O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§3. Lagranj metodi. 
 Kvadratik    formani    kvadratlar    yig’indisiga    keltirishning    Lagranj 
metodini  qarab chiqamiz.  
Quyidagi kvadratik forma berilgan bo’lsin   



n
k
i
k
i
ik
Т
x
x
a
Ax
х
1
,
 
Quyidagi ikkita xolni qaraymiz: 
1). Qandaydir g (1≤g ≤n) uchun  diogonal  koeffitsent  
𝑎
𝑔𝑔
≠ 0.
 U holda  
                                            
x
A
x
x
a
a
Ax
x
Т
n
k
k
gk
gg
Т
1
2
1
1










                      (7.13) 
deb    olib,  bevosita  tekshirib  ko’rishimiz  mumkinki,   
x
A
x
t
1
  kvadratik    forma  
𝑥
𝑔
 o’zgaruvchini  o’zida saqlamaydi.  Bu usul  kvadratik  formadan  kvadratlarni  
ajratib olish usuli  deyilib, A  matritsaning   dioganal  elementlari noldan farqli  
bo’lganda, har doim uni  qo’llash mumkin. 
2). 
0

gg
a
,   
0

hh
a
,   
,
0

gh
a
    Bu  holda    (7.1)  ni  quyidagicha 
o’zgartiramiz: 
            
x
A
x
x
a
a
a
x
a
a
a
Ax
x
T
n
k
k
hk
gk
hg
n
k
k
hk
gk
hg
T
2
2
1
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1





















        (7.14) 
Quyidagi  


n
k
k
gk
x
a
1
,      
,
1


n
k
k
hk
x
a
 
formalar    chiziqli  bog’liq  emas,  chunki    birinchisi   
h
x
  ni  o’zida  saqlab, 
𝑥
𝑔
ni 
saqlamaydi,    ikkinchisi  esa 
𝑥
𝑔
  ni  o’zida  saqlab, 
𝑥
ℎ
  
ni  saqlamaydi.  Shuning 
uchun  (7.14)  ga kvadrat  qavslardagi  formalar chiziqli bog’liq emas. 
 Shunday    qilib,   
Ax
x
Т
  kvadratik    formadan    ikkita    chiziqli  bog’liq 
bo’lmagan    kvadratlarni  ajratib  oldik.  Bu  kvadratlarning    har    biri 
𝑥
𝑔
va 
n
x
 
o’zgaruvchilarni    o’zida  saqlaydi,   
x
A
x
Т
2
    forma  esa    bu  o’zgaruvchilarni 
o’zida saqlamaydi.  

---

 
168 
   Bu usulni ketma-ket qo’llab,  
Ax
x
Т
ni kvadratlar yig’indisiga  keltirish 
mumkin. 
(7.13)  va  (7.14)  formulalarni    mos  ravishda  quyidagicha  ham  yozish 
mumkin. 
                               
x
A
x
x
Ax
x
a
Ax
x
Т
g
Т
gg
Т
1
2
)
(
4
1












                                  
(7. 13
′
)
   
(
1
13
.
1
) 
x
A
x
x
Ax
x
x
Ax
x
x
Ax
x
x
Ax
x
a
Ax
x
T
h
Т
g
Т
h
Т
g
Т
gh
Т
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
8
1





































        
(7. 14
′
)
 
Misol 7.1
  Quyidagi  kvadratik  formani  kvadratlar yig’indisi ko’rinishida 
ifodalang: 
4
3
3
2
4
1
3
1
2
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4
4
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ay
x
T









