O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

 
§𝟗. 
 Kvadratik formalar ustida amallar. 
Quyidari n  o’zgaruvchili kvadratik formani qaraymiz:  
                                     
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥,
                                                        (7.87) 
bu  yerda
 
𝑥 = (𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
)
𝑇
, 𝐴 = (𝑎
𝑖,𝑗
)
𝑖,𝑗=1
𝑛
, 𝑎
𝑖,𝑗
= 𝑎
𝑗,𝑖
.
   
𝛼 ∈ 𝑅
- 
ixtiyoriy 
xaqiqiy son.  
Ta’rif  7.6
 
𝑓(𝑥, 𝑥)
 
kvadratik  formani 
 
  haqiqiy  songa  ko’paytmasi  deb, 
quyidagi tenglik bilan aniqlanuvchi kvadratik formaga aytiladi:
 
                          
αf(x, x) = x
T
(αA)x = σ (√|α|x)
T
A (√|α|x),
                (7.88) 
bu yerda
 
𝜎 = {
1 agar  α ≥ 0 bo’lsa,
−1  agar  α > 0  bo’lsa.
 
(7.88) tenglikdan ko’rinadiki,  
                        
𝛼𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝜎𝑓 (√|𝛼|𝑥, √|𝛼|𝑥),                                               (7.89)
 
Xaqiqatan,  

---

 
194 
                        𝛼𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
(𝛼𝐴)𝑥 = 𝛼 ∑ ∑ 𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑖<𝑗
𝑛
𝑖=1
= 𝜎 ∙ |𝛼| ∑ ∑ 𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑖<𝑗
𝑛
𝑖=1
= 𝜎 ∑ ∑ 𝑎
𝑖𝑗
(√|𝛼|𝑥
𝑖
) (√|𝛼|𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
𝑖<𝑗
𝑛
𝑖=1
= 𝜎 (√|𝛼|𝑥)
𝑇
𝐴 (√|𝛼|𝑥)
 
= 𝜎𝑓 (√|𝛼|𝑥, √|𝛼|𝑥),                               
 
Ta’rif  7.7.
   
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥
   
va
 
𝑔(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐵𝑥
 
kvadratik  formalarni 
yig’indisi deb quyidagi kvadratik formaga aytiladi:  
                              
f(x, x) + g(x, x) = x
T
(A + B)x    
                          (7.90)       
1.
 
Kvadratik  formalar  ustida  aniqlangan  qo’shish  va  songa 
ko’paytirish amallari quyidagi xossalarga ega bo’ladi.  
1)
 
𝑓(𝑥, 𝑥) +  𝑔(𝑥, 𝑥) = 𝑔(𝑥, 𝑥) + 𝑓(𝑥, 𝑥)
, 
2)
 
(𝑓(𝑥, 𝑥) +  𝑔(𝑥, 𝑥)) + 𝑞(𝑥, 𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑥) + (𝑔(𝑥, 𝑥) + 𝑞(𝑥, 𝑥))
, 
3)
 
𝑓(𝑥, 𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥, 𝑥)
 
sharti  qanoatlantiruvchi 
𝑥
𝑇
0𝑥
=0 
element mavjud, 
4)
 
Ixtiyoriy 
𝑓(𝑥, 𝑥)  
    uchun   
𝑓(𝑥, 𝑥) + (−𝑓(𝑥, 𝑥)) = 0
  shartni 
qanoatlantiruvchi   -
 𝑓(𝑥, 𝑥)
  qarama-qarshi element mavjud, 
5)
 
𝛼(𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝑔(𝑥, 𝑥)) = 𝛼𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝛼𝑔(𝑥, 𝑥),
 
6)
 
(𝛼 ± 𝛽)𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝛼𝑓(𝑥, 𝑥) ± 𝛽𝑓𝑐(𝑥, 𝑥)
, 
7)
 
(𝛼𝛽)𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝛼(𝛽𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝛽(𝛼𝑓(𝑥, 𝑥)),
 
8)
 
