O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti
Yüklə 3,17 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Teorema. 7.8
| § 7. Kvadratik formalar dastasi.
Ikkita 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 = ∑ 𝑎 𝑖𝑘 𝑛 𝑖,𝑘=1 𝑥 𝑖 𝑥 𝑘 𝑣𝑎 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 = ∑ 𝑏 𝑖𝑘 𝑛 𝑖,𝑘=1 𝑥 𝑖 𝑥 𝑘 haqiqiy kvadratik formalar yordamida tuzilgan 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − λ 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 (λ − parametr) forma kvadratik formar dastasi deyiladi. Agar 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 forma musbat aniqlangan bo’lsa, u holda 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − λ 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 dasta regulyar deyiladi. 0 B A 178 tenglama 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − λ 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 kvadratik formalar dastasining xarakteristik tenglamasi deyiladi. Bu tenglamaning qandaydir ildizini λ 0 bilan belgilaymiz. 𝐴 − λ 0 𝐵 matritsa xos matritsa bo’lgani uchun shunday 𝑧 = (𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑛 ) 𝑡 ≠ 0 ustun mavjudki, unda (𝐴 − λ 0 𝐵)𝑧 = 0 yoki 𝐴𝑧 = λ 0 Bz (z ≠ 0) bo’ladi. λ 0 soni 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − λ 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 dastaning xarakteristik soni deyilib, 𝑧 − mos bosh ustun yoki bu dastaning bosh vektori deyiladi. Teorema. 7.8 . Kvadratik formalarning 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − λ 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 regulyar dastasini |𝐴 − λ 𝐵| = 0 xarakteristik tenglamasi xar doim 𝑧 𝑘 = (𝑧 1𝑘 , 𝑧 2𝑘 , … , 𝑧 𝑛𝑘 )(𝑘 = 1,2, … , 𝑛) 𝐴𝑧 𝑘 = λ k 𝐵𝑧 𝑘 (𝑘 = 1,2, … , 𝑛) (7.45) bosh vektorlar mos keluvchi, 𝑛 ta λ k (k = 1,2, … , n) haqiqiy xarakteristik ildizlarga ega. Bu 𝑧 𝑘 bosh vektorlarni shunday tanlash mumkinki, unda (𝑧 𝑖 ) 𝑇 𝐵𝑧 𝑘 = 𝛿 𝑖𝑘 (𝑖, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛) (7.46) munosabat bajariladi. Isboti. (7.45) tenglikni quyidagicha yozish mumkin 𝐵 −1 𝐴𝑧 𝑘 = λ 𝑘 𝑧 𝑘 = 𝛿 𝑖𝑘 (𝑖, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛) (7.45 ’ ) Shunday qilib, teorema 7.8. ga ko’ra 𝐷 = 𝐵 −1 𝐴 (7.47) matritsa quyidagilarga ega: 1) oddiy strukturaga; 2) λ 1 , λ 2 , … , λ n xaqiqiy xarakteristik sonlarga; 3)bu xarakteristik sonlarga mos kelib, (7.46) munosabatni qanoatlantiruvchi 𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑛 xos ustunlar (vektorlar) ga. 179 𝐷 = 𝐵 −1 𝐴 matritsa ikkita simmetrik matritsalarning ko’paytmasidan iborat bo’lib, o’zi simmetrik bo’lmasligi mumkin. Shuning uchun 𝐷 𝑇 = 𝐴𝐵 −1 bo’ladi. 𝐹 = √𝐵 deb olib, (7.47) tenglikdan quyidagini xosil qilamiz: 𝐷 = 𝐹 −1 𝑆𝐹, (7.48) bu yerda 𝑆 = 𝐹 −1 𝐴𝐹 −1 (7.48 | ) simmetrik matritsa. 𝐷 matritsani 𝑆 simmterik matritsaga o’xshash ekanligidan 1) va 2) tasdiqlar kelib chiqadi. 