   
Avval
 (7. 13
′
)
    formulani  qo’llaymiz. (g=1) 
4
3
2
1
1
4
4
4
8
)
(
x
x
x
x
x
Ay
x
T






 
x
A
x
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
x
Ax
x
T
T
T
1
2
4
3
2
1
1
2
4
3
2
1
)
2
(
)
4
4
4
8
(
16
1










 
  bu yerda  
4
3
4
2
3
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
A
x
T



. 
Bu 
formaga 
(7. 14
′
)
 
formulani 
qo’llaymiz: 
)
3
,
2
(


h
g
 
x
A
x
x
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
x
x
x
A
x
T
T
T
2
2
4
2
3
2
3
2
2
2
4
2
3
2
3
2
1
)
2
(
2
1
)
(
2
1
)
4
2
2
(
8
1
)
2
2
(
8
1












bu yerda  
2
4
2
2
x
x
A
x
T

. 
Demak,  
2
4
2
4
2
3
2
3
2
2
4
3
2
1
2
)
2
(
2
1
)
(
2
1
)
2
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ax
x
T










 
bo’lib,   r=4, 
𝜎
=2, 
,
3


  
𝛾
 =1    bo’ladi. 
 
 
 
 

---

 
169 
§4. Yakobi  formulasi 
(7.1)
 
kvadratik  formaning  rangini  r  bilan  belgilab,  A  matritsaning  k-
tartibli minoralarini 
                      
,
0
...
2
1
...
2
1








k
k
A
D
k
 k=1,2…,r                                  (7.15) 
deb    olamiz.  Bundan, 
0
1
11


D
a
  bo’ladi,  u  holda  Lagranj  metodi  yordamida   
Ax
x
Т
 formadan bitta kvadrat  ajratib, quyidagini hosil qilamiz: 
                               
,
)
...
(
1
1
2
1
2
12
1
11
11
x
A
x
x
a
x
a
x
a
a
Ax
x
Т
n
n
Т




                      (7.16) 
bu yerda  
                            



n
k
i
k
i
ik
Т
x
x
a
x
A
x
2
,
,
)
1
(
1
 
,
)
1
(
,
)
1
(
i
k
ik
a
a

 
n
k
i
,...,
2
,
1
,

               (7.17) 
1
x
 o’zgaruvchini o’zida saqlamaydi. (7.16) tenglikdan  kelib chiqadiki, 
x
A
x
Т
1
 
ning koeffitsientlari 
                             
,
11
1
1
,
)
1
(
,
a
a
a
a
a
k
i
k
i
k
i


n
k
i
,...,
2
,
1
,

                                    (7.18) 
formulalar  bilan  aniqlanadi.  U  holda    bu    koeffitsientlar  quyidagi  matritsaning  
mos elementlari bilan ustma-ust tushadi: 















)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
22
1
12
11
1
...
0
.......
..........
..........
...
0
...
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
G
 
Bu matritsa esa A matritsaga  Gauss usulining  birinchi bosqichini qo’llab hosil 
qilingan. 
        Shunday  qilib,  Lagranj    metodi  bo’yicha    bitta  kvadrat    ajratish  jarayoni  
mazmun    jihatidan    Gauss  algoritmining  birinchi  bosqichi    bilan  ustma-ust 
tushadi.  Ikkinchi kvadratni  ajratib olish uchun  Gauss  algoritmining ikkinchi 
bosqichini bajarish  kerak bo’ladi va hokazo. 
n
k
i
ik
a
A
1
,
)
(


    simmetrik    matritsaga    r  ta    bosqichdan  iborat    bo’lgan 
Gauss  algoritmini  to’la qo’llab, quyidagi  matritsani  hosil qilamiz: 

---

 
170 































0
...
0
0
...
0
0
.
..........
..........
..........
..........
..........
..........
0
...
0
0
...
0
0
...
...
0
0
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
...
0
...
...
)
1
(
)
1
(
1
,
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
)
1
(
22
)
1
(
22
1
1
1
1
12
11
r
rn
r
r
r
r
rr
n
r
n
r
r
r
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
G
 
Bunga mos  holda  
Ax
x
Т
  kvadratik  forma  quyidagicha  kvadratlar  yig’indisi  
ko’rinishida ifodalanadi: 
                                     
,
)
...
(
1
2
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
n
k
kn
k
k
kk
r
k
k
kk
Т
x
a
x
a
a
Ax
x








                    (7.19) 
                                     


n
j
a
a
j
j
,...,
2
,
1
,
1
)
0
(
1


 
O’zaro bog’liq bo’lmagan chiziqli formalar uchun  
                                   
)
,...,
2
,
1
(
...
,
1
)
0
(
1
)
1
(
)
1
(
r
k
a
a
x
a
x
a
X
k
k
n
k
kn
k
k
kk
k







           (7.20) 
qisqa belgilashlar kiritamiz. 
                                