1 ∙ 𝑓(𝑥, 𝑥)
=
 𝑓(𝑥, 𝑥)
, 
Haqiqatan,  
1) 
𝑓(𝑥, 𝑥) +  𝑔(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + 𝑥
𝑇
𝐵𝑥 = 𝑥
𝑇
(𝐴 + 𝐵)𝑥 = 𝑥
𝑇
(𝐵 + 𝐴)𝑥 =
𝑥
𝑇
𝐵𝑥 + 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 =   𝑔(𝑥, 𝑥) + 𝑓(𝑥, 𝑥)
, 
         2)
(𝑓(𝑥, 𝑥) +  𝑔(𝑥, 𝑥)) + 𝑞(𝑥, 𝑥) = (𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + 𝑥
𝑇
𝐵𝑥) + 𝑥
𝑇
𝑄𝑥 =
𝑥
𝑇
((𝐴 + 𝐵) + 𝑄)𝑥 = 𝑥
𝑇
(𝐴 + (𝐵 + 𝑄)𝑥 = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + 𝑥
𝑇
(𝐵 + 𝑄)𝑥 = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 +
(𝑥
𝑇
𝐵𝑥 + 𝑥
𝑇
𝑄𝑥) =  𝑓(𝑥, 𝑥) + (𝑔(𝑥, 𝑥) + 𝑞(𝑥, 𝑥))
, 
        3) 
𝑓(𝑥, 𝑥) + 0 = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + 𝑥
𝑇
0𝑥 = 𝑥
𝑇
(𝐴 + 0)𝑥 = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑥)
, 

---

 
195 
       4) 
𝑓(𝑥, 𝑥) + (−𝑓(𝑥, 𝑥)) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + (−𝑥
𝑇
𝐴𝑥) = 𝑥
𝑇
(𝐴 − 𝐴)𝑥 = 𝑥
𝑇
0𝑥 = 0
, 
      5)
  𝛼(𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝑔(𝑥, 𝑥)) = 𝛼(𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + 𝑥
𝑇
𝐵𝑥) = 𝛼𝑥
𝑇
(𝐴 + 𝐵)𝑥 =      
 
= 𝑥
𝑇
(𝛼𝐴 + 𝛼𝐵) = 𝛼𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + 𝛼𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + 𝛼𝑥
𝑇
𝐵𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥, 𝑥) ± 𝛼𝑔(𝑥, 𝑥),
  
     6) 
 (𝛼 + 𝛽)𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
(𝐴 + 𝐵)𝐴𝑋 = 𝑥
𝑇
(𝛼𝐴 + 𝛽𝐴)𝑥 =
 
= 𝑥
𝑇
(𝛼𝐴 + 𝛽𝐴)𝑥 = 𝑥
𝑇
𝛼𝐴𝑥 + 𝑥
𝑇
𝛽𝐴𝑥 = 𝛼𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + 𝛽𝑥
𝑇
𝐴𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥, 𝑥) +
  𝛽𝑓(𝑥, 𝑥),
  
     7)
 (𝛼 ∙ 𝛽)𝑓(𝑥, 𝑥)(𝛼 ∙ 𝛽)𝑥
𝑇
𝐴𝑥 = 𝑥
𝑇
(𝛼𝛽)𝐴𝑥 = 𝑥
𝑇
𝛼(𝛽𝐴)𝑥 =
 
= 𝛼𝑥
𝑇
𝛽𝐴𝑥 = 𝛼(𝛽𝑓(𝑥, 𝑥)).
  
     
8)  1 ∙ 𝑓(𝑥, 𝑥)
=
1 ∙ 𝑥
𝑇
𝐴𝑥
 =
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 =   𝑓(𝑥, 𝑥).
 
Demak,  n o’zgaruvchili kvadratik formalar to’plami chiziqli fazo tashkil 
qiladi. 
 
2.
 
Agar
 
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥
 
  kvadratik forma aniq (o’zgarmas) ishorali bo’lsa, 
u  xolda 
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝛼𝐴𝑥
    kvadratik  forma    ham  aniq  (o’zgarmas)  ishorali 
bo’lib, 
𝛼 > 0
 da ularning ishoralari bir xil, 
𝛼 < 0
 da esa har- xil bo’ladi. 
 
Bu  tasdiqning  to’g’riligi 
𝐴
  va
 𝛼 ∙ 𝐴
      matritsalarni  bir  vaqtda  aniq 
(o’zgarmas) ishorali ekanligidan kelib chiqadi.   
3.
 
