§2. Yirik masshtabli sistemalarning dekompozitsiyasi.
Faraz qilaylik (S). Y.M.S. xolati quyidagi differentsial tenglama bilan
ifodalansin.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑡, 𝑥),
(8.1)
bu yerda
𝑡 ∈ 𝑇 = [𝑡
0
, ∞) ⊂ 𝑅,
𝑥 ∈ 𝑅
𝑛
, 𝑓 ∈ 𝐹
bo’lib, F oila quyidagicha
aniqlanadi:
𝐹 = {𝑓
1
, 𝑓
2
, … , 𝑓
𝑁
}, 𝑓
𝑘
: 𝑇𝑥𝑅
𝑛
→ R
n
,
(8.2)
N-haqiqiy son.
Agar (S). Y.M.S. s ta qism sistemalardan tashkil topgan bo’lsa, u xolda
(S). Y.M.S.ni (
𝑆
𝑖
)
o’zaro bog’liq bo’lgan qism sistemalardan tashkil topgan deb
qarash mumkin bo’lib, (
𝑆
𝑖
)
o’zaro bog’liq bo’lgan qism sistemalar quyidagi
tenglamalar bilan ifodalanadi:
𝑑𝑥
𝑖
𝑑𝑡
= 𝑓
𝑖
(𝑡, 𝑥),
∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑠
(8.3)
bu yerda x va f vektorlar quyidagicha aniqlanadi:
𝑥 = (𝑥
1
𝑇
, 𝑥
2
𝑇
, … , 𝑥
𝑠
𝑇
)
𝑇
,
𝑓 = (𝑓
1
𝑇
, 𝑓
2
𝑇
, … , 𝑓
𝑠
𝑇
)
𝑇
,
shuningdek,
𝑓
𝑖
∈ 𝐹
𝑖
, 𝐹
𝑖
= (𝑓
𝑖
1
, 𝑓
𝑖
2
, … , 𝑓
𝑖
𝑁
), 𝑓
𝑖
𝑘
: Tx
𝑅
𝑛
→ 𝑅
𝑛
𝑖
,
∀ 𝑘 = 1,2, … , 𝑁, 𝑛
1
+ 𝑛
2
+ ⋯ 𝑛
𝑠
= 𝑛 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑠.
f
i
funktsiyalar barcha
𝑡 ∈ 𝑅
da, faqat va faqat x=0 dagina
𝑓(𝑡, 𝑥)
=0
shartni qanoatlantiradi.
𝑥
𝑖
= (𝑂
𝑇
, 𝑂
𝑇
, … , 𝑥
𝑖
𝑇
, 𝑂
𝑇
, … , 𝑂
𝑇
)
𝑇
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑠
belgilash kiritamiz,
𝑔
𝑖
: Tx
𝑅
𝑛
𝑖
→ 𝑅
𝑛
𝑖
,
funktsiyani
𝑔
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
) = 𝑓
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
)
tenglik bilan aniqlaymiz.
U xolda
(𝑆̂
𝑖
)
i- erkin qism sistema
220
𝑑𝑥
𝑖
𝑑𝑡
= 𝑔
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
),
(8.4)
bu yerda
𝑥
𝑖
∈ 𝑅
𝑛
𝑖
,
𝑓
𝑖
∗
(𝑡, 𝑥) = 𝑓
𝑖
(𝑡, 𝑥) − 𝑔
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
),
∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑠
(8.5)
ifoda yordamida aniqlangan
𝑓
𝑖
∗
funktsiya (S) sistemani o’zining
(𝑆
𝑖
)
i- qism
sistemasiga ta’sirini ifodalaydi.
(8.4) va (8.5) ga asosan (8.3) ni quyidagicha yozish mumkin:
𝑑𝑥
𝑖
𝑑𝑡
= 𝑔
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
) + 𝑓
𝑖
∗
(𝑡, 𝑥), ∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑠
(8.6)
Agar
𝑔 = (𝑔
1
𝑇
, 𝑔
2
𝑇
, … , 𝑔
𝑠
𝑇
)
𝑇
,
𝑓
∗
= (𝑓
1
∗
𝑇
, 𝑓
2
∗
𝑇
, … , 𝑓
𝑠
∗
𝑇
)
𝑇
,
deb olsak, (8.6) ni quyidagicha yozish mumkin:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑔(𝑡, 𝑥) + 𝑓
∗
(𝑡, 𝑥),
(8.7)
(S) Y.M.S. ni (8.6) ko’rinishda dekompozitsiya qilish nazariy bo’lib,
amaliy tadbiqlarda bu bir muncha noqulaydir. Masalan (8.5) tenglik yordamida
𝑓
𝑖
∗
funktsiyalarni har doim ham aniqlash qulay bo’lavermaydi. Shuning uchun
(S) Y.M.S. ni dekompozitsiya qilishni qulaylashtirish maqsadida har bir s ta
(𝑆
𝑖
)
qism sistemalardan iborat bo’lgan Y.M.S. bilan sxs tartibli matritsa o’rtasida
quyidagicha o’zaro bir qiymatli mosli o’rnatamiz:
1. (S) Y.M.S.ning
(𝑆̂
𝑖
)
erkin qism sistemalarini matritsaning bosh
dioganaliga mos qo’yamiz;
2.
(𝑆̂
𝑖
)
qism sistemalarni
(𝑆̂
𝑗
)
qism sistemaga ta’sirini ifodalovchi
funktsiyani i-satr va j-ustun kesishgan joyga mos qo’yamiz. Natijada
matritsaning bosh dioganalida erkin qism sistemalar bo’lib, bosh dioganaldan
tashqarida bu erkin qism sistemalar orasidagi to’g’ri va teskari bog’lanishlar
bo’ladi.
Bunday moslik o’rnatilgandan keyin (8.1) sistema quyidagi ko’rishlarning
biriga keladi:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴𝑥,
(8.8)
221
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴(𝑡)𝑥,
(8.9)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴(𝑥),
(8.10)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴(𝑡, 𝑥),
(8.11)
bu yerda A, A(t),A(x), A(t,x)-bosh dioganalga nisbatan simmetrik bo’lgan sxs
tartibli kvadrat matritsalar.
(8.8), (8.9), (8.10), (8.11) sistemalarni dekompozitsiya qilish masalasi
mos ravishda A, A(t),A(x), A(t,x)-matritsalarni blok matritsalarga ajratish
masalasi bilan teng kuchli bo’lgani uchun (S) Y.M.S.ni dekompozitsiya qilish
masalasi matritsani blok matritsalarga ajratish masalasiga keladi.
Misol tariqasida (8.8) sistemani ba’zi xususiy xollarda dekompazitsiya
qilish usullarini qarab chiqamiz. Faraz qilaylik, A matritsa markazga nisbattan
simmetrik bo’lgan sxs o’lchovli kvadrat matritsa bo’lsin. U xolda (8.8)
sistemani quyidagicha usullarda dekompaziya qilish mumkin:
Dostları ilə paylaş: |