𝑢 𝑘 (𝑘 = 1,2, … , 𝑛) orqali 𝑆 simmetrik matritsa xos vektorlari normalangan sistemasini belgilaymiz: 𝑆𝑢 𝑘 = 𝜆 𝑘 𝑢 𝑘 (𝑘 = 1,2, … , 𝑛), (𝑢 𝑘 ) 𝑇 𝑢 𝑙 = 𝛿 𝑘𝑒 (𝑘, 𝑙 = 1,2, … , 𝑛) (7.49) va 𝑢 𝑘 = 𝐹𝑧 𝑘 (𝑘 = 1,2, … , 𝑛) (7.50) deb olib, (7.48), (7.4 8 ′ ), (7.49), (7.50) tengliklardan quyidagini topamiz: 𝐷𝑧 𝑘 = 𝜆 𝑘 𝑧 𝑘 , (𝑧 𝑘 ) 𝑇 𝐵𝑧 𝑙 = 𝛿 𝑘𝑙 , 𝑘, 𝑙 = 1,2, … , 𝑛 ya’ni 3) tasdiq isbotlandi va teorema 7.8. to’la isbotlandi. (7.46) dan 𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑛 ustunlarni chiziqli bog’liqmasligi kelib chiqadi. ∑ 𝑐 𝑘 𝑧 𝑘 = 0 𝑛 𝑘=1 (7.51) bo’lsin. U xolda ixtiyoriy 𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) uchun (7.46) ga asosan 0 = (𝑧 𝑙 ) 𝑇 𝐵 (∑ 𝑐 𝑘 𝑧 𝑘 𝑛 𝑘=1 ) = ∑ 𝑐 𝑘 𝑧 𝑙 𝑇 𝐵𝑧 𝑘 𝑛 𝑘=1 = 𝑐 𝑙 bo’ladi. Shunday qilib, (7.51) da barcha 𝑐 𝑙 (𝑙 = 1,2, … , 𝑛) nolga teng va 𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑛 ustunlar orasida hech qanday chiziqli bog’liqlik mavjud emas. (7.46) munosabatni qanoatlantiruvchi 𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑛 bosh ustunlardan tuzilgan Z = (𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑛 ) = (𝑧 𝑖𝑘 ) 𝑖,𝑘=1 𝑛 matritsani 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − λ 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 formalar dastasi uchun bosh matritsa deyiladi. 𝑍 matritsa xosmas (|𝑧| ≠ 0) matritsa bo’ladi, chunki uning ustunlari chiziqli bog’lanmagan. 180 (7.45) ning ikkala tomonini chapdan 𝑧 𝑙 𝑇 satr matritsaga ko’paytirib, quyidagini xosil qilamiz 𝑧 𝑖 𝑇 𝐴𝑧 𝑘 = 𝜆 𝑘 𝑧 𝑖̇ 𝑇 𝐵𝑧 𝑘 = 𝜆 𝑘 𝛿 𝑖,𝑘 (𝑖, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛) (7.52) 𝑍 = (𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑛 ) bosh matritsani kiritib, (7.46) va (7.52) ni quyidagi ko’rinishda ifodalashimiz mumkin. 𝑍 𝑇 𝐴𝑍 = (𝜆 𝑘 𝛿 𝑖,𝑘 ) 𝑖,𝑘=1 𝑛 , 𝑍 𝑇 𝐵𝑍 = 𝐸 (7.53) (7.53) formulalardan ko’rinadiki, 𝑥 = 𝑍𝜉 (7.54) xosmas almashtirish 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 va 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 kvadratik formalarni ∑ 𝜆 𝑘 𝑛 𝑘=1 𝜉 𝑘 2 va ∑ 𝜉 𝑘 2 𝑛 𝑘=1 (7.55) kvadratlar yig’indisiga keltiradi. (7.54) almashtirishning bu xossasi 𝑍 bosh matritsani xarakterlaydi. Xaqiqatan, (7.54) almashtirish 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 va 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 formalarni (7.55) kanonik ko’rinishga keltirsin. U holda (7.53) tenglik o’rinli bo’lib, 𝑍 matritsa ustunlari uchun (7.46) va (7.52) tengliklar o’rinli bo’ladi. (7.53) dan 𝑍 ni xosmas (|𝑧| ≠ 0) matritsa ekanligi kelib chiqadi. (7.52) tenglikni quyidagicha yozamiz: 𝑧 𝑖 𝑇 (𝐴𝑧 𝑘 − 𝜆 𝑘 𝐵𝑧 𝑘 ) = 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛), (7.56) bu yerda 𝑘 − ixtiyoriy fiksirlangan qiymatga ega 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. (7.56) tengliklar sistemasini bitta tenglikka keltirish mumkin 𝑍 𝑇 (𝐴𝑧 𝑘 − 𝜆 𝑘 𝐵𝑧 𝑘 ) = 0, bundan, 𝑍 𝑇 − xosmas bo’lgani uchun 𝐴𝑧 𝑘 − 𝜆 𝑘 𝐵𝑧 𝑘 = 0 ni, ya’ni ixtiyoriy 𝑘 uchun (7.45) ni xosil qilamiz. Demak, 𝑍 − bosh matritsa. Shunday qilib, quyidagi teoremani isbotladik. Yüklə 3,17 Mb. Dostları ilə paylaş:
|