Agar   
𝑓(𝑥, 𝑥)
  va 
𝑔(𝑥, 𝑥)
  regulyar  kvadratik  formalar  bir  xil  aniq 
(o’zgarmas)  ishorali  bo’lib, 
𝛼 > 0
    bo’lsa, 
𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝛼𝑔(𝑥, 𝑥)
  kvadratik 
formalar dastasi  ham huddi shunday aniq (o’zgarmas) ishorali bo’ladi.  
Haqiqatan,  aniqlik uchun 
𝑓(𝑥, 𝑥)
 va 
𝑔(𝑥, 𝑥)
  kvadratik formalar  musbat 
aniqlangan bo’lsin deb olamiz. 
𝑓(𝑥, 𝑥) > 0
 va 
𝑔(𝑥, 𝑥) > 0
 bo’lib, bundan 
𝛼 >
0
  da 
𝛼𝑔(𝑥, 𝑥 > 0)
  bo’lgani  uchun 
𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝛼𝑔(𝑥, 𝑥) > 0
  ekanligi  kelib 
chiqadi.  
Endi  
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥
 va 
𝑔(𝑦, 𝑦) = 𝑦
𝑇
𝐵𝑦,               𝑥 = (𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
)
𝑇
,  
 
𝑦 = (𝑦
1
, 𝑦
2
, … , 𝑦
𝑚
)
𝑡
, 𝐴 = (𝑎
𝑖𝑗
)
𝑖,𝑗=1
𝑛
, 𝑎
𝑖𝑗
= 𝑎
𝑗𝑖
;   𝐵 = (𝑏
𝑘,𝑒
)
𝑘,𝑒=1
𝑚
, 𝑏
𝑘,𝑒
= 𝑏
𝑒,𝑘
  
kvadratik formalarni qaraymiz.  
Agar 
𝑚 = 𝑛
  bo’lib, 
𝑥
  va 
𝑦
  chiziqli  bog’langan,  ya’ni 
𝜆 ≠ 0
  mavjudki, 
unda 
𝜆𝑥 + 𝑦 = 0
 bo’lsa,  

---

 
196 
𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝑔(𝑦, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝑔(−𝜆𝑥, −𝜆𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝜆
2
𝑔(𝑥, 𝑥) =
= 𝑥
𝑇
(𝐴 + 𝜆
2
𝐵)𝑥 
   
kvadratik formalar dastasi xosil bo’ladi.  
𝑚 ≠ 𝑛
    bo’lganda  vektor  koordinatalarini  0  lar  bilan  to’ldirib, 
𝑚 = 𝑛
 
holga keltirishimiz mumkin.  
 
Agar 
𝑥
  va 
𝑦
  vektorlar  chiziqli  bog’lanmagan  bo’lsa, 
𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝑔(𝑦, 𝑦)
 
yig’indini quyidagi ko’rinishdagi bitta kvadratik forma orqali ifodalash mumkin.  
 
      
𝑓(𝑥, 𝑥) + 𝑔(𝑦, 𝑦) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + 𝑦
𝑇
𝐵𝑦 = (𝑥
𝑇
, 𝑦
𝑇
)(
𝐴    0
0    𝐵
) (
𝑥
𝑦
)
        (7.91) 
 
(7.91)  kvadratik  forma 
𝑛 + 𝑚
    o’zgaruvchili  bo’lib,  unga  mos  matritsa 
𝑛 + 𝑚
 tartibli bo’ladi.  
§𝟏𝟎 
 n-o’zgaruvchili kvadratik formalarni ikki o’zgaruvchili kvadratik 
formalar yig’indisi shaklida yozish. 
Ma’lumki,  kvadratik  formalar  amaliy  ahamiyatga  ega  bo’lib,  bunda 
kvadratik  formalarning  ishoralarini  aniqlash  muhim  ahamiyatga  ega.  Ammo 
kvadratik  formadagi  o’zgaruvchilar  soni  ortib  borishi  bilan  unga  mos 
matritsaning  tartibi  ortib  borib,  unga  Silvestr  kriteriysini  qo’llash  yoki  uni 
harakteristik  sonlarini  topish  qiyinlashib  boradi.  SHuning  uchun  maqsadimiz 
berilgan  kvadratik  formani  imkon  qadar  kamroq  o’zgaruvchili  kvadratik 
formalar yig’indisi ko’rinishida ifodalashdan iborat.  
 
