§5. Matritsali ko’phadli tenglamalar.
Quyidagi tenglamani qaraymiz:
,
0
1
1
0
m
m
m
A
x
A
x
A
(6.41)
0
...
1
1
0
m
m
m
A
A
y
A
y
(6.42)
bu yerda
m
A
A
A
,
,
,
1
0
-berilganlar,
x
va
y
izlanayotgan
n
tartibli kvadrat
matritsalar.
Avvalgi
paragrafdagi
(6.33)
tenglama
(6.41),
(6.42)
tenglamalarning xususiy holi bo’lib,
m
i
E
A
i
i
i
,
...
,
2
,
1
,
,
sonlar bo’lganda
(6.41), (6.42) dan (6.33) kelib chiqadi.
Quyidagi teorema (6.41),(6.42) va (6.33) tenglamalar o’rtasidagi
bog’lanishni o’rnatadi.
Teorema 6.4
.(6.41 ) va (6.42) tenglamalarning har bir yechimi
0
)
(
x
g
(6.43)
bu yerda
m
m
m
A
A
A
g
...
1
1
0
. (6.44)
skalyar tenglamaning qanoatlantiradi .
Isbot.
m
m
m
A
A
A
F
...
1
1
0
matritsali ko’phadni qaraymiz. U xolda (6.41)
va (6.42) tenglamalar
0
)
(
x
F
0
)
(
ˆ
y
F
ko’rinishda yoziladi.
Umumlashgan Bezu teoremasiga asosan, agar
X
va
Y
bu tenglamalarning
yechimi bo’lsa,
)
(
F
ko’phad chapdan
X
E
ga o’ngdan
Y
E
da bo’linadi:
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
1
Q
Y
E
X
E
Q
F
Bundan,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
Q
Q
F
g
(6.45)
146
bu yerda
X
E
)
(
,
Y
E
)
(
1
lar mos ravishda
X
va
Y
matritsalarning xarakteristik ko’phadi. Gamelton – Keli teoremasiga asosan
0
)
X
(
,
0
)
(
1
Y
Shuning uchun (6.45) dan
0
)
(
)
X
(
y
g
g
kelib chiqadi .
Biz (6.41) tenglamaning har bir yechimi darajasi
n
m
dan katta
bo’lmagan
0
)
(
g
skalyar tenglamani qanoatlantirishni isbotladik. Ammo bu tenglamani berilgan
n
tartibli matritsali yechimlar to’plami o’zaro o’xshash bo’lgan
matritsalarning chekli sondagi sinfidan iborat bo’ladi . Shuning uchun (6.41)
tenglamaning barcha yechimlarini quyidagi ko’rinishdagi matritsalar orasidan
izlash kerak:
1
i
i
i
T
D
T
,
(6.46)
bu yerda
i
D
-ma’lum matritsa bo’lib, uni normal Jordan formaga ega deb
hisoblash mumkin;
i
T
-ixtiyoriy
n
-tartibli xosmas matritsa,
.
,...,
,
2
,
1
n
i
(6.46)
matritsani (6.41) dagi
X
ning o’rniga qo’yib
i
T
ni shunday tanlaymizki, unda
(6.41) tenglama qanoatlantirilsin. Har bir
i
T
uchun quyidagicha chiziqli
tenglamani hosil qilamiz:
)
,
....
,
2
,
1
(
0
...
1
1
0
n
i
T
A
D
T
A
D
T
A
i
m
m
i
i
m
i
i
(6.47)
(6.47) tenglamanidagi
i
T
yechimni topish uchun taklif qilinadigan yagona usul
shundan iboratki, matritsani tenglamani
i
T
matritsa elementlariga nisbatan bir
jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi bilan almashtirishdir. (6.47) tenglamaning
har bir
i
T
yechimini (6.46) ga qo’yib, (6.41) tenglamaning yechimini hosil
qilamiz. Xuddi shunday mulohazalarni (6.42) tenglama uchun ham yuritish
mumkin.
Ko’rinib turibdiki, Gamelton Keli teoremasi Teorema-6.4 ning xususiy
xoli bo’lib, ixtiyoriy A kvadrat matritsa
0
A
E
tenglamani qanoatlantiradi. Shuning uchun teorema-6.4 ga asosan
147
0
A
E
A
.
Teorema 6.4 ni quyidagicha umumlashtirish mumkin:
Teorema 6.5.
(Fillips teoremasi).Agar juft-jufti bilan o’zaro o’rin
almashinuvchi bo’lgan
n
-tartibli
m
X
X
X
,...,
,
1
0
matritsalar,
0
...
