§13. Dempfirlanishi va bikirligi oshkor xolatda vaqtga
bog’liq bo’lib, chiziqsiz bo’lgan sistema asimptotik turg’unligining
yetarli shartlari
Dempfirlanishi va bikirligi oshkor xolatda vaqtga bog’liq bo’lib,
chiziqsiz bo’lgan sistema toyigan xarakat tenglamasini quyidagi ko’rinishda
qaraymiz:
0
)
,
,
(
)
,
,
(
x
x
x
t
x
x
x
t
x
,
(7.126)
bu yerda
va
lar
x
x
t
,
,
xaqiqiy o’zgaruvchilarni
2
2
0
,
x
x
t
t
(7.127)
soxada aniqlangan haqiqiy funktsiyalari (
,
0
t
- musbat o’zgarmaslar).
va
koefitsientlar o’zgarmas bo’lib, musbat bo’lganda
0
,
0
x
x
toyimagan xarakat asimptotik turg’un bo’ladi. Agar bu koeffitsientlar musbat
xolatda qolib, o’zgaruvchi bo’lsa, u xolda ularni o’zgarish rejimi mavjudki unda
xarakat turg’unmas bo’lib qoladi.
va
koeffitsientlarni o’zgarish qonuni
ma’lum bo’lsa, turg’unlik masalasini qarab chiqish mumkin. Ba’zi amaliy
tadbiqlarda
va
koeffitsientlarni xarakterlari ma’lum bo’lmay, ularni
213
o’zgarish chegaralarigina ma’lum bo’ladi ya’ni (7.127) soxada bu funktsiyalar
quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
,
)
,
,
(
,
)
,
,
(
2
1
2
1
b
x
x
t
b
a
x
x
t
a
(7.128)
bu yerda,
2
1
2
1
,
,
,
b
b
a
a
- berilgan musbat sonlar
Bu ko’rsatilgan chegaralarda
va
ixtiyoriy qonun bo’yicha
o’zgarganda,
0
,
0
x
x
toyimagan xarakat asimptotik turg’un bo’ladigan
yetarli shartlarni xosil qilish katta qiziqish uyg’otadi.
Qo’yilgan masalani qarab chiqish uchun
2
1
,
x
x
x
x
o’zgaruvchi almashtirib, (7.126) tenglamani quyidagi sistema bilan
almashtiramiz:
2
1
2
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
x
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
yoki matritsa ko’rinishida
,
)
,
(
y
y
t
A
y
(7.129)
bu yerda
,
)
,
(
2
1
T
x
x
y
)
,
(
)
,
(
1
0
)
,
(
y
t
y
t
y
t
A
Qat’iylik tartibi mos ravishda
1
va
2
bo’lgan
)
,
(
1
y
t
va
)
,
(
2
y
t
qat’iy musbat funktsiyalarni quyidagicha kiritamiz
)
,
(
)
,
(
),
,
(
)
,
(
2
2
1
1
y
t
m
y
t
y
t
m
y
t
(7.130)
Tekshirib ko’rish mumkinki (7.128) tengsizlik bajarilganda
)
,
(
1
y
t
va
)
,
(
2
y
t
funktsiyalar uchun quyidagi baxolar o’rinli:
1
2
2
2
2
1
1
1
2
1
)
,
(
,
)
,
(
b
m
y
t
b
m
a
m
y
t
a
m
(7.131)
bundan,
2
2
2
1
2
1
,
b
m
a
m
ekanligi kelib chiqadi. SHuning uchun (7.131)
ni quyidagicha yozish mumkin.
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
)
,
(
,
)
,
(
b
b
y
t
a
a
y
t
(7.130) yordamida (7.129) ni quyidagi ko’rinishga keltiramiz
y
A
y
t
y
A
y
t
y
A
y
2
2
1
1
0
)
,
(
)
,
(
,
(7.132)
214
bu yerda
,
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
1
0
2
1
2
1
0
A
A
m
m
A
(7.132) sistema uchun Lyapunov funktsiyasini quyidagi kvadratik forma
ko’rinishida quramiz:
Py
y
y
V
T
)
(
(7.133)
bu yerda
2
1
2
1
1
1
1
1
)
1
(
m
m
m
m
m
P
bu kvadratik forma musbat aniqlangan bo’ladi.
(7.133) funktsiyadan (7.132) sistema yordamida olingan xosila uchun
quyidagi xosil qilamiz:
,
)
)
,
(
)
,
(
(
)
(
2
2
1
1
0
y
G
y
t
G
y
t
G
y
y
P
y
Py
y
y
V
T
T
T
bu yerda
1
1
0
2
0
0
2
m
m
G
,
0
1
1
2
2
1
2
1
1
m
m
m
m
G
,
2
1
2
1
2
1
1
0
m
m
G
va
,
))
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
2
2
1
2
1
1
1
2
0
T
M
M
M
y
G
b
b
G
a
a
G
y
V
(7.134)
bu yerda
.