Teorema  7.18 
(7.87)  kvadratik  forma  uchun   
𝑛 > 1
  da  quyidagi  tenglik 
o’rinli  
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 =
=
1
𝑛 − 1
∑ ∑(𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
) ( 
𝑎
𝑖𝑖        
(𝑛 − 1)𝑎
𝑖𝑗
(𝑛 − 1)𝑎
𝑖𝑗
𝑎
𝑗𝑗
)
𝑛
𝑗=2
𝑖<𝑗
𝑛−1
𝑖=1
(
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
)      (7.92)
 
 
Isboti. 
(7.92)  tenglikni  isbotlash  uchun  avval  o’zgaruvchilar  soni 
𝑛 = 2
 
va 
𝑛 = 3
 bo’lgan  xususiy xollarni qarab chiqamiz.  
1.
 
𝑛 = 2
  bo’lsin, u holda (7.92) quyidagicha yoziladi.  

---

 
197 
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 = (𝑥
1
, 𝑥
2
)(
𝑎
1,1
𝑎
1,2
𝑎
1,2
𝑎
2.2
) (
𝑥
1
𝑥
2
)
 
2.
 
𝑛 = 3
 bo’lsin,  u holda quyidagiga ega bo’lamiz:  
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 = 𝑎
1,1
∙ 𝑥
1
2
+ 𝑎
2.2
∙ 𝑥
2
2
+ 𝑎
3,3
∙ 𝑥
3
2
+
 
+2𝑎
1,2
𝑥
1
𝑥
2
+ 2𝑎
1,3
𝑥
1
𝑥
3
+ 2𝑎
2.3
𝑥
2
𝑥
3
=
 
=
1
2
𝑎
1,1
𝑥
1
2
+ 2𝑎
1,2
𝑥
1
𝑥
2
+
1
2
𝑎
2.2
𝑥
2
2
+
1
2
𝑎
1,1
𝑥
1
2
+ 2𝑎
1,3
𝑥
1
𝑥
3
+
 
+
1
2
𝑎
3,3
𝑥
3
2
+
1
2
𝑎
2.2
𝑥
2
2
+ 2𝑎
2.3
𝑥
2
𝑥
3
+
1
2
𝑎
3,3
𝑥
3
2
=
 
=
1
2
(𝑎
1,1
𝑥
1
2
+ 4𝑎
1,2
𝑥
1
𝑥
2
+ 𝑎
2.2
𝑥
2
2
) +
1
2
(𝑎
1,1
𝑥
1
2
+ 4𝑎
1,3
𝑥
1
𝑥
3
+ 𝑎
3,3
𝑥
3
2
) +
 
+
1
2
(𝑎
2.2
𝑥
2
2
+ 4𝑎
2.3
𝑥
2
𝑥
3
+ 𝑎
3,3
𝑥
3
2
) =
 
=
1
2
(𝑥
1
, 𝑥
2
) (
𝑎
1,1
𝑎
1,2
𝑎
1,2
𝑎
2.2
) (
𝑥
1
𝑥
2
) +
1
2
(𝑥
1
, 𝑥
3
) (
𝑎
1,1
𝑎
1,3
𝑎
1,3
𝑎
3,3
) (
𝑥
1
𝑥
3
) +
 
+
1
2
(𝑥
2
, 𝑥
3
) (
𝑎
2.2
𝑎
2.3
𝑎
2.3
𝑎
3,3
) (
𝑥
1
𝑥
2
) =
 
=
1
2
∑ ∑(𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
) (
𝑎
𝑖,𝑖
𝑎
𝑖,𝑗
𝑎
𝑖,𝑗
𝑎
𝑗,𝑗
) (
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
)
3
𝑗=2
𝑖<𝑗
2
𝑖=1
𝑖
 
