184
O’zgaruvchilarni bir vaqtda nolga teng bo’lmagan
(𝑥 ≠ 0)
barcha
mumkin bo’lgan qiymatlarini qarab, formalarni
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
nisbatining eng kichik
qiymati (minimumi) ni aniqlaymiz. Buning uchun
𝑥 = 𝑍𝜉 (𝑥
𝑖
= ∑ 𝑧
𝑖𝑘
𝑛
𝑖,𝑘=1
𝜉
𝑘
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛)
almashtirish yordamida yangi
𝜉
1
, 𝜉
2
, … , 𝜉
𝑛
o’zgaruvchilarga o’tish qulaydir.
Bu yerda
𝑧
berilgan dastaning bosh matritsasi. Yangi o’zgaruvchilarda
qaralayotgan formalar nisbati quyidagi ko’rinishni oladi:
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
=
𝜆
1
𝜉
1
2
+𝜆
2
𝜉
2
2
+⋯+𝜆
𝑛
𝜉
𝑛
2
𝜉
1
2
+𝜉
2
2
+⋯+𝜉
𝑛
2
(7.63)
Son o’qida
𝜆
1
, 𝜆
2
, … , 𝜆
𝑛
sonlarga mos
𝑛
ta nuqtalar olib, bu nuqtalarga
mos ravishda
𝑚
𝑖
= 𝜉
𝑖
2
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
massalarni
qo’yamiz. U holda, (7.63)
formulaga asosan
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
nisbat bu sonli nuqtalarning massalar markazi bo’ladi.
Shuning uchun
𝜆
1
≤
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
≤ 𝜆
𝑛
munosabat o’rinli bo’ladi.
Bu tengsizlikning birinchi qismida qachon tenglik bajarilishini aniqlaymiz.
Buning uchun (7.62) da teng xarakteristik sonlarni ajratamiz.
𝜆
1
= ⋯ = 𝜆
𝑝
1
< 𝜆
𝑝
1
+1
= ⋯ 𝜆
𝑝
1
+𝑝
2
< ⋯
(7.64)
𝜆
1
nuqtadan boshqa nuqtalardagi massalar nolga teng ya’ni
𝜉
𝑃
1
+1
= ⋯ = 𝜉
𝑁
= 0
bo’lgandagina va faqat shu holda og’irlik markazi shu
𝜆
1
nuqtaga tushadi. Bu
holda mos
𝑥
bosh ustunlar,
𝑧
1
, 𝑧
2
, … , 𝑧
𝑛
larning chiziqli kombinatsiyasidan
iborat bo’ladi. Ammo, bu barcha ustunlar
𝜆
1
ga teng xarakteristik songa javob
beradi, u holda
𝑥
𝜆 = 𝜆
1
uchun bosh ustun (vektor) bo’ladi.
Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbotladik.
Dostları ilə paylaş: