§6. Hosmas matritsadan
m
-darajali ildiz chiqarish.
Quyidagi tenglamani qaraymiz:
A
X
m
(6.54)
bu yerda
A
-berilgan,
X
-izlanayotgan
n
-tartibli matritsalar,
m
-butun musbat
son.
Bu paragrafda
0
A
bo’lgan xolni qaraymiz. Bu holda A matritsaning
barcha xarakteristik sonlari noldan farqli bo’ladi.
A
matritsaning elementa bo’luvchilarini
u
p
u
p
p
)
(
,...,
)
(
,
)
(
2
1
2
1
(6.55)
149
lar orqali belgilab,
A
matritsani quyidagicha Jordan formasiga keltiramiz:
1
1
1
1
1
)
,...,
(
~
U
H
E
H
E
U
U
A
U
A
u
u
u
(6.56)
Izlanayotgan
X
matritsaning xarakteristik sonlarini
m
-darajali
A
matritsaning xarakteristik soniga teng bo’lgani uchun
X
matritsaning
xarakteristik sonlari ham noldan farqli bo’ladi. Shuning uchun bu xarakteristik
sonlarda
m
f
)
(
dan olingan hosila nolga aylanmaydi.Ammo bu holda
X
matritsaning elementar bo’luvchilari
X
matritsani
m
-darajaga ko’targanda
yoyilmaydi. Bundan kelib chiqadiki,
X
matritsaning elementar bo’luvchilari
quyidagilar bo’ladi:
u
p
u
p
p
)
(
,...,
)
(
,
)
(
2
1
2
1
(6.57)
bu yerda
j
m
j
m
j
j
)
,...,
2
,
1
(
n
j
.
Endi
m
j
j
j
H
E
ni quyidagicha aniqlaymiz.
-tekislikda markazi
j
nuqtada bo’lib, nolni o’z ichiga olmaydigan doira olamiz. Bu doirada
m
funksiyani
m
ta ajralgan tarmoqlariga ega bo’lamiz. Bu tarmoqlarini doira
markazida qabul qiladigan qiymatlariga qarab ajratish mumkin.
m
bilan
j
nuqtada izlanayotgan
X
matritsaning
j
xarakteristik soni bilan ustma-ust
tushadigan qiymatni qabul qiluvchi tarmoqni belgilaymiz va shu tarmoqdan
kelib chiqib, quyidagi qator yordamida
m
j
j
j
H
E
dan olingan funksiyani
aniqlaymiz:
...
1
1
1
!
2
1
1
2
2
1
0
1
1
0
1
0
j
m
j
m
j
m
m
j
j
j
H
m
m
H
m
E
H
E
(6.58)
Qaralayotgan
m
funksiyadan
j
olingan hosila nolga teng emas, u holda
(6.58) matritsa faqat bitta
j
p
j
)
(
elementar bo’luvchiga ega bo’lib,
m
j
j
,
)
,...,
2
,
1
(
n
j
.
Bundan kelib chiqadiki,
m
u
u
u
m
m
H
E
H
E
H
E
,....,
,
2
2
2
1
1
1
kvazidioganal matritsa (6.57) , ya’ni izlanayotgan
X
matritsa elementar
bo’luvchilariga ega. Shuning uchun shunday T xosmas matritsa mavjudki, unda
150
1
2
2
2
1
1
1
,....,
,
T
H
E
H
E
H
E
T
X
m
u
u
u
m
m
(6.59)
T matritsani aniqlash uchun
m
m
)
(
ayniyatdagi
ning o’rniga
j
j
j
H
E
,
)
,...,
2
,
1
(
n
j
ni qo’yib,
j
j
j
m
m
j
j
j
H
E
H
E
)
(
,
)
,...,
2
,
1
(
n
j
ni hosil qilamiz.
(6.54) va (6.59) dan quyidagi kelib chiqadi:
1
2
2
2
1
1
1
,....,
,
T
H
E
H
E
H
E
T
A
u
u
u
(6.60)
(6.56) va (6.60) dan quyidagini topamiz:
A
UX
T
~
(6.61)
bu yerda
A
X
~
-
A
~
matritsa bilan o’rin almashinuvchi, ixtiyoriy xosmas matritsa (
A
X
~
ning ifodasi
§
2 da keltirilgan).
