O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§11. Erkinlik darajasi 
n
 bo’lgan sistemalarning  kichik tebranishlari. 
n
 ta erkinlik darajasi bo’lgan konservativ mexanik sistemani o’zining 
turug’un muvozanat xolati yaqinidagi erkin tebranishlarini qaraymiz. 
Sistemani muvozanat xolatdan og’ishini o’zaro bog’liq bo’lmagan  
n
q
q
q

,
,
2
1
 umumlashgan kordinatalar  yordamida beramiz. Bunda muvozanat 

---

 
200 
xolatga 
0
,...,
0
,
0
2
1



n
q
q
q
 mos keladi. U holda sistemaning kinetik 
energiyasi 
n
q
q
q

,
,
2
1
 umumlashgan tezliklarning kvadratik formasi ko’rinishida 
tasvirlanadi. 





n
k
i
k
i
n
ik
q
q
q
q
q
b
T
1
,
2
1
,
,
,



 


n
ik
q
q
q
q
b

,
,
2
1
 koeffitsentlari 
n
q
q
q

,
,
2
1
larning darajalari bo’yicha qatorga 
yoyib, 




n
k
i
b
q
q
q
q
b
ik
n
ik



,
2
,
1
,
,
,
2
1



 
Bu yoyilmaning faqat 
ik
b
 o’zgarmas xadlarini olib, quyidagiga ega bo’lamiz: 
 


n
k
i
b
b
q
q
b
T
ki
ik
n
k
i
k
i
ik
,...,
2
,
1
,
,
1
,







 
 
Kinetik energiya har doim musbat bo’lib, faqat 
0
...
2
1




n
q
q
q
 dagina 
nolga aylanadi. SHuning uchun    



n
k
i
k
i
ik
q
q
b
T
1
,


 - musbat aniqlangan kvadratik 
formadir. 
Sistemaning potentsial energiyasi 


n
q
q
q
q
П

,
,
2
1
 - umumlashgan 
koordinatalarning funktsiyasi bo’ladi. Umumiylikni buzmasdan 
0
)
0
,...,
0
,
0
(
0


П
П
 deb olamiz. U holda potentsial energiyani 
n
q
q
q

,
,
2
1
 larning 
darajasi bo’yicha qatorga yoyib, quyidagini hosil qilamiz: 







n
i
n
k
i
k
i
ik
i
i
q
q
a
q
a
П
1
1
,
......
 
ma’lumki muvozanat holatda potentsial energiya statsionar qiymat qabul 
qiladi, u holda 
)
,...,
2
,
1
(
,
0
0
n
i
q
П
a
i
i











 
Bundan 
n
q
q
q

,
,
2
1
 larga nisbatan ikkinchi tartibli bulgan xadlarni saqlab 
qolib, quyidagicha ega bo’lamiz: 







n
k
i
ki
ik
k
i
ik
n
k
i
a
a
q
q
a
П
1
,
,
,
,
2
,
1
,
,

 

---

 
201 
 SHunday  qilib, 
П
-potentsial  Energiya  va  T-  kinetik  energiya  quyidagi  
kavdratik formulalar bilan aniqlanadi: 
                                 






n
k
i
n
k
i
k
i
ik
k
i
ik
q
q
b
T
q
q
a
П
1
,
1
,
,
,


                              (7.101) 
Bu yerdagi ikkinchi kvadratik forma musbat aniqlangan. 
             Endi  xarakat  differentsial  tenglamalarini  Lagranjning  ikkinchi  tur 
tenglamalari ko’rinishda yozamiz: 
                                  


n
i
q
П
q
T
q
T
dt
d
i
i
i
,
,
2
,
1












                            (7.102) 
Bu yerda 
T
 va 
П
 ning o’rniga ularni (7.101) dagi ifodasini qo’yib, quyidagini 
hosil qilamiz: 
                                  









n
k
n
k
k
ik
k
ik
n
i
q
a
q
b
1
1
,
,
2
,
1
0



                           (7.103) 
Quyidagi simmetrik matritsalarni kiritib,  
   
 
 


n
T
n
k
i
k
i
n
k
i
ik
q
q
q
q
b
B
a
A
,
,
,
,
,
2
1
1
,
,
1
,





 
(7.103) tenglamalar sistemasini quyidagicha yozamiz: 
                               
0


q
A
q
B

                                                             (
7. 103
′
) 
  (7.103) sistema  yechimini quyidagi garmonik tebranishlar ko’rinishda 
izlaymiz: 


















t
v
q
t
v
q
t
v
q
n
n
sin
,
,
sin
,
sin
2
2
1
1

 
matritsani ko’rinishda  
                            






t
v
q
sin
                                                    (7.104) 
Bu yerda 


T
n
v
v
v
v
,
,
,
2
1


-o’zgarmas ampletuda vektorlari, 

-chastata, 

- 
boshlang’ich fazo. 
  
(7.104) ni  (
7. 103
′
) ga qo’yib, 





t
sin
 ga qisqartirib quyidagini xosil 
qilamiz: 


2





Bv
v
A
 
 Ammo  bu 
kvadratik  formalar  singulyar  dastasi  xarakteristik  
tenglamasi 
dan kelib chiqadigan 
 


Bx
x
Ax
x
T
T



0


B
A



n
k
z
B
z
A
k
k
k
,
,
2
,
1





---

 
202 
 
tenglamalar  bilan  ustma-ust  tushadi.  Demak,  izlanayotgan  amplituda  vektori 
bosh  vektor  bo’lib,  chastota  kvadrati 
2



     
Bx
x
Ax
x
T
T


    formalar  regulyar 
dastasining mos xarakteristik sonlari bo’ladi. 
)
,....,
,
(
2
1
n
q
q
q
П
- potentsial energiya 
qa’tiy  minimumga  ega  deb  faraz  qilamiz.  U  xolda  Lajan-Drixle  teoremasiga 
asosan  sistemaning  muvozanat  xolati  turg’un  bo’ladi.  Ikkinchi  tomondan, 
Aq
q
П
T

 kvadratik forma musbat aniqlangan bo’ladi.  
Regulyar  dastalar  xaqidagi  teoremaga  asosan  kvadratik  formalarning 
regulyar dastasi  
Bx
x
Ax
x
T
T


 
n  ta xaqiqiy 
n



,...,
,
2
1
 xarakteristik sonlarga ega va bu n ta sonlarga mos               




T
nk
k
k
k
n
v
v
v
v
v
v
v
,...
,
,...,
,
2
1
2
1

 
bosh vektorlarga ega bo’lib, ular quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:    
                        





n
y
k
i
k
y
i
y
k
i
n
k
i
v
v
b
Bv
v
T
1
,
)
,...,
2
,
1
,
(




                     (7.105) 
Ax
x
T
 formaning musbat aniqlanganligidan,  
Bx
x
Ax
x
T
T


 
dastaning barcha xarakteristik sonlari musbat 
)
,...,
2
,
1
(
0
n
k
k



 
ekanligi 
 
kelib 
chiqadi. 
Ammo 
bu 
xolda 
ampletuda 
vektorlari                                  


)
,...,
2
,
1
(
,...,
,
2
1
n
k
v
v
v
v
T
nk
k
k
k


 
ortanormallashganlik  shartini  qanoatlantiruvchi  quyidagi  n    ta  garmonik 
tebranishlar  mavjud  bo’ladi.  
                           
)
,...,
2
,
1
,
(
)
(
2
n
k
t
Sin
v
k
k
k
k
n







                            (7.106) 
(
7. 103
′
)  ning  chiziqli  ekanligidan  kelib  chiqadiki,  ixtiyoriy  tebranish  (7.106) 
garmonik tebranishlardan xosil qilinishi mumkin: 
                                    




n
k
k
k
k
k
v
t
Sin
A
q
1
)
(


                                    (7.107) 
bu yerda, 
)
,...,
2
,
1
(
,
n
k
A
k
k


- ixtiyoriy o’zgarmaslar. 

---

 
203 
(7.107) dan quyidagilarni topamiz: 
                                  






n
k
k
k
k
k
n
k
k
k
k
v
Cos
A
q
v
Sin
A
q
1
0
1
0
,




        (7.108)     
(7.107) yechimini quyidagicha yozish mumkin: 
                                   






n
k
k
i
k
k
k
i
v
t
Sin
A
q
1


                                   (7.109)  
Berilgan mexanik sistema chastotalarini kamaymaydigan tartibda nomerlab 
chiqamiz, ya’ni  
n







...
0
2
1
 
Bu bilan 
Bx
x
Ax
x
T
T


 
dasta xarakteristik sonlari 
)
,...,
2
,
1
(
2
n
k
k
k




 ning joylashishi aniqlanadi. 
n






....
2
1
 
Berilgan sistemaga h  ta o’zaro bog’liq bo’lmagan chekli statsionar 
bog’lanishlarni qo’yamiz.  
n
q
q
q

,
,
2
1
 og’ishlarni kichik miqdorlar deb xisoblab, 
bu bog’lanishlarni 
n
q
q
q

,
,
2
1
 larga nisbatan chiziqli deb qarash mumkin : 
     
.
0
)
(
,
.....
,
0
)
(
,
0
)
(
2
1



q
L
q
L
q
L
n
 
Bu bog’lanishlar qo’yilgandan keyin qaralayotgan sistema  n-h  ta erkin -lik 
darajasiga ega bo’ladi. Bu sistemaning chastotasi 
2
2
2
2
1
....
h
n







 
h
L
L
L
,
...
,
,
2
1
 bog’lanishli 
Bx
x
Ax
x
T
T


 dastaning 
0
0
2
0
1
...
h
n







  
xarakteristik sonlari bilan 
 
2
0
0
j
j



 munosabat orqali bog’langan. SHuning 
uchun  
)
,...,
2
,
1
(
0
h
n
j
h
j
j
j








 
Shunday qilib, sistemaga  h ta bog’lanishlarni qo’yganimizda uning 
chastotasi faqat ortishi mumkin, ammo yangi  j- chastota 
0
j

 miqdori eski j+L – 
chastota 
L
j


 miqdordan ortmaydi. 
Xuddi shuningdek aytishimiz mumkinki, sistema bikirligi ortganda, ya’ni 
Aq
q
T
 forma ortganda potentsial energiya uchun (
Bq
q
T
- forma o’zgarmaganda) 

---

 
204 
chastota faqat ortishi mumkin, sistema inertsiyasi ortganda, ya’ni 
Bq
q
T
 forma 
ortganda esa kinetik energiya uchun
 (
Aq
q
T
 forma o’zgarmaganda) chastota faqat 
kamayishi mumkin.