O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

 
§7. Xos matritsadan 
m
-darajali ildiz chiqarish.  
 
Bu paragrafda 
0

A
 holni qaraymiz. 
 
Bu holda ham 
0

A
 holdagi kabi 
A
 matritsani quyidagicha Jordonning 
normal formasiga keltiramiz: 
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
)
,...,
,
,
,...,
(
2
1
1
1




U
H
H
H
H
E
H
E
U
A
t
u
u
q
q
q
p
p
u
p
p


,            (6.65) 
bu yerda 
u
p
u
p
)
(
,....,
)
(
1
1






-
A
 matritsaning nolmas xarakteristik sonlariga 
mos elementar bo’luvchilari, 
t
q
q
q



,...,
,
2
1
 esa nolli xarakteristik sonlarga mos 
elementar bo’luvchilari. 
 
U holda  


1
2
1
,


U
A
A
U
A
                                             
(6.66) 
bu yerda 




)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
1
,...,
,
;
,...,
2
1
1
1
t
u
u
q
q
q
p
p
u
p
p
H
H
H
A
H
E
H
E
A






  
(6.67) 

---

 
153 
ko’rinib turibdiki, 
1
A
-xosmas matritsa, ya’ni 
0
1

A
, 
2
A
esa nilpotentlik indeksi  


t
q
q
q
,...,
,
max
2
1


 bo’lgan nilpotent matritsa, ya’ni 
0
2


A
. 
 
Berilgan (6.54) tenglamadan kelib chiqadiki, 
A
 matritsa izlanayotgan 
X
 
matritsa bilan o’rin almashinuvchi, demak, unga o’xshash bo’lgan quyidagi 
matritsalar bilan ham o’rin almashinuvchi: 


2
1
1
,
A
A
AU
U


 va 
XU
U
1

          
 
(6.68) 
 
§2  dagi  teorema  6.3  da  isbotlanganidek,  (6.68)  matritsalarning  o’rin 
almashinuvchanligidan va 
1
A
 va 
2
A
 matritsalarni  umumiy xarakteristik sonlarga 
ega  emasligidan  kelib  chiqadiki,  (6.68)  ning  ikkinchi  matritsasi  mos  ravishda 
kvazidiogonal formaga ega 


2
1
1
,
X
X
XU
U


                 
 
 (6.69). 
 
(6.54) tenglamadagi 
A
 va 
X
 matritsalarni ularga o’xshash bo’lgan  


2
1
,
A
A
  va 


2
1
,
X
X
 
matritsalar bilan almashtirib, (6.54) tenglamani quyidagi ikkita tenglama bilan 
almashtiramiz:  
1
1
A
X
m

, 
 
 
 
             (6.70) 
 
2
2
A
X
m

  
 
 
 
             (6.71) 
0
1

A
 bo’lgani uchun (6.70) tenglamaga avvali paragrafdagi natijalarni qo’llab, 
1
X
 ni (6.62) formula bo’yicha topamiz: 


1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
1
1
,....,




A
m
p
p
u
m
p
p
A
X
H
E
H
E
X
X
u
u


       
(6.72) 
 
Shunday qilib, (6.71) tenglamani qarash qoldi, ya’ni 


)
(
)
(
)
(
2
,...,
,
2
1
t
q
q
q
H
H
H
A

                                   (6.73) 
Jordonning  normal  formasiga  ega  bo’lgan  , 
)
,...,
,
max(
2
1
t
q
q
q


  nilpotentlik 
indeksili 
2
A
  nilpotentlik  matritsaning 
m
-darajali  barcha  ildizlarini  tanish  bilan 
shug’ullanamiz. 
0
2


A
 va (6.71) dan  
0
2


m
X
 

---

 
154 
 
Bu oxirgi tenglikdan ko’rinadiki, 
2
X
 izlanayotgan matritsa Y nilpotentlik 
indeksli    nilpotent  matritsa  bo’lib,     




m
Y
m



1
. 
2
X
  matritsani  Jordon 
formasiga o’tkazamiz: 


1
)
(
)
(
)
(
2
,...,
,
2
1


T
H
H
H
T
X
t
v
v
v
,                        
(6.74) 
)
,...,
,
(
2
1
y
v
v
v
s

. 
(6.74) tenglikni ikkala tomonini 
m
-darajaga ko’tarib, quyidagini hosil qilamiz: 


