O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti
Yüklə 3,17 Mb. Pdf görüntüsü
|
| Teorema.7.11
Ixtiyoriy 𝑝 (1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛) uchun (7.62) qatordagi 𝜆 𝑝 xarakteristik son 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 nisbat minimumidan iborat, ya’ni 𝜆 𝑝 = 𝑚𝑖𝑛 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 bo’lib, 𝑥 vektor 𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑝−1 ortonormallangan bosh vektorlarga ortogonal, ya’ni 𝑧 1𝑇 𝐵𝑥 = 0, 𝑧 2𝑇 𝐵𝑥 = 0, … , 𝑧 𝑝−1𝑇 𝐵𝑥 = 0 (7.65) bo’ladi. Bunda (7.65) shartlarni qanoatlantirib, 𝜆 𝑝 xarakteristik son uchun bosh vektor bo’lgan vektorlardagina minimumga erishiladi. Teorema 7.11ni qo’llashning noqulayligi shundan iboratki, unda 𝜆 𝑝 xarakteristik son avvalgi 𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑝−1 bosh vektorlarga bog’liq bo’lib, bu bosh vektorlar ma’lum bo’lgandagina teoremani qo’llash mumkin. Bundan tashqari bosh vektorlarni tanlash ma’lum ixtiyoriylikka ega. 186 Bu noqulaylikdan qutilish uchun 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 o’zgaruvchilarga qo’yilgan bog’lanishlar haqida tushuncha kiritamiz. 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 o’zgaruvchilarning 𝐿 𝑘 (𝑥) = 𝑙 1𝑘 𝑥 1 + 𝑙 2𝑘 𝑥 2 + ⋯ + 𝑙 𝑛𝑘 𝑥 𝑛 , (𝑘 = 1,2, … , 𝑛) (7.65 ′ ) chiziqli formasi berilgan bo’lsin. 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 o’zgaruvchilarga yoki 𝑥 vektorga 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑛 h ta bog’lanishlar qo’yilgan deyiladi, agarda faqat 𝐿 𝑘 (𝑥) = 0 (𝑘 = 1,2, … , 𝑛) (7.65 ′′ ) tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi o’zgaruvchilargina qaralsa. (7.65 ′ ) dagi belgilashlarni saqlab qolgan holda ixtiyoriy chiziqli forma uchun quyidagicha belgilash kiritamiz: 𝐿̃ 1 (𝑥) = 𝑧 𝑘𝑇 𝐵𝑥 (𝑘 = 1,2, … , 𝑛) (7.66) Bundan tashqari (7.65 ′′ ) bog’lanishlar qo’yilgan vektorlar uchun 𝑚𝑖𝑛 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 ni quyidagicha belgilaymiz: 𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑛 ). Bu belgilashlarda (1,64) quyidagicha yoziladi 𝐿 𝑝 = 𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿̃ 1 , 𝐿̃ 2 , … , 𝐿̃ 𝑝−1 ) (𝑝 = 1,2, … , 𝑛). (7.67) Endi 𝐿 1 (𝑥) = 0, 𝐿 2 (𝑥) = 0, … , 𝐿 𝑝−1 (𝑥) = 0, (7.68) va 𝐿̃ 𝑝+1 (𝑥) = 0, … , 𝐿̃ 𝑛 (𝑥) = 0 (7.88) bog’lanishlarni qaraymiz. (7.68) va (7.69) dagi bog’lanishlar soni 𝑛 dan kichik bo’lgani uchun bu bog’lanishlarning xammasini qanoatlantiruvchi 𝑥 (1) ≠ 0 vektor mavjud bo’ladi. (7.69) bog’lanishlar 𝑥 vektorni 𝑧 𝑝+1 , … , 𝑧 𝑛 bosh vektorlar bilan ortogonalligini ifodalaydi, shuning uchun 𝑥 (1) vektor koordinatalarida 𝜉 𝑝+1 = ⋯ = 𝜉 𝑛 = 0 bo’lib, (7.63) ga asosan 𝑥 (1) 𝑇 𝐴𝑥 (1) 𝑥 (1) 𝑇 𝐵𝑥 1 = 𝜆 1 𝜉 1 2 + ⋯ + 𝜆 𝑝 𝜉 𝑝 2 𝜉 1 2 + ⋯ + 𝜉 2 2 ≤ 𝜆 𝑝 187 bo’ladi. Ammo bu holda 𝜇( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑝−1 ) ≤ 𝑥 (1) 𝑇 𝐴𝑥 (1) 𝑥 (1) 𝑇 𝐵𝑥 1 ≤ 𝜆 𝑝 Bu tengsizlik (7.67) bilan birga qaralganda ko’rinadiki, 𝜇 miqdor 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑝−1 bog’lanishlarda 𝜆 𝑝 dan ortmay, 𝐿̃ 1 , 𝐿̃ 2 , … , 𝐿̃ 𝑝−1 maxsus bog’lanishlar olinganda 𝜆 𝑝 ga erishadi. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi. Yüklə 3,17 Mb. Dostları ilə paylaş:
|