Endi umumiy holni qaraymiz.  
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 = ∑ ∑ 𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
=
𝑛
𝑗=𝑛
∑ 𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑖
2
+ 2 ∑ ∑ 𝑎
𝑖𝑗
𝑛
𝑖=2
𝑖<𝑗
𝑛−1
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
 
Ohirgi ifodadagi birinchi yig’indini quyidagicha o’zgartirib yozamiz:  
∑ 𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑖
2
=
𝑛
𝑖=1
𝑎
11
𝑥
1
2
+ 𝑎
2.2
𝑥
2
2
+, … , 𝑎
𝑛,𝑛
𝑥
𝑛
2
=
 
=
𝑎
1,1
𝑛−1
𝑥
1
2
+ ⋯ +
𝑎
1,1
𝑛−1
𝑥
1
2
+
𝑎
2.2.
𝑛−1
𝑥
2
2
+ ⋯ +
𝑎
2.2.
𝑛−1
𝑥
2
2
+
 
               
                  n-1ta                           n-1ta                                               
 + ⋯ +
𝑎
𝑛,𝑛
𝑛−1
𝑥
𝑛
2
+ ⋯ +
𝑎
𝑛,𝑛
𝑛−1
𝑥
𝑛
2
= 
                        
                       n-1ta 

---

 
198 
=
1
𝑛−1
(𝑎
1,1
𝑥
1
2
+ 𝑎
2.2
𝑥
2
2
) +
1
𝑛−1
(𝑎
1,1
𝑥
1
2
+ 𝑎
1,3
𝑥
3
2
) +
1
𝑛−1
(𝑎
1,1
𝑥
1
2
+ 𝑎
𝑛,𝑛
𝑥
𝑛
2
) +
 
+
1
𝑛−1
(𝑎
2.2
𝑥
2
2
+ 𝑎
3,3
𝑥
3
2
) +
1
𝑛−1
(𝑎
2.2
𝑥
2
2
+ 𝑎
4,4
𝑥
4
2
) + ⋯ +
1
𝑛−1
(𝑎
2.2
𝑥
2
2
+
𝑎
𝑛,𝑛
𝑥
𝑛
2
) +
 
+…+
1
𝑛−1
(𝑎
𝑛−1,𝑛−1
𝑥
𝑛−1
2
+ 𝑎
𝑛−1,𝑛
𝑥
𝑛
2
) =
 
=
1
𝑛 − 1
∑ ∑(𝑎
𝑖,𝑖
𝑥
𝑖
2
+ 𝑎
𝑗,𝑗
𝑥
𝑗
2
)
𝑛
𝑖=1
𝑖<𝑗
𝑛−1
𝑖=1
 
Bundan,   
𝑓(𝑥, 𝑥) =
1
𝑛 − 1
∑ ∑(𝑎
𝑖,𝑖
𝑥
𝑖
2
+ 2(𝑛 − 1)𝑎
𝑖,𝑗
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
+ 𝑎
𝑗,𝑗
𝑥
𝑗
2
)
𝑛
𝑗=2
𝑖<𝑗
=
𝑛−1
𝑖=1
 
=
1
𝑛 − 1
∑ ∑(𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=2
𝑖<𝑗
(
𝑎
𝑖,𝑖
𝑛 − 1𝑎
𝑖,𝑗
𝑛 − 1𝑎
𝑖,𝑗
𝑎
𝑗,𝑗
) (
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
)
𝑛−1
𝑖=1
     
 
ni hosil qilamiz.  
 
Musbat  (manfiy)  aniqlangan  kvadratik  formalar    yig’indisi    musbat 
(manfiy)  aniqlangan  ekanligidan,  (7.92)    tenglikka  asosan  (7.87)  kvadratik 
forma uchun quyidagilarni  hosil qilamiz:  
 
Agar (7.87) kvadratik forma uchun  
𝑎
𝑖,𝑖
𝑎
𝑗,𝑗
− 𝑎
𝑖,𝑗
2
(𝑛 − 1)
2
≥ 0,   𝑖 = 1,2. … , 𝑛 − 1;   𝑗 = 2.3, … , 𝑛;   𝑖 < 𝑗         (7.93)
 
shartlar  bajarilib,  
                    
𝑎
𝑖,𝑖
> 0    (𝑎
𝑖,𝑖
<  0)  𝑖 = 1,1, … , 𝑛                                               (7.94)
 
bo’lsa, u manfiymas (musbatmas) bo’ladi.  
 