1
)
(
)
(
)
(
2
2
]
[
,...,
]
[
,
]
[
2
1



T
H
H
H
T
X
A
m
v
m
v
m
v
m
t
            
(6.75) 
 
m
v
H
]
[
)
(
  matritsa  qanday  elementar  bo’luvchilarga  ega  ekanligini 
aniqlaymiz. 
v
e
e
e
H
,...,
,
2
1

  bazisli 
v
-o’chovli  vektor  fazodagi 
)
(
v
H
matritsali  chiziqli 
operator bo’lsin. 
)
(
v
H
matritsaning ko’rinishinidan kelib chiqadiki, 
1
1
2
1
,...,
,
0




v
v
e
e
H
e
e
H
e
H
                                          
(6.76) 
 
Bu  tengliklar  ko’rsatadiki, 
H
operator  uchun 
v
e
e
e
,...,
,
2
1
  vektorlar 
v

 
elementar bo’luvchiga mos Jordancha vektorlar zanjirini tashkil qiladi. 
 
(6.76) tengliklarni quyidagicha yozamiz: 
1


j
j
e
e
H
  
)
0
,
,...,
2
,
1
(
0


e
v
j
. 
 
Bundab ko’rinadiki,  
m
j
j
m
e
e
H


  
)
0
...
,
,...,
2
,
1
(
1
1
0







m
e
e
e
v
j
           
(6.77) 
v
 sonini quyidagicha yozamiz: 
)
(
m
r
r
km
v



, 
bu yerda  k, r  butun manfiymas sonlar.  
v
e
e
e
,...,
,
2
1
 bazis vektorlarni quyidagicha 
joylashtiramiz: 
x
km
km
km
km
m
k
m
k
m
m
m
m
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e

















2
1
2
)
1
(
1
)
1
(
2
2
1
2
1
                                             (6.78) 
 
Bu jadvalda 
m
 ta ustun bo’lib, birinchi 
r
 ta ustunda 
1

k
 ta vektor, qolgan 
ustunlarda 
k
 ta vektorlar bor. (6.77) tengliklardan ko’rinadiki (6.78) jadvalning 

---

 
155 
har  bir  ustunidagi  vektorlar  sistemasi 
m
H
operatorga  nisbatan  vektorlarning 
Jordan  zanjirini  tashkil  etadi.  Agar  (6.78)  dagi  vektorlarni  satrlar  bo’yicha 
ketma-ket  nomerlanishini  ustunlar  bo’yicha  qilib  olsak,  u  holda  hosil  qilingan 
yangi bazisda 
m
H
 operatorning matritsasi quyidagicha normal Jordan formasiga 
ega bo’ladi: 

















 

 

ta
r
m
k
k
ta
r
k
k
H
H
H
H
)
(
)
(
1
)
1
(
,...,
,
,...,
, 
bundan,  


1
,
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
,
)
(
,...,
,
,...,
]
[




m
v
k
k
k
k
m
v
m
v
P
H
H
H
H
P
H
,      
(6.79) 
bu yerda bir bazisdan boshqa bazisga o’tish matritsasi 
m
v
P
,
quyidagi ko’rinishda 
bo’ladi: 
.
..........
..........
..........
0
...
1
0
0
...
0
0
....
..........
..
...
..
.......
1
0
...
0
0
.......
0
0
...
0
1
,



ta
m
m
v
P

                                  
(6.80)  
 
v
H
 matritsa bitta 
v

 elementar bo’luvchiga ega bo’lib, 
v
H
 ni 
m
-darajaga 
ko’targanda bu elementar bo’luvchi deyiladi.(6.79) dan ko’rinadiki 
m
v
H
]
[
)
(
 
matritsa quyidagi elementar bo’luvchilarga ega: 



















ta
r
m
k
k
ta
r
k
k
)
(
)
(
1
)
1
(
,...,
,
,...,




 
 
Endi (6.75) tenglikka qaytib,  
i
i
i
r
m
k
v


, 
)
,...,
2
,
1
,
0
,
0
(
s
i
k
m
r
i
i




                       (6.81) 
deb olamiz. 
U holda (6.79) ga asosan (6.75) ni quyidagicha yozamiz: 
1
1
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,


















T
P
H
H
H
H
H
H
H
H
TP
X
A
ta
r
m
k
k
ta
r
k
k
ta
r
m
k
k
ta
r
k
k
m

 

 


 

 


 

 


 

 

    (6.82) 
bu yerda 
}
,...,
,
{
,
,
,
2
1
m
v
m
v
m
v
s
P
P
P
P

 . 

---

 
156 
 
(6.82) ni (6.73) bilan solishtirib, ko’ramizki, 
...
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
2
2
2
1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
H
H
H
H
H
H
H
H




         (6.83) 
kataklar tartibigacha aniqlikda  
)
(
)
(
)
(
,...,
,
2
1
t
q
q
q
H
H
H
                                                                   (6.84) 
kataklar bilan ustma-ust tushishi kerak. 
  