1
1
0
0
m
m
X
A
X
A
X
A
(6.48)
(bu yerda
m
A
A
A
,...,
,
1
0
-berilgan,
n
-tartibli kvadrat matritsalar) matritsali
tenglamani qanoatlantirsa, u holda bu
m
X
X
X
,...,
,
1
0
matritsalar quyidagi skalyar
tenglamani qanoatlantiradi
0
)
,...,
,
(
1
0
m
X
X
X
g
, (6.49)
bu yerda
m
m
m
A
A
g
...
)
,...,
,
(
0
0
1
0
(6.50)
Isboti.
m
m
n
k
i
m
ik
m
A
A
A
f
F
...
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
1
1
0
0
1
,
1
0
1
0
deb
olamiz, bu yerda
m
,...,
,
1
0
-skalyar o’zgaruvchilar bo’lib,
)
,...,
,
(
1
0
m
ik
f
-shu
skalyar o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqli forma (i,k=1,2,...,n).
n
k
i
m
ik
m
f
F
1
,
1
0
1
0
)
,...,
,
(
ˆ
)
,...,
,
(
ˆ
orqali F matritsa uchun yopishgan
matritsani belgilaymiz. Bu yerda
k
i
f
,
ˆ
)
,...,
,
(
1
0
m
F
aniqlovchidagi
i
k
f
,
elementning algebraik to’ldiruvchisi (i,k=1,2,...,n). U holda
F
ˆ
matritsaning har
bir
k
i
f
,
ˆ
(i,k=1,2,...,n) elementi
m
,...,
,
1
0
larga nisbatan
1
m
darajali bir jinsli
ko’phad bo’ladi, shuning uchun
F
ˆ
ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
m
j
m
j
j
m
j
j
j
m
F
j
j
j
n
F
...
...
1
1
0
0
,...,
1
,
0
1
0
1
ˆ
bu yerda
m
j
j
j
F
,...,
,
1
0
-qandaydir
n
-tartibli o’zgarmas matritsa.
F
ˆ
matritsaning ta’rifidan, quyidagi ayniyat kelib chiqadi:
E
g
F
F
m
)
,...,
,
(
ˆ
1
0
Bu ayniyatni quyidagicha yozamiz:
E
g
A
A
A
F
F
m
j
m
j
j
m
m
j
j
j
n
j
j
j
m
m
m
)
,...,
,
(
...
)
(
ˆ
1
0
1
0
1
1
0
0
,...,
,
1
...
1
0
1
0
1
0
(6.51)
148
(6.51) ayniyatning chap tomonidan o’ng tomoniga o’tish qavslarni ochish
va o’xshash hadlarga keltirish yo’li bilan amalga oshiriladi. Bunda
m
,...,
,
1
0
larni o’zaro o’rinlarini almashtirishga to’g’ri kelib, bularni
i
A
va
m
j
j
j
F
,...,
,
1
0
matritsali koeffisientlar bilan o’rinlarini almashtirmaslikka to’g’ri keladi.
Shuning uchun (6.51) o’z kuchida qoladi, agar
m
,...,
,
1
0
larni o’zaro o’rin
almashinuvchi
m
X
X
X
,...,
,
1
0
matritsalar bilan almashtirsak:
)
,...,
,
(
...
)
(
1
0
1
0
1
1
0
0
,...,
,
1
...
1
0
1
0
1
0
m
j
m
j
j
m
m
j
j
j
n
j
j
j
X
X
X
g
X
X
X
X
A
X
A
X
A
F
m
m
m
(6.52)
Ammo bunda
0
1
1
0
0
m
m
X
A
X
A
X
A
shart bajarilishi kerak bo’ladi. U holda
(6.52) dan
0
)
,...,
,
(
1
0
m
X
X
X
g
ni xosil qilamiz.
Eslatma1.
Agar (6.48) tenglama
0
1
1
0
0
m
m
X
A
X
A
X
A
(6.53)
tenglam bilan almashtirilsa, teorema 6.5 o’z kuchida qoladi.
Haqiqatan, teorema6.5 ni
0
1
1
0
0
m
m
T
T
T
X
A
X
A
X
A
tenglamaga qo’llash mumkin, so’ngra bu tenglamadan hadlab, transponirlangan
matritsaga o’tih mumkin.
Eslatma 2
. Agar
m
X
X
X
,...,
,
1
0
lar sifatida
E
X
X
X
m
m
,
,...,
,
1
larni olsak,
Teorema 6.4 , Teorema 6.5 ning xususiy holi sifatida kelib chiqadi.
Dostları ilə paylaş: |