4
1

c
  
1
2

c
 da esa (IIb) soha bilan ustma-ust tushadi. Fiddler sohasi quyidagi 4 ta 
intervaldan  iborat  bo’lib, bitta musbat parametrga bog’liq bo’ladi, chunki  

c
c
4
1

 . 

---

 
132 
                       
,
16
16
2
2
c
c







    
,
4
4
1
1
c
c







                              (III) 
,
4
4
1
1
c
c





  
,
14
14
2
2
c
c





 
Barcha Fidler sohalari kesishmasini aniqlash mumkin. Buning uchun quyidagi 
miqdorlarni  qaraymiz: 
1) 
,
4
16
1
2
c
c





 
2) 
,
4
16
1
2
c
c





 
3) 
,
4
16
1
2
c
c





 
4) 
,
14
4
2
1
c
c



 
5) 
,
14
4
2
1
c
c



 
6) 
,
14
4
2
1
c
c



 
1
c
4
2

c
  tenglikdan  foydalanib,  eng  kichik  musbat  ildizli  6  ta  kvadrat 
tenglamani hosil qilamiz: 
1) 
...,
3246
,
0
40
6
,
0
4
12
1
2
2
2







z
c
c
 
2) 
...,
3431
,
0
32
6
,
0
4
12
2
2
2
2






z
c
c
 
3) 
...,
3246
,
0
40
6
,
0
4
12
1
3
1
2
1








z
z
c
c
 
4) 
...,
3852
,
0
29
5
,
0
4
10
4
1
2
1







z
c
c
 
5) 
...,
4174
,
0
21
5
,
0
4
10
5
1
2
1






z
c
c
 
6) 
...,
3852
,
0
29
5
,
0
4
10
4
6
2
2
2








z
z
c
c
 
Lokallashtirish sohasi quyidagi 4 ta segmentdan iborat bo’ladi: 
2
1
16
16
z
z







 ,        
1
2
4
4
z
z







 
5
4
4
4
z
z





,      
4
5
14
14
z
z





 
Mashqlar: 
1.
 
Adamar  va  Fidler  kriteriyalaridan  foydalanib  quyidagi  matritsalarning 
regulyarligini tekshiring:  
2.
 
 
     
(
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
)
               
( 
4
6
0
−3 −5  0
−3 −6 1
  )
           
( 
7
−12 −2
3
−4
0
−2
0
−2
 )
     
 

---

 
133 
     
(
13
16
16
−5 −7 −6
−6 −8 −7
)
               
(
3
0
8
3
−1
6
−2
0
−5
)
           
(
0
3
3
−1
8
6
2
−14 −10
)
 
 
  
  (
4
5
−2
−2 −2
1
−1 −1
1
 )                  (
9
22 −6
−1 −4
1
8
16 −5
)
           
(
8
30
−14
−5 −19
9
−6 −23
11
)
 
 
      (
−2
8
6
−4 10
6
4
−8 −4
)
              
(
3
7
−3
−2
−5
2
−4 −10
3
)
           
(
−1
1
1
−5
21
17
6
−26 −21
)
 
                         
                              
 ( 
1 −1 2
3 −3 6
2 −2 4
 )                        (
−4 2 10
−4 3
7
−3 1
7
)
 
                                      
3.
 
𝐴 = [
0   
1       0
     𝑖
1   
6         1      1
𝑖 2
⁄     𝑖          5      0
      0      1 2
⁄      1 2   − 2
⁄
]
     
bo’lsa,  A  va 
𝐴
𝑇
    matritsalarning  uchu 
Gershgorin  doirasini  toping.  Agar  S=diag{1,1,1,4},  bo’lsa 
𝑆𝐴𝑆
−1
    ni 
xisoblang va A  matritsa 
|𝑧 + 2| ≤
1
2
    doirada xaqiqiy xos qiymatga ega 
ekanligini xosil qiling.  
4.
 
Agar 
𝑎
𝑗𝑗
> ∑ |𝑎
𝑗𝑘
| = 𝑝
𝑗
′
𝑘
            j=1,2,…,n    bo’lsa,  u  xolda  A  matritsa 
xosmas bo’lishini ko’rsating. 
5.
 
Agar A=B+C, B=diag{1,2,2} va j,k=1,2,3 uchun 
|𝑐
𝑗𝑘
| ≤ 𝜀 <
1
6
   bo’lsa, u 
xolda    A  matritsani   
|𝑧 − 1 − 𝑐
11
| ≤ 13𝜀
2
  doirada    xos  qiymati  mavjud 
ekanligini isbotlang. 
6.
 
‖𝐴 − 𝐵‖ ≥ ‖𝐴‖ − ‖𝐵‖
  ekanligini isbotlang. 
7.
 
Xaqiqiy qiymatli 
∑ |𝑎
𝑖𝑗
|
𝑖,𝑗
  funksiya matritsa normasi bo’lishini isbotlang.  
8.
 
Ixtiyoriy matritsa normasi uchun quyidagilarni isbotlang. 
 
‖𝐼‖ ≥ 1, ‖𝐴
𝑛
‖ ≤ ‖𝐴‖
𝑛
, ‖𝐴
−1
‖ ≥
1
‖𝐴‖
   
 

---

 
134 
VI-BOB. 
 MATRITSALI      TENGLAMALAR
. 
 
Bu  bobda  matritsalar  nazariyasi  va  ularning  tadbiqlari  masalalarida 
uchraydigan matritsali tenglamalarning ba’zi ko’rinishlari qarab chiqiladi.