3
2
1
,...,
,
v
v
v



  elementar  bo’luvchilarni   
2
X
  uchun  mumkin  bo’lgan  deb 
aytamiz,  agarda  matritsani 
m
-darajaga  ko’targandan  co’ng  bu  elementar 
bo’luvchilar  yoyilib, 
2
A
  matritsaning  berilgan 
t
q
q
q



,...,
,
2
1
  elementar 
bo’luvchilari  sistemasini  yuzaga  keltirsa.  Elementar  bo’luvchilarning  mumkin 
bo’lgan sistemasi soni har doim chekli bo’ladi, chunki 

m
v
v
v

)
,...,
,
max(
3
2
1
, 
2
3
2
1
...
n
v
v
v




,                        (6.85) 
bu yerda 
2
n
-
2
A
 matritsaning (darajasi) tartibi. 
 
Har  bir  mumkin  bo’lgan  elementar  bo’luvchilar  sistemasi 
3
2
1
,...,
,
v
v
v



 
uchun  (6.71)  tenglamaning  mos  yechimi  mavjud  ekanligini  ko’rsatamiz  va  bu 
yechimlarni  aniqlaymiz  .  Bu    holda  shunday  almashtiruvchi 
Q
    matritsa 
mavjudki, unda  
Q
A
Q
H
H
H
H
H
H
H
H
k
k
k
k
k
k
k
k
2
1
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
...}
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
{
2
2
2
2
1
1
1
1






     (6.86) 
 
Q
    matritsa  kvazidiogonal  matritsadagi  kataklarning o’rin  almashinishini 
amalga oshiradi. Shuning uchun 
Q
  matritsani ma’lum deb xisoblaymiz. (6.86) 
ga asosan (6.82) dan quyidagini hosil qilamiz: 
1
1
2
1
2




T
QP
A
TPQ
A
. 
 
Bundan,                         
2
1
A
X
TPQ


 
yoki                                         
1
2


QP
X
T
A
                    
 
 
        (6.87) 
bu yerda  
2
A
X
-
2
A
 matritsa bilan o’rin almashinuvchi ixtiyoriy matritsa. 
 
(6.87) ni (6.74) ga qo’yib, quyidagiga ega bo’lamiz: 
1
1
)
(
)
(
)
(
1
2
2
2
1
2
}
,....,
,
{




A
v
v
v
A
X
PQ
H
H
H
QP
X
X
s
                      
(6.88) 
 
(6.69), (6.72) va (6.88) dan barcha izlangan yechimlarni o’zida saqlovchi 
umumiy formulani hosil qilamiz: 

---

 
157 


1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
1
1
2
1
2
1
,...,
,
,....,
}
,
{








U
X
PQ
X
H
H
H
E
H
E
QP
X
X
U
X
A
s
A
v
v
m
p
p
u
m
p
p
A
A
s
u
u


                 
(6.89)
 
 
Shuni  aytib  o’tish  kerakki,  xos  matritsaning 
m
-darajali  ildizi  har  doim 
ham mavjud bo’lavermaydi. Uni mavjudligi 
2
X
 matritsa uchun mumkin bo’lgan 
elementar bo’luvchilar sistemasini mavjudligiga bog’liq. 
 
Tekshirib ko’rish mumkinki,  
)
(
p
m
H
X

 
tenglama 
1
,
1


p
m
 da yechimga ega emas. 
Misol.                                         
0
0
0
0
0
0
0
1
0

A
    
matritsani kvadrat ildizdan chiqaring, ya’ni  
A
X

2
 
tenglamani barcha yechimlarini toping. 
Bu  holda 
2
2
,
X
X
A
A


, 
1
,
2
,
2
,
2
2
1




q
q
t
m
.X  matritsa  faqat  bitta 
3

elementar 
bo’luvchiga 
ega 
bo’lishi 
mimkin. 
Shuning 
uchun 
1
,
1
,
3
,
1
1
1
1




r
k
v
s
 va  
E
Q
P
P
P





,
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
2
,
3
 
Bundan tashqari, avvalgi misoldagi kabi (6.88) formulada 
,
0
0
0
2
2


a
d
a
c
b
a
X
A
2
1
2
1
1
~
0
0
0
a
ad
a
ac
b
a
cd
a
X
A








 
deb olish mumkin. 
Bu formuladan quyidagini hosil qilamiz: 
,
0
0
0
0
0
0
1
1
)
3
(
)
1
(
2
2
2
2









A
A
A
PX
H
P
X
X
X
X
 
bu yerda  
d
a
ca
2
1





  va 
3
a


-ixtiyoriy parametrlar. 

---

 
158