O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§1.1. Kvadratik formalarda o’zgaruvchilarni almashtirish. 
 
Ta’rif  7.1.
  Kvadratik  forma  deb,  n  ta 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
  o’zgaruvchilarga 
nisbatan ikkinchi darajali bir jinsli ko’pxadga aytiladi. 
 
Kvadratik formalarni xar doim  
                               
k
i
ik
n
k
i
x
x
a

,
          
)
....,
2
.
1
,
;
(
n
k
i
a
a
ik
ik


 
ko’rinishida tasvirlash mumkin, bu yerda  
n
k
i
ik
a
A
1
,
)
(


 
simmetrik matritsa. 
T
n
x
x
x
х
)
,...,
,
(
2
1

 
deb belgilasak, kvadratik formani quyidagicha yozishimiz mumkin bo’ladi: 
                                         
k
i
n
k
i
k
i
T
x
x
a
Ax
x



1
,
,
.                                         (7.1) 
 
Agar    A    xaqiqiy  simmetrik  matritsa bo’lsa, u  holda  (7.1)  forma  xaqiqiy 
deyiladi.
 
 
A
 matritsaning aniqlovchisi  
            
n
k
i
ik
a
A
1
,


                                                  
 (7.1)    kvadratik  formaning  determinanti  deyiladi.  Agar 
0

A
  bo’lsa,    (7.1) 
forma  singulyar  deyiladi.  
 
Har bir kvadratik formaga quyidagicha bichiziqli  forma mos keladi: 
                                          
k
i
n
k
i
k
i
T
y
x
a
Ay
x



1
,
,
 ,                                      (7.2) 
bu yerda 
n
k
i
ik
a
A
1
,
)
(


 , 
)
,...,
,
(
2
1
n
T
x
x
x
x

, 
T
n
y
y
y
y
)
,...,
,
(
2
1

.  

---

 
163 
Agar   
m
e
y
y
y
x
x
x
,...,
,
,
,...,
,
2
1
2
1
  lar    ustun  matritsalar  bo’lib, 
m
e
d
d
d
c
c
c
...,
,
,
,...,
,
2
1
2
1
    lar  skalyar    sonlar    bo’lsa,  quyidagi  tenglik    o’rinli  
bo’ladi: 
                          
 
j
T
i
j
i
m
j
e
i
j
j
m
j
T
i
i
e
i
Ay
x
d
c
y
d
A
x
c





















1
1
1
1
           (7.3) 
Agar    n  o’lchovli    evklid    fazosida     
A
    operator    berilgan  bo’lib,  bu  
operatorga qandaydir  
n
e
e
e
,...,
,
2
1
  ortonormallashgan bazisda  
                                    A= 


1
,
,

k
i
n
k
i
a
 
matritsa  mos kelsa, u holda ixtiyoriy   
              
i
i
n
i
e
x
x



1
           
i
i
n
i
e
y
y



1
 
vektorlar  uchun  quyidagi  ayniyat  o’rinli  bo’ladi   
   

 

y
A
x
y
x
A
y
A
x
T
,
,


 
Xususiy  holda    
   
x
A
x
x
x
A
x
A
x
T
,
,


, 
bu yerda  




k
k
i
e
e
A
a
k
i
k
i
,...,
2
,
1
,
,
,
,


.  
      Endi o’zgaruvchilarni 
                                  
n
i
t
x
k
ik
n
k
i
,...,
2
,
1
,
1





                                            (7.4) 
yoki    
     
 




Т
n
Т
n
k
i
n
ik
x
x
x
x
t
T
T
x





...,
,
,
,...,
,
,
,
2
1
2
,
1
1
,





       (7.4
1
) 
ko’rinishda    almashtirganimizda  (7.1)  kvadratik    forma    koeffitsenlaridan  
tuzigan matritsa  qanday  o’zgarishini  qarab chiqamiz. 
Buning uchun (7.4 )   ni (7.1) ga qo’yib, quyidagicha hosil qilamiz: 
         
 
,
~






A
AT
T
AT
T
Ax
x
Т
Т
Т
Т
Т



 
bu  yerda                              
1

---

 
164 
                                            
𝐴̃ = 𝑇
𝑇
𝐴𝑇
                                                            (7.5) 
(7.5)  formula     
                                          




n
k
i
k
i
k
i
Т
a
A
1
,
,
~




 
almashgan  kvadratik formaning   
                                         
 
1
,
,
~
~


k
i
n
k
i
a
A
 
 matritsasini  ifodalaydi. (7.5) dan 
                                     
2
~
T
A
A


                                                           (7.6) 
kelib chiqadi. 
Ta’rif 7.2.
  (7.5)   tenglik  bilan    bog’langan   


0

T
      ikkita    A va  
A
~
   
matritsalar  kongruent  deyiladi. 
Shunday qilib, har bir  kvadratik  forma  bilan,  juft-jufti bilan kongruent   
bo’lgan  matritsalar sinfi  bog’langan.  Bu  matritsalar  bir hil rangga ega bo’lib, 
bu rang  qaralayotgan  kvadratik  formaning  rangi  bo’ladi.  Bu matritsalar sinifi  
uchun rang invariant bo’ladi. 
 