Agar (7.93) shartlarning kamida bittasi uchun 
               
𝑎
𝑖,𝑖
𝑎
𝑗,𝑗
− (𝑛 − 1)
2
𝑎
𝑖𝑗
2
> 0;   1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1,   2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 𝑖 < 𝑗     (7.95)
 
bo’lib,  (7.94)  shartlar  bajarilsa,  (7.87)    kvadratik  forma  musbat  (manfiy) 
aniqlangan bo’ladi.  
 
Ko’plab  mehanik  sistemalarning  harakat  tenglamalari  to’rtinchi  tartibli 
differentsial  tenglamalar  sistemasi  orqali  ifodalanishini  hisobga  olib,  to’rt 

---

 
199 
o’zgaruvchili  kvadratik  formalar  musbat  (manfiy)  aniqlanganlik  shartlarini 
keltiramiz:  
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑎
1,1
𝑥
1
2
+ 𝑎
2.2
𝑥
2
2
+ 𝑎
3,3
𝑥
3
2
+ 𝑎
4,4
𝑥
4
2
+ 2𝑎
1,2
𝑥
1
𝑥
2
+ 2𝑎
1,3
𝑥
1
𝑥
3
+
 
+2𝑎
1,4
𝑥
1
𝑥
4
+ +2𝑎
2.3
𝑥
2
𝑥
3
+ +2𝑎
2.4
𝑥
2
𝑥
4
+ +2𝑎
3,4
𝑥
3
𝑥
4
                               (7.96)
     
kvadratik  formani  qaraymiz. Bu kvadratik formaning matritsasi   
A=
(
𝑎
1,1
𝑎
1,2
𝑎
1,3
𝑎
1,2
𝑎
2.2
𝑎
2.3
𝑎
1,3
𝑎
2.3
𝑎
3,3
    
𝑎
1,4
𝑎
2.4
𝑎
3,4
𝑎
1,4
𝑎
2.4
    𝑎
3,4
𝑎
4,4
)
 
bo’lib, (7.93), (7.94),  (7.95)   shartlarga ko’ra (7.96)  kvadratik forma musbat 
aniqlangan bo’lishi uchun  
                                                  𝑎
𝑖,𝑖
> 0,   𝑖 = 1,2,3,4;
                                        (7.97) 
𝑎
1,1
𝑎
2.2
− 9𝑎
1,2
2
> 0,    𝑎
𝑛
𝑎
3,3
− 9𝑎
1,3
2
≥ 0,
 
                           
𝑎
1,1
𝑎
4,4
− 9𝑎
1,4
2
≥ 0,       𝑎
2.2
𝑎
3,3
− 9𝑎
2.3
2
≥ 0,
                  (7.98) 
   𝑎
2.2
𝑎
4,4
− 9𝑎
2.4
2
≥ 0,
𝑎
3,3
𝑎
3,3
− 9𝑎
3,4
2
≥ 0,
 
 
Manfiy aniqlangan bo’lishi uchun esa (2.12)   shartlar bilan bir  vaqtda  
                                      𝑎
𝑖,𝑖
< 0,
𝑖 = 1,2.3,4,                                                   (7.99)
 
 shartlar bajarilishi yetarlidir.  
 
Eslatma: (7.98)  shartlardagi qat’iy tengsizlik, qolgan ixtiyoriy tengsizlik 
bilan almashtirilishi mumkin.  
 
Agar 
𝜆
1
, 𝜆
2
, … , 𝜆
𝑛
,
 lar matritsaning xarakteristik sonlari bo’lib, 
 
𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔( 𝜆
1
, 𝜆
2
, … , 𝜆
𝑛
)
  bo’lsa, (7.92)  forma quyidagi ko’rinishni oladi:  
𝑓(𝑥, 𝑥) = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 =
1
𝑛 − 1
∑ ∑(𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=2
𝑖<𝑗
(
𝜆
𝑖
0
0 𝜆
𝑗
)
𝑛−1
𝑖=1
(
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
)                   (7.100)