11
)
0
(
0
1
)
1
(
,
1
;
,...,
2
,
1
,
a
a
D
r
k
D
D
a
k
k
k
k
kk






                     (7.21) 
 ekanligini e’tiborga olsak, (7.19) ni quyidagicha yozishimiz mumkin: 
                                
2
1
1
k
k
k
r
k
Т
X
D
D
Ax
x




  
)
1
(
0

D
                                   (7.22) 
Bu formulalar Yakobi formulalari deyiladi.  
Yakobi  formulalaridagi   
k
X
  chiziqli    formalar    koeffitsientlari  uchun 
quyidagi tengliklar o’rinli: 
                                
r
k
k
k
A
q
k
k
k
A
a
k
q
k
,...,
2
,
1
,
1
...
1
1
...
1
1
...
1
1
...
1
)
1
(




















                                    (7.23) 
)
,...,
2
,
1
(
r
k
X
k

   lar o’rniga 
                                
k
k
k
X
D
Y
1


  
)
1
;
,...,
2
,
1
(
0


D
r
k
                           (7.24) 

---

 
171 
chiziqli  bog’liq bo’lmagan formalarni    kiritib, Yakobi formulalarini  quyidagi-
cha yozish mumkin: 
                                           
k
k
k
r
k
Т
D
D
Y
Ax
x
1
1




                                               (7.25) 
Bu yerda   
                    
,
,...,
2
,
1
,
...
1
1
,
r
k
x
C
X
C
x
C
Y
n
kn
k
k
k
k
kk
k







                     (7.26) 
                    
)
,...,
2
,
1
;
,...,
1
,
(
,
1
...
2
1
1
...
2
1
r
k
n
k
k
q
q
k
k
k
A
C
kq












              (7.27) 
(7.25)  –  Yakobi    formulalaridan  quyidagi  teoremaning    o’rinli  ekanligi 
kelib chiqadi: 
Teorema 7.2.
 Agar rangi  r ga teng bo’lgan  
k
i
ik
n
k
i
Т
x
x
a
Ax
x



1
,
 
kvadratik forma uchun  
                                   
r
k
k
k
A
D
k
,...,
2
,
1
,
0
...
2
1
...
2
1









                        (7.28) 
bo’lsa, u holda    musbat  kvadratlar soni   

  va  manfiy  kvadratlar    soni 
𝛾
    mos 
ravishda  
                                    
r
D
D
D
,...,
,
,
1
2
1
                                                       (7.29) 
qatordagi      P-o’zgarmas    ishoralar  soni  va    V-  o’zgaruvchan      ishoralar    soni  
bilan   ustma-ust  tushadi, yani  
)
,...,
,
,
1
(
),
,...,
,
,
1
(
1
2
1
2
1
r
r
D
D
D
V
D
D
D




 
 va  signatura 
                                  
)
,...,
,
,
1
(
2
2
1
r
D
D
D
V
r



                                     (7.30) 
bo’ladi.  
   Misol  7.2.  Quyidagi  kvadratik  formani    kvadratlar    yig’indisi  
ko’rinishida  yozing: 
4
3
4
2
3
2
4
1
3
1
2
1
2
4
2
2
2
1
2
8
6
2
2
4
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ax
x
Т









 

---

 
172 
A=



















3
1
4
1
1
0
3
1
4
3
3
2
1
1
2
1
 
matritsani  Gauss formasiga keltiramiz. 
G=
















0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
1
0
1
1
2
1
 
Bundan,      r=2   
,
1
11

a
       
1
)
1
(
22


a
  ekanligi    kelib  chiqadi.    U  holda  (7.19)  
formulaga  asosan  
2
4
3
2
2
4
3
2
1
)
2
(
)
2
(
x
x
x
x
x
x
x
Ax
x
Т








 
hosil  bo’ladi.