§2. Inertsiya  qonuni 
 Har  bir 
Ax
x
Т
  kvadratik    formani  cheksiz  ko’p  usul  bilan  quyidagi 
ko’rinishga keltirish  mumkin: 
                                           
,
1
2



r
i
i
i
Т
X
a
Ax
x
                                               (7.7) 
bu  yerda 
𝑎
𝑖
≠ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑟 
    va     
r
i
x
a
X
k
ik
n
k
i
,...,
2
,
1
,
1




  
n
x
x
x
,...,
,
2
1
      o’zgaruvchilarning    o’zaro  chiziqli    bog’liq  bo’lmagan    haqiqiy  
chiziqli formalari 
)
(
n
r

. 
n



,
...
,
,
2
1
  -  yangi    o’zgaruvchilarning    birinchi    r    tasi   
n
x
x
x
,...,
,
2
1
  
o’zgaruvchilar bilan   
r
i
X
i
i
,...,
2
,
1
,



 

---

 
165 
formulalar  bilan  bog’langan xosmas almashtirishni  qaraymiz. U holda  yangi 
o’zgaruvchilarda   




r
i
i
i
Т
Т
a
A
Ax
x
1
2
~



 
bo’lib,   


0
,...,
0
,
...,
~
,
2
,
1
r
a
a
a
diag
A

  
bo’ladi. 
Ammo   
A
~
  matritsaning    rangi  r    ga  teng.  Demak,  (7.7)  ko’rinishdagi  
kvadratlar  soni  har doim  formaning  rangiga  teng bo’ladi. 
Quyidagi  teorema    (7.1)  kvadratik    formani  har  xil  usullar  bilan    (7.7) 
ko’rinishga  keltirganimizda,  nafaqat kvadratlar  soni,  balki  musbat va manfiy  
kvadratlar  soni ham o’zgarmasligini ko’rsatadi. 
 
Teorema 7.1.
 
(Kvadratik formalarning  inertsiya qonuni).
 (7.1) haqiqiy  
kvadratik    formani    (7.7)  –  o’zaro  bog’liq  bo’lmagan    kvadratlar    yig’indisi   
ko’rinishida    ifodalashda  musbat  kvadratlar    soni  va  manfiy  kvadratlar    soni   
ko’rsatilgan  ko’rinishga  keltirish usuliga  bog’liq emas.  
Isboti.
 (7.1) kvadratik forma  (7.7) korinish bilan  birga  yana quyidagicha  
o’zaro    bog’liq  bo’lmagan      kvadratlar    yig’indisi    ko’rinishiga    keltirilgan 
bo’lib,  
,
1
2



r
i
i
i
Т
Y
b
Ax
x
 
,
0
,...,
0
,
0
,...,
0
,
0
1
2
1






r
h
h
a
a
a
a
a
 
0
,...,
0
,
0
,...,
0
,
0
1
2
1






r
g
g
b
b
b
b
b
 
bo’sin.  Faraz  qilaylik,  h≠g,  masalan  h                                        
2
1
2
1
i
i
r
i
i
i
r
i
Y
b
X
a





                                            (7.8) 
ayniyatda   
n
x
x
x
,...,
,
2
1
    o’zgaruvchinlarga   
r
h
X
X
,...,
1

  formalarning  xech 
bo’lmaganda  bittasi nolga aylanmaydigan  va  quyidagi  r-(g-h) ta tenglamalar  
sistemasini qanoatlantiruvchi  qiymatlar beramiz: 

---

 
166 
                                 
0
,...,
0
,
0
,...,
0
,
0
2
1
2
1






Y
Y
X
X
X
g
n
            (7.9) 
O’zgaruvchilarning   bunday qiymatlarida  (7.8) ayniyatning  chap tomoni  
0
2
1




j
j
r
n
j
x
a
 
ga, o’ng tomoni esa     
0
2
1



k
k
g
k
y
b
  
ga teng bo’ladi. 
Shunday qilib,  h≠g  degan  farazimiz bizni qarama-qarshilikka  olib keladi. 
Ta’rif  7.3. 
(7.1)  kvadratik  formani  o’zaro bog’liq bo’lmagan  kvadratlar  
yig’indisi    ko’rinishida   ifodalaganimizdagi    musbat kvadratlar    soni   
𝜋
    bilan 
manfiy kvadratilar soni 
𝛾 
ning  ayirmasi 

 shu kvadratik  formaning signaturasi  
deyiladi. 
 Demak,                           




r
 ,  





   
(7.7)  dagi    koeffitsentlarni 
i
a
  ko’rinishda    olib, 
i
X
    larning    tarkibiga  
kiritish  mumkin  bo’lgani  uchun quyidagi tenglikni  yozishimiz mumkin: 
                      
2
2
1
2
2
2
2
1
...
...
r
Т
X
X
X
X
X
Ax
x










                     (7.10) 
   (7.10)  ifodada   
r
i
X
i
i
,...,
2
,
1
,



    deb  olib    (7.1)    formani  quyidagicha 
kanonik   ko’rinishga  keltiramiz:  
                     
2
2
1
2
2
2
2
1
...
...
~
r
Т
A

















                      (7.11) 
Bundan    teorema  7.1  ga  asosan    quyidagicha    xulosa  qilamiz:  Ixtiyoriy    A 
haqiqiy  simmetrik    matritsa    elementlari    1,-1  va    0    lardan    iborat  bo’lgan  
diogonal   matritsaga  kongruentdir, ya’ni  
                     
,
1
,...
1
,
1
(



ta
Т
diog
T
A


T
Yta
)
0
,...
0
,
1
,...,
1
,
1






                             (7.12) 
 
 
 
 

---

 
167