(6.61) ni (6.59) ga qo’yib, (6.54) tenglamani barcha yechimlarini o’z
ichiga oluvchi formulani hosil qilamiz:
1
1
~
2
2
2
1
1
1
~
,....,
,
U
X
H
E
H
E
H
E
UX
X
A
m
u
u
u
m
m
A
(6.62)
(6.54) tenglamaning barcha yechimlarini A matritsaning
m
darajali ildizi
deb,
m
A
ko’pqiymatli simvol bilan belgilaymiz.
m
A
umumiy holda A
matritsaning funksiyasi bo’lmaydi, ya’ni A ning ko’phadi ko’rinishida
tasvirlanmaydi.
Eslatma.
Agar A matritsaning barcha elementar bo’luvchilari juft-jufti
bilan o’zaro tub, ya’ni
u
,...,
2
1
sonlar har xil bo’lsa,
A
X
~
matritsa quyidagicha
kvazidiogonal ko’rinishga ega bo’ladi:
u
A
X
X
X
X
,...,
,
2
1
~
bu yerda
j
X
matritsa
j
j
j
H
E
matritsa bilan o’rin almashinuvchi, demak
j
j
j
H
E
ning ixtiyoriy funksiyasi bilan, xususiy holda
m
j
j
j
H
E
bilan o’rin
almashinuvchi bo’ladi
)
,...,
2
,
1
(
n
j
. Shuning uchun bu holda (6.62) quyidagicha
bo’ladi:
1
2
2
2
1
1
1
,....,
,
U
H
E
H
E
H
E
U
X
m
u
u
u
m
m
151
Shunday qilib, agar
A
matritsaning elementar bo’luvchilari juft-jufti bilan
o’zaro tub bo’lsa,
m
A
X
uchun formulada faqat diskret ko’pqiymatlilik bo’ladi.
Bu holda ixtiyoriy
m
A
qiymatni
A
ning ko’phadi sifatida tasvirlash mumkin.
Misol. Quyidagi matritsaning barcha kvadrat ildizlarini toping:
1
0
0
0
1
0
0
1
1
A
,
ya’ni
A
X
2
tenglamani barcha yechimlarini toping.
Bu holda
A
matritsaning Jordonnning normal formasiga ega. Shuning
uchun (6.62) da
A
A
~
,
E
U
deb olish mumkin
A
X
~
matritsa quyidagi
ko’rinishda bo’ladi:
e
d
a
c
b
a
X
A
0
0
0
~
,
bu yerda
e
d
c
b
a
,
,
,
,
-ixtiyoriy parametrlar.
(6.62) formula quyidagi ko’rinishni oladi:
𝑋 = [
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑎 0
0 𝑑 𝑒
] [
𝜀
𝜀
2
0
0 𝜀 0
0 0 𝜂
] [
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑎 0
0 𝑑 𝑒
]
−1
, 𝜀
2
= 𝜂
2
= 1
(6.63)
X
ni o’zgartirmay, (6.62) formulada
A
X
~
ni shunday skalyarga
ko’paytirish mumkinki, unda
1
~
A
X
bo’ladi. Bu qaralayotgan holda
1
2
e
a
tenglikka olib keladi, bundan
2
a
e
.
𝑋
𝐴̃
−1
matritsaning elementlarini hisoblaymiz. Buning uchun
A
X
~
koeffisiyentilaridan tuzilgan matritsani chiziqli almashtirishni yozamiz:
3
2
1
1
cx
bx
ax
y
,
2
2
ax
y
,
3
2
2
3
x
a
dx
y
.
Bu sistemani
3
2
1
,
,
X
X
X
ga nisbatan yechib, quiydagi teskari almashtirishni hosil
qilamiz:
152
3
2
2
1
1
1
)
(
acy
y
cd
b
a
y
a
x
,
2
1
2
y
a
x
,
3
2
2
3
y
a
ady
x
.
Bundan ,
2
1
2
1
1
2
1
~
0
0
0
0
0
0
a
ad
a
ac
b
a
cd
a
a
d
a
c
b
a
X
A
bo’lib, (6.63) dan
w
v
vw
da
c
a
acd
X
)
(
0
0
0
)
(
2
)
(
)
(
0
0
0
)
(
2
)
(
1
2
, (6.64)
d
a
w
c
a
v
1
2
,
Demak,
X
yechim ikkita
v
va
w
ixtiyoriy parametrlar va ikkita
va
ixtiyoriy
belgilarga bog’liq.
Dostları ilə paylaş: |