1
1
1
)
(
,
1
1
1
)
(
,
2
)
(
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
0
m
m
m
m
G
m
m
G
m
G
M
M
M
(7.134) baxodan ko’rinadiki,
)
(
y
V
funktsiya quyidagi shart bajarilganda
manfiy aniqlangan bo’ladi.
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
2
1
1
1
2
0
G
b
b
G
a
a
G
M
M
M
(7.135)
Bundan kelib chiqadiki, Lyapunovning asimptotik turg’unlik teoremasiga
asosan (7.132) yoki (7.126) sistema toyimagan xarakati (7.135) shart
bajarilganda asimptotik turg’un bo’ladi.
k
m
m
2
1
1
bo’lsin, u xolda (7.135) quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
0
)
1
)(
(
)
1
1
)(
(
2
2
1
2
2
1
1
1
k
k
b
m
k
a
m
m
,
215
yoki
1
1
)
(
1
1
2
1
1
2
1
k
b
a
k
b
a
m
m
.
Bu tengsizlik
0
1
1
1
k
b
a
shartda ma’noga ega bo’ladi.
Bu tengsizlikdan
0
,
0
2
1
va
2
2
1
2
1
b
a
k
ni e’tiborga olib,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
1
(
)
1
(
1
1
,
1
1
b
a
b
b
b
k
b
a
m
m
k
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
b
a
b
a
a
b
b
b
a
a
(7.136)
0
)
1
(
)
1
(
2
1
1
2
b
a
b
a
(7.137)
larni xosil qilamiz.Shunday qilib,
)
,
,
(
x
x
t
va
)
,
,
(
x
x
t
funktsiyalarning
2
1
2
1
,
,
,
b
b
a
a
chegaralari (7.136) va (7.137) shartlarni qanoatlantirsa, u xolda
toyimagan xarakat
0
x
,
0
x
asimptotik turg’un bo’ladi.
Mashqlar.
1.
Quyidagi kvadratik formalarni kanonik ko’rinishga keltiring:
a)
2𝑥
1
2
+ 𝑥
2
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
2
𝑥
3
b)
𝑥
1
2
+ 2𝑥
2
2
+ 3𝑥
3
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
2
𝑥
3
c)
3𝑥
1
2
+ 4𝑥
2
2
+ 5𝑥
3
2
+ 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
2
𝑥
3
d)
2𝑥
1
2
+ 5𝑥
2
2
+ 5𝑥
3
2
+ 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
1
𝑥
3
− 8𝑥
2
𝑥
3
e)
𝑥
1
2
− 2𝑥
2
2
− 2𝑥
3
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
+ 4𝑥
1
𝑥
3
+ 8𝑥
2
𝑥
3
f)
5𝑥
1
2
+ 6𝑥
2
2
+ 4𝑥
3
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
1
𝑥
3
g)
3𝑥
1
2
+ 6𝑥
2
2
+ 3𝑥
3
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
− 8𝑥
1
𝑥
3
− 4𝑥
2
𝑥
3
h)
7𝑥
1
2
+ 5𝑥
2
2
+ 3𝑥
3
2
− 8𝑥
1
𝑥
2
+ 8𝑥
2
𝑥
3
i)
2𝑥
1
2
+ 2𝑥
2
2
+ 2𝑥
3
2
+ 2𝑥
4
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
+ 2𝑥
1
𝑥
4
+ 2𝑥
2
𝑥
3
−
4𝑥
3
𝑥
4
j)
2𝑥
1
𝑥
2
+ 2𝑥
3
𝑥
4
k)
𝑥
1
2
+ 𝑥
2
2
+ 𝑥
3
2
+ 𝑥
4
2
+ 2𝑥
1
𝑥
2
− 2𝑥
1
𝑥
4
− 2𝑥
2
𝑥
3
+ 2𝑥
3
𝑥
4
l)
2𝑥
1
𝑥
2
+ 2𝑥
1
𝑥
3
− 2𝑥
1
𝑥
4
− 2𝑥
2
𝑥
3
+ 2𝑥
2
𝑥
4
+ 2𝑥
3
𝑥
4
216
m)
𝑥
1
2
+ 𝑥
2
2
+ 𝑥
3
2
+ 𝑥
4
2
− 2𝑥
1
𝑥
2
+ 6𝑥
1
𝑥
3
− 4𝑥
1
𝑥
4
− 4𝑥
2
𝑥
3
+
6𝑥
2
𝑥
4
− 2𝑥
3
𝑥
4
n)
8𝑥
1
𝑥
3
+ 2𝑥
1
𝑥
4
+ 2𝑥
2
𝑥
3
+ 8𝑥
2
𝑥
4
2.
Agar A-kososimmetrik matritsa bo’lsa, u xolda
𝐵 = (𝐸 − 𝐴)(𝐸 + 𝐴)
−1
matritsani ortoganal ekanligini isbotlang
Dostları